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% Custom Colors
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% Custom Box Styles
\tcbset{
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}

\begin{document}
    % ==========================================
    % EN-TÊTE
    % ==========================================
    \begin{center}
        \begin{tcolorbox}[
            enhanced,
            colback=myblue!10,        
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            {\Huge \bfseries \textsf{\textcolor{myblue!90!black}{Résumé de Cours : Suites Numériques}}} \\
            \vspace{0.1cm}
            {\LARGE \bfseries Prof : \textcolor{red!70!black}{SOUHAIL Mohamed} \quad \textcolor{gray}{\textbf{|}} \quad \textsf{Lycée Ibnou Batouta}}
        \end{tcolorbox}
    \end{center}

    \begin{multicols}{3}

        % ==========================================
        % 1. RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={myyellow}{{1. Raisonnement par Récurrence}}]
            Pour démontrer qu'une proposition $P(n)$ est vraie pour tout entier $n \geq n_0$ :

            \textbf{1. Initialisation :}\\
            On vérifie que $P(n_0)$ est vraie.

            \textbf{2. Hérédité :}\\
            Soit $n \geq n_0$. On suppose que $P(n)$ est vraie (Hypothèse de récurrence), et on montre que $P(n+1)$ est vraie.

            \textbf{3. Conclusion :}\\
            D'après le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout $n \geq n_0$.

%           \begin{tcolorbox}[examplebox, title={\color{red} Très fréquent à l'examen}]
%               Utilisé systématiquement pour montrer qu'une suite est minorée ($u_n > m$), majorée ($u_n < M$) ou pour déterminer sa monotonie.
%           \end{tcolorbox}
        \end{tcolorbox}

        % ==========================================
        % 2. MONOTONIE ET BORNES
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={mycyan}{{2. Généralités sur les suites}}]
            \textbf{Suites minorées, majorées, bornées :}\\
            - Majorée par $M$ : $\forall n \in \mathbb{N}, \ u_n \leq M$\\
            - Minorée par $m$ : $\forall n \in \mathbb{N}, \ u_n \geq m$\\
            - Bornée : $\forall n \in \mathbb{N}, \ m \leq u_n \leq M$

            \textbf{Monotonie (Sens de variation) :}\\
            On étudie le signe de la différence $\mathbf{u_{n+1} - u_n}$ :\\
            - Si $u_{n+1} - u_n \geq 0$, $(u_n)$ est \textbf{croissante}.\\
            - Si $u_{n+1} - u_n \leq 0$, $(u_n)$ est \textbf{décroissante}.
        \end{tcolorbox}

        % ==========================================
        % 3. SUITES ARITHMÉTIQUES
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={myorange}{{3. Suites Arithmétiques}}]
            Une suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ si :
            $$ u_{n+1} = u_n + r \iff u_{n+1} - u_n = r $$

            \textbf{Terme général (en fonction de $n$) :}\\
            Pour tous entiers $n$ et $p$ :
            $ u_n = u_p + (n - p)r $

            Si le premier terme est $u_0$ : $u_n = u_0 + nr$

            \textbf{Somme des termes consécutifs :}\\
            $ S_n = u_p + u_{p+1} + \dots + u_n = \text{(Nbr de termes)} \times \frac{u_p + u_n}{2} $

            Avec : $\text{Nombre de termes} = n - p + 1$.
        \end{tcolorbox}

        % ==========================================
        % 4. SUITES GÉOMÉTRIQUES
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={mypink}{{4. Suites Géométriques}}]
            Une suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q$ si :

            $ v_{n+1} = q \times v_n \iff \frac{v_{n+1}}{v_n} = q $

            \textbf{Terme général (en fonction de $n$) :}\\
            Pour tous entiers $n$ et $p$ :
            $ v_n = v_p \times q^{n - p} $
            Si le premier terme est $v_0$ : $v_n = v_0 \times q^n$

            \textbf{Somme des termes consécutifs ($q \neq 1$) :}\\
            $$ S_n = v_p \times \frac{1 - q^{\text{Nbr de termes}}}{1 - q} $$
        \end{tcolorbox}

        % ==========================================
        % 5. LIMITES USUELLES
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={mygreen}{{5. Limites et Convergence}}]
            \textbf{Limite de la suite $\mathbf{(q^n)}$ :}\\
            - Si $\mathbf{q > 1}$ : $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n = +\infty$\\
            - Si $\mathbf{-1 < q < 1}$ : $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n = 0$\\
            - Si $\mathbf{q = 1}$ : $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n = 1$\\
            - Si $\mathbf{q \leq -1}$ : La suite n'a pas de limite.

            \textbf{Limites avec $n^p$ ($p > 0$) :}\\
            $\lim\limits_{n \to +\infty} n^p = +\infty \quad ; \quad \lim\limits_{n \to +\infty} \frac{1}{n^p} = 0$

            \textbf{Théorèmes de convergence :}\\
            - Toute suite \textbf{croissante et majorée} est convergente.\\
            - Toute suite \textbf{décroissante et minorée} est convergente.
        \end{tcolorbox}

        % ==========================================
        % 6. CRITÈRES DE COMPARAISON
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={myblue}{{6. Critères d'Encadrement}}]
            Soient $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ trois suites.\\

            \textbf{Théorème des Gendarmes :}
            Si $v_n \leq u_n \leq w_n$ et $\lim v_n = \lim w_n = l$, alors :
            $ \lim u_n = l $

            \textbf{Limites infinies :}\\
            - Si $u_n \geq v_n$ et $\lim v_n = +\infty \implies \lim u_n = +\infty$\\
            - Si $u_n \leq v_n$ et $\lim v_n = -\infty \implies \lim u_n = -\infty$
        \end{tcolorbox}

        % ==========================================
        % 7. SUITE LIÉE À UNE FONCTION
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={myyellow}{{7. Suite de la forme $u_{n+1} = f(u_n)$}}]
            Ce théorème est le plus important à l'examen pour déterminer la limite finale d'une suite.\\
            Si les \textbf{5 conditions} suivantes sont vérifiées :
            \begin{enumerate}
                \item $f$ est une fonction continue sur un intervalle $I$.
                \item $f(I) \subset I$ (L'image de $I$ est incluse dans $I$).
                \item $u_0 \in I$.
                \item $(u_n)$ est convergente (admet une limite $l$).
                \item $u_{n+1} = f(u_n)$ pour tout $n\geq n_0$.
            \end{enumerate}

            \textbf{ALORS :} La limite $l$ de la suite $(u_n)$ est solution de l'équation :
            $ \mathbf{f(l) = l} $

            \begin{tcolorbox}[examplebox]
                Il faut souvent résoudre $f(x) - x = 0$ et choisir la solution $l$ qui appartient à l'intervalle $I$.
            \end{tcolorbox}
        \end{tcolorbox}
        % ==========================================
        % 8. SUITE AUXILIAIRE ET CONTINUITÉ
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={mypink}{{8. Suite auxiliaire $v_n = f(u_n)$}}]
            \textbf{Continuité et limite :}\\
            Si la suite $(u_n)$ converge vers une limite $l$, et si la fonction $f$ est continue au point $l$, alors :

            $ \lim\limits_{n \to +\infty} v_n = f\left(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n\right) = f(l) $
            \begin{tcolorbox}[examplebox, title={Méthode}]
                Très souvent, on utilise une suite auxiliaire $v_n$ pour déterminer la limite finale :
                \begin{enumerate}
                    \item Montrer que $(v_n)$ est géométrique ou arithmétique.
                    \item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
                    \item Isoler $u_n$ pour l'exprimer en fonction de $v_n$, puis en déduire $u_n$ en fonction de $n$.
                    \item Calculer la \textbf{limite} de $(u_n)$.
                \end{enumerate}
            \end{tcolorbox}
        \end{tcolorbox}
    \end{multicols}

\end{document}