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% Custom Colors
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% Custom Box Styles
\tcbset{
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}

\begin{document}
    % ==========================================
    % EN-TÊTE
    % ==========================================
    \begin{center}
        \begin{tcolorbox}[
            enhanced,
            colback=myblue!10,        
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            {\Huge \bfseries \textsf{\textcolor{myblue!90!black}{Résumé de Cours : Calcul Intégral}}} \\
            \vspace{0.1cm}
            {\LARGE \bfseries Prof : \textcolor{red!70!black}{SOUHAIL Mohamed} \quad \textcolor{gray}{\textbf{|}} \quad \textsf{Lycée Ibnou Batouta}}
        \end{tcolorbox}
    \end{center}

    \begin{multicols}{3}

        % ==========================================
        % 1. DÉFINITION ET PROPRIÉTÉS
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={myyellow}{{1. Définition et Linéarité}}]
            Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$, et $F$ une primitive de $f$ sur $I$. Soient $a, b \in I$.
            $$ \int_a^b f(x) \, dx = \left[ F(x) \right]_a^b = F(b) - F(a) $$

            \textbf{Propriétés élémentaires :}\\
            - $ \int_a^a f(x) \, dx = 0 $\\
            - $ \int_b^a f(x) \, dx = - \int_a^b f(x) \, dx $

            \textbf{Relation de Chasles :}\\
            Pour tout $c \in I$ :
            $ \int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx $

            \textbf{Linéarité de l'intégrale :}\\
            Pour tous réels $\alpha$ et $\beta$ :
            $$ \int_a^b (\alpha f(x) + \beta g(x)) \, dx = \alpha \int_a^b f(x) \, dx + \beta \int_a^b g(x) \, dx $$
        \end{tcolorbox}

        % ==========================================
        % 2. INTÉGRALE ET ORDRE
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={mycyan}{{2. Intégrale et Ordre}}]
            Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a,b]$ avec $\mathbf{a \leq b}$.

            \textbf{Positivité :}\\
            Si $f(x) \geq 0$ sur $[a,b]$, alors :
            $ \int_a^b f(x) \, dx \geq 0 $

            \textbf{Conservation de l'ordre :}\\
            Si $f(x) \leq g(x)$ sur $[a,b]$, alors :
            $ \int_a^b f(x) \, dx \leq \int_a^b g(x) \, dx $

            \textbf{Valeur Absolue :}\\
            $$ \left| \int_a^b f(x) \, dx \right| \leq \int_a^b |f(x)| \, dx $$

            \begin{tcolorbox}[examplebox, title={Encadrement}]
                Si pour tout $x \in [a,b]$, on a $m \leq f(x) \leq M$, alors :
                $ m(b-a) \leq \int_a^b f(x) \, dx \leq M(b-a) $
            \end{tcolorbox}
        \end{tcolorbox}

        % ==========================================
        % 3. VALEUR MOYENNE
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={myorange}{{3. Valeur Moyenne}}]
            La valeur moyenne $\mu$ d'une fonction $f$ continue sur l'intervalle $[a,b]$ (avec $a \neq b$) est donnée par :

            $\mu = \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x) \, dx $

            \textit{Interprétation géométrique :} C'est la hauteur du rectangle de base $[a,b]$ qui a la même aire que le domaine sous la courbe de $f$.
        \end{tcolorbox}

        % ==========================================
        % 4. INTÉGRATION PAR PARTIES (IPP)
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={mygreen}{{4. Intégration par Parties (IPP)}}]
            Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur $[a,b]$ dont les dérivées $u'$ et $v'$ sont continues.
            $$ \int_a^b u(x)v'(x) \, dx = \left[ u(x)v(x) \right]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x) \, dx $$

            \begin{tcolorbox}[examplebox, title={\color{red} Choix de $u(x)$ : Règle ALPES}]
                Pour bien choisir la fonction à dériver $u(x)$, on suit l'ordre de priorité du mot \textbf{ALPES} :
                \textbf{A} : Arctan (Hors programme PC/SVT)
                \begin{multicols}{2}
                    \textbf{L} : \textbf{L}ogarithme ($\ln$)\\
                    \textbf{P} : \textbf{P}olynôme ($x, x^2+1,.$)\\
                    \textbf{E} : \textbf{E}xponentielle ($e^x$)\\
                    \textbf{S} : \textbf{S}inus / Cosinus
                \end{multicols}
            \end{tcolorbox}

            \begin{tcolorbox}[examplebox, title={Exemple d'Application}]
                Calculer $I = \int_1^e x \ln(x) \, dx$\\
                D'après \textbf{ALPES}, on pose $u(x) = \ln(x)$ (priorité L) et $v'(x) = x$.\\
                $ \begin{cases} u(x) = \ln(x) \\ v'(x) = x \end{cases} \implies \begin{cases} u'(x) = \frac{1}{x} \\ v(x) = \frac{x^2}{2} \end{cases} $\\
                $I = \left[ \frac{x^2}{2} \ln(x) \right]_1^e - \int_1^e \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx$
                $ = \left( \frac{e^2}{2} \ln(e) - 0 \right) - \frac{1}{2} \int_1^e x \, dx$\\
                $I = \frac{e^2}{2} - \frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_1^e = \frac{e^2}{2} - \left( \frac{e^2}{4} - \frac{1}{4} \right) = \frac{e^2 + 1}{4}$
            \end{tcolorbox}
        \end{tcolorbox}

        % ==========================================
        % 5. CALCUL DES AIRES
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={mypink}{{5. Calcul des Aires}}]
            L'aire du domaine délimité par la courbe $(C_f)$, l'axe des abscisses, et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$ est :
            $$ \mathcal{A} = \left( \int_a^b |f(x)| \, dx \right) \times u.a $$
            où $u.a$ est l'unité d'aire : $u.a = ||\vec{i}|| \times ||\vec{j}||$.

            \begin{center}
                \begin{tikzpicture}[scale=0.8]
                    \draw[->] (-0.5,0) -- (3.5,0) node[right] {$x$};
                    \draw[->] (0,-0.5) -- (0,2.5) node[above] {$y$};
                    \draw[thick, blue] (0.5, 0.5) to[out=60, in=180] (2, 2) to[out=0, in=120] (3, 1);
                    \fill[blue!20, opacity=0.5] (1,0) -- (1, 1.25) to[out=55, in=180] (2, 2) to[out=0, in=135] (2.5, 1.5) -- (2.5,0) -- cycle;
                    \draw[dashed] (1,0) node[below]{$a$} -- (1,1.25);
                    \draw[dashed] (2.5,0) node[below]{$b$} -- (2.5,1.5);
                    \node at (1.8, 0.8) {$\mathcal{A}$};
                    \node[blue] at (3.2, 1.5) {$(C_f)$};
                \end{tikzpicture}
            \end{center}

            \textbf{Aire entre deux courbes $(C_f)$ et $(C_g)$ :}\\
            $$ \mathcal{A} = \left( \int_a^b |f(x) - g(x)| \, dx \right) \times u.a $$

%           \begin{tcolorbox}[examplebox, title={\color{red} Attention à la valeur absolue}]
%               Pour calculer $\int_a^b |f(x)| \, dx$, il faut \textbf{étudier le signe} de $f(x)$ sur $[a,b]$. Si la courbe coupe l'axe des abscisses en $c$, on utilise la relation de Chasles :\\
%               $\int_a^b |f(x)| dx = \int_a^c f(x) dx - \int_c^b f(x) dx$ (si $f \leq 0$ sur $[c,b]$).
%           \end{tcolorbox}
        \end{tcolorbox}

        % ==========================================
        % 6. CALCUL DES VOLUMES
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={myblue}{{6. Calcul des Volumes}}]
            Soit $f$ une fonction continue sur $[a,b]$.\\
            La rotation de la courbe $(C_f)$ autour de l'axe des abscisses engendre un solide de révolution.\\
            Le volume $\mathcal{V}$ de ce solide est donné par :

            $$ \mathcal{V} = \left( \pi \int_a^b (f(x))^2 \, dx \right) \times u.v $$

            où $u.v$ est l'unité de volume : $$u.v = ||\vec{i}|| \times ||\vec{j}|| \times ||\vec{k}||$$
%           \begin{tcolorbox}[examplebox, title={Astuce Examen}]
%               On vous demande souvent de déduire le volume ou l'aire juste après avoir calculé une intégrale avec IPP. Assurez-vous de bien remplacer l'unité d'aire ou de volume.
%               Par exemple : si $||\vec{i}|| = ||\vec{j}|| = 2cm$, alors $u.a = 2 \times 2 = 4 cm^2$, et $u.v = 2 \times 2 \times 2 = 8 cm^3$.
%           \end{tcolorbox}
        \end{tcolorbox}

    \end{multicols}

\end{document}