\documentclass[10pt,landscape,a4paper]{article}
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% Custom Colors
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% Custom Box Styles
\tcbset{
    sectionbox/.style 2 args={
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}

\begin{document}
    % ==========================================
    % EN-TÊTE
    % ==========================================
    \begin{center}
        \begin{tcolorbox}[
            enhanced,
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            {\Huge \bfseries \textsf{\textcolor{myblue!90!black}{Résumé de Cours : Équations Différentielles}}} \\
            \vspace{0.4cm}
            {\LARGE \bfseries Prof : \textcolor{red!70!black}{SOUHAIL Mohamed} \quad \textcolor{gray}{\textbf{|}} \quad \textsf{Lycée Ibnou Batouta}}
        \end{tcolorbox}
    \end{center}
        \vspace{0.2cm}
    \begin{multicols}{3}

        % ==========================================
        % 1. Équations du 1er ordre
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={myyellow}{{1. Équations du 1er ordre}}]
            \textbf{Équation de la forme $\mathbf{y' = ay}$ :}\\
            Les solutions de l'équation différentielle $y' = ay$ sont les fonctions :
            $$ y(x) = k e^{ax} \quad \text{avec } k \in \mathbb{R} $$

            \vspace{0.2cm}
            \textbf{Équation de la forme $\mathbf{y' = ay + b}$ :}\\
            (avec $a \neq 0$)\\
            Les solutions de l'équation différentielle $y' = ay + b$ sont les fonctions :
            $$ y(x) = k e^{ax} - \frac{b}{a} \quad \text{avec } k \in \mathbb{R} $$
        \end{tcolorbox}

        % ==========================================
        % 2. Équations du 2nd ordre (Intro)
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={mycyan}{{2. Équations du 2nd ordre}}]
            \textbf{Forme générale :}\\
            $$ ay'' + by' + cy = 0 $$
            (avec $a \neq 0$ et $b, c \in \mathbb{R}$)\\

            \textbf{L'équation caractéristique :}\\
            À cette équation différentielle, on associe l'équation du second degré suivante :
            $$ ar^2 + br + c = 0 $$
            On calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$.\\
            Les solutions de l'équation différentielle dépendent uniquement du signe de $\Delta$.
        \end{tcolorbox}

        % ==========================================
        % 3. CAS DELTA > 0
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={myorange}{{3. Cas $\Delta > 0$}}]
            L'équation caractéristique admet \textbf{deux solutions réelles} distinctes :
            $ r_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \quad ; \quad r_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} $

            Les solutions de l'équation différentielle $ay''+by'+cy=0$ sont les fonctions de la forme :
            $$ y(x) = \alpha e^{r_1 x} + \beta e^{r_2 x} $$
            où $\alpha$ et $\beta$ sont des constantes réelles.
        \end{tcolorbox}

        % ==========================================
        % 4. CAS DELTA = 0
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={mypink}{{4. Cas $\Delta = 0$}}]
            L'équation caractéristique admet \textbf{une seule solution réelle} double :
            $ r_0 = \frac{-b}{2a} $

            Les solutions de l'équation différentielle $ay''+by'+cy=0$ sont les fonctions de la forme :
            $$ y(x) = (\alpha x + \beta) e^{r_0 x} $$
            où $\alpha$ et $\beta$ sont des constantes réelles.
        \end{tcolorbox}

        % ==========================================
        % 5. CAS DELTA < 0
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={mygreen}{{5. Cas $\Delta < 0$}}]
            L'équation caractéristique admet \textbf{deux solutions complexes conjuguées} :
            $ r_1 = p + iq \quad ; \quad r_2 = p - iq $

            Avec $p = \frac{-b}{2a}$ et $q = \frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}$.\\
            Les solutions de l'équation différentielle $ay''+by'+cy=0$ sont les fonctions de la forme :
            $$ y(x) = (\alpha \cos(qx) + \beta \sin(qx)) e^{px} $$
            où $\alpha$ et $\beta$ sont des constantes réelles.
        \end{tcolorbox}

        % ==========================================
        % 6. CONDITIONS INITIALES ET ASTUCES
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={myblue}{{6. Conditions Initiales}}]
            Les constantes réelles ($k$ ou $\alpha, \beta$) se déterminent à l'aide des conditions initiales données dans l'énoncé.

            \begin{tcolorbox}[examplebox, title={Exemple : $y' = ay+b$}]
                Résoudre $y' = 2y - 6$ avec $y(0) = 4$.\\
                1. \textbf{Solution générale :} ($a=2, b=-6$)\\
                $y(x) = k e^{2x} - \frac{-6}{2} = k e^{2x} + 3$\\
                2. \textbf{Condition initiale :} $y(0) = 4$\\
                $k e^0 + 3 = 4 \implies k + 3 = 4 \implies k = 1$\\
                3. \textbf{Solution particulière :}
                $$ y(x) = e^{2x} + 3 $$
            \end{tcolorbox}

            \begin{tcolorbox}[examplebox, title={Examen : 2nd ordre}]
                Pour l'équation $ay''+by'+cy=0$, on vous donne souvent deux conditions, par exemple $y(x_0) = y_0$ et $y'(x_0) = y_1$, pour trouver $\alpha$ et $\beta$. \\
                \textbf{Attention :} N'oubliez pas de calculer la dérivée $y'(x)$ de votre solution générale avant d'utiliser la deuxième condition !
            \end{tcolorbox}
        \end{tcolorbox}

    \end{multicols}

\end{document}