\documentclass[10pt,landscape,a4paper]{article}
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% Custom Colors
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% Custom Box Styles
\tcbset{
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\everymath{\displaystyle}
\begin{document}
    % ==========================================
    % EN-TÊTE
    % ==========================================
    \begin{center}
        \begin{tcolorbox}[
            enhanced,
            colback=myblue!10,        
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            {\Huge \bfseries \textsf{\textcolor{myblue!90!black}{Résumé de Cours : Limites et Continuité}}} \\
            \vspace{0.1cm}
            {\LARGE \bfseries Prof : \textcolor{red!70!black}{SOUHAIL Mohamed} \quad \textcolor{gray}{\textbf{|}} \quad \textsf{Lycée Ibnou Batouta}}
        \end{tcolorbox}
    \end{center}

    \begin{multicols}{3}

        % ==========================================
        % 1. CONTINUITÉ EN UN POINT
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={myyellow}{{1. Continuité en un point}}]
            $f$ est \textbf{continue en $x_0$} si :
            $ \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) $

            \textbf{Continuité à droite et à gauche :}\\
            $f$ est continue en $x_0$ ssi elle est continue à droite et à gauche :
            $ \lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0) $
        \end{tcolorbox}
        % ==========================================
        % 8. CONTINUITÉ SUR UN INTERVALLE
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={mygreen}{{8. Continuité sur un intervalle}}]
            - $f$ est continue sur $]a, b[$ si elle est continue en tout point de $]a, b[$.\\
            - $f$ est continue sur $[a, b]$ si elle est continue sur $]a, b[$, continue à droite en $a$ et à gauche en $b$.

            \textbf{Continuité des fonctions usuelles :}\\
            1. Toute fonction \textbf{polynôme} est continue sur $\mathbb{R}$.\\
            2. Toute fonction \textbf{rationnelle} est continue sur chaque intervalle de son domaine de définition.\\
            3. Les fonctions $\mathbf{\sin}$ et $\mathbf{\cos}$ sont continues sur $\mathbb{R}$.\\
            4. La fonction $\mathbf{\tan}$ est continue sur chaque intervalle de son domaine $D = \mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2} + k\pi\}$.\\
            5. La fonction $\mathbf{x \mapsto \sqrt{x}}$ est continue sur $[0, +\infty[$.
        \end{tcolorbox}

        % ==========================================
        % 9. OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONS CONTINUES
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={myorange}{{9. Opérations sur les fonctions continues}}]
            Si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur un intervalle $I$, alors :\\
            - $f+g$, $f-g$ et $f \times g$ sont continues sur $I$.\\
            - $\lambda f$ ($\lambda \in \mathbb{R}$) est continue sur $I$.\\
            - $|f|$ et $f^n$ ($n \in \mathbb{N}^*$) sont continues sur $I$.\\
            - $\frac{f}{g}$ et $\frac{1}{g}$ sont continues sur $I$ (si $g(x) \neq 0$ sur $I$).\\
            - $\sqrt{f}$ est continue sur $I$ (si $f(x) \geq 0$ sur $I$).

            \textbf{Continuité de la composée :}\\
            Si $f$ est continue sur un intervalle $I$ et $g$ est continue sur un intervalle $J$ tel que $\mathbf{f(I) \subset J}$, alors la fonction $\mathbf{g \circ f}$ est continue sur $I$.
        \end{tcolorbox}
        % ==========================================
        % 2. TVI (THÉORÈME DES VALEURS INTERMÉDIAIRES)
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={mycyan}{{2. Théorème des Valeurs Intermédiaires}}]
            Soit $f$ une fonction \textbf{continue} sur $[a,b]$.\\
            Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c \in [a,b]$ tel que $\mathbf{f(c) = k}$.

            \textbf{Cas particulier (Existence de solution) :}\\
            Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et $\mathbf{f(a) \times f(b) \leq 0}$, alors l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans $[a,b]$.

            \textbf{Cas d'unicité (Bijection) :}\\
            Si $f$ est \textbf{continue} et \textbf{strictement monotone} sur $[a,b]$, alors Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x)=k$ admet une \textbf{unique} solution.
        \end{tcolorbox}

        % ==========================================
        % 3. IMAGE D'UN INTERVALLE
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={myorange}{{3. Image d'un intervalle}}]
            L'image d'un intervalle par une fonction \textbf{continue}.
            \begin{center}
                \renewcommand{\arraystretch}{1.2}
                \begin{tabular}{|c|c|c|}
                    \hline
                    Intervalle $I$ & $f$ croissante & $f$ décroissante \\
                    \hline
                    $[a,b]$ & $[f(a), f(b)]$ & $[f(b), f(a)]$ \\
                    \hline
                    $[a,b[$ & $[f(a), \lim_{x \to b^-} f(x)[$ & $]\lim_{x \to b^-} f(x), f(a)]$ \\
                    \hline
                    $]a,b[$ & $]\lim_{a^+} f, \lim_{b^-} f[$ & $]\lim_{b^-} f, \lim_{a^+} f[$ \\
                    \hline
                \end{tabular}
            \end{center}
        \end{tcolorbox}

        % ==========================================
        % 4. FONCTION RÉCIPROQUE
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={mygreen}{{4. Fonction Réciproque $f^{-1}$}}]
            Si $f$ est \textbf{continue} et \textbf{strictement monotone} sur $I$, alors elle réalise une bijection de $I$ vers $J = f(I)$.

            \textbf{Propriétés de $f^{-1}$ :}\\
            1. $f^{-1}$ est continue sur $J$.\\
            2. $f^{-1}$ a le \textbf{même sens de variation} que $f$.\\
            3. Courbes : $(C_{f^{-1}})$ et $(C_f)$ sont symétriques par rapport à la droite $\mathbf{y = x}$ (1ère bissectrice).

            $$ \begin{cases} f(x) = y \\ x \in I \end{cases} \iff \begin{cases} f^{-1}(y) = x \\ y \in J \end{cases} $$
        \end{tcolorbox}

        % ==========================================
        % 5. RACINE N-IÈME
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={mypink}{{5. Racine $n$-ième $\sqrt[n]{x}$}}]
            Soit $n \in \mathbb{N}^*$. La fonction $x \mapsto x^n$ est une bijection de $\mathbb{R}^+$ vers $\mathbb{R}^+$. Sa réciproque est la fonction racine $n$-ième : $\mathbf{x \mapsto \sqrt[n]{x}}$.

            \textbf{Propriétés ($x, y \geq 0$) :}\\
            - $\sqrt[n]{x} = x^{1/n}$\\
            - $\sqrt[n]{x} \times \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{xy}$\\
            - $\sqrt[n]{\sqrt[m]{x}} = \sqrt[nm]{x}$\\
            - $(\sqrt[n]{x})^m = \sqrt[n]{x^m} = x^{m/n}$

            \textbf{Limites :} 
            $ \lim_{x \to +\infty} \sqrt[n]{x} = +\infty $
        \end{tcolorbox}

        % ==========================================
        % 6. MÉTHODE : ÉTUDE DE CONTINUITÉ
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={myblue}{{6. Opérations et Compositions}}]
            \textbf{Somme, produit, quotient :} La continuité se conserve par ces opérations (attention au dénominateur $\neq 0$).\\
            \textbf{Composition :} Si $f$ est continue sur $I$ et $g$ est continue sur $f(I)$, alors $g \circ f$ est continue sur $I$.

            \begin{tcolorbox}[examplebox, title={Calcul de Limite}]
                Si $f$ est continue en $L$ et $\lim_{x \to x_0} u(x) = L$, alors :
                $$ \lim_{x \to x_0} f(u(x)) = f(L) $$
            \end{tcolorbox}
        \end{tcolorbox}

        % ==========================================
        % 7. ASTUCE EXAMEN : TVI
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={myorange}{{7. Étapes pour $f(x)=0$}}]
            Pour montrer que $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha \in ]a,b[$ :
            \begin{enumerate}
                \item Vérifier la \textbf{continuité} de $f$ sur $[a,b]$.
                \item Calculer $f(a)$ et $f(b)$ et vérifier que $\mathbf{f(a) \times f(b) < 0}$.
                \item Montrer que $f$ est \textbf{strictement monotone} (calcul de $f'$).
            \end{enumerate}
        \end{tcolorbox}

    \end{multicols}
\end{document}