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% Custom Colors
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% Custom Box Styles
\tcbset{
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}

\begin{document}
    % ==========================================
    % EN-TÊTE
    % ==========================================
    \begin{center}
        \begin{tcolorbox}[
            enhanced,
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            {\Huge \bfseries \textsf{\textcolor{myblue!90!black}{Résumé de Cours : Fonction Exponentielle}}} \\
            \vspace{0.2cm}
            {\LARGE \bfseries Prof : \textcolor{red!70!black}{SOUHAIL Mohamed} \quad \textcolor{gray}{\textbf{|}} \quad \textsf{Lycée Ibnou Batouta}}
        \end{tcolorbox}
    \end{center}

    \begin{multicols}{3}

        % ==========================================
        % 1. DÉFINITION ET LIEN AVEC LN
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={myyellow}{{1. Définition et Lien avec $\ln$}}]
            La fonction exponentielle népérienne, notée $\exp$ ou $\mathbf{x \mapsto e^x}$, est la bijection réciproque de la fonction $\ln$.\\
            Le domaine de définition est $D_f = \mathbb{R}$.

            \textbf{Conséquences directes :}\\
            Pour tout $x \in \mathbb{R}$ et pour tout $y > 0$ :
            $$ e^x = y \iff x = \ln(y),\quad \ln(e^x) = x \quad \text{et} \quad e^{\ln(y)} = y $$

            \textit{Remarque :} Le nombre $e$ vérifie $\ln(e) = 1$ et $e \approx 2,718$.
            La fonction $x \mapsto e^x$ est \textbf{strictement positive} sur $\mathbb{R}$ ($e^x > 0$).
        \end{tcolorbox}

        % ==========================================
        % 2. PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={mycyan}{{2. Propriétés Algébriques}}]
            Les propriétés de la fonction exponentielle sont analogues à celles des puissances.\\
            Pour tous réels $a$ et $b$, et pour tout entier $r \in \mathbb{Q}$ :

            - $ e^0 = 1 \quad ; \quad e^1 = e $\\
            - $ e^{a+b} = e^a \times e^b $\\
            - $ e^{-a} = \frac{1}{e^a} $\\
            - $ e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b} $\\
            - $ (e^a)^r = e^{r \times a} $
        \end{tcolorbox}

        % ==========================================
        % 3. ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={myorange}{{3. Équations et Inéquations}}]
            La fonction $x \mapsto e^x$ est \textbf{strictement croissante} sur $\mathbb{R}$. Par conséquent, pour tous réels $a$ et $b$ :
            $$ e^a = e^b \iff a = b \text{ et } e^a < e^b \iff a < b $$
            \begin{tcolorbox}[examplebox, title={Application}]
                Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation : 

                $e^{2x} - e^x \geq 0$
                $\iff e^{2x} \geq e^x$
                $\iff 2x \geq x \quad$
                $\iff x \geq 0$

                Donc $S = [0, +\infty[$.
            \end{tcolorbox}
        \end{tcolorbox}

        % ==========================================
        % 4. LIMITES USUELLES (TRÈS IMPORTANT)
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={mygreen}{{4. Limites Fondamentales}}]
            \textbf{Limites aux bornes :}
            $$ \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty \quad ; \quad \lim_{x \to -\infty} e^x = 0 $$

            \textbf{Croissances comparées :}
            Pour tout entier $n \geq 1$ :
            $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty \quad ; \quad \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty $$
            $$ \lim_{x \to -\infty} x e^x = 0 \quad ; \quad \lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0 $$

            \textbf{Limite au point $0$ :}
            $ \lim\limits_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 $

            \begin{tcolorbox}[examplebox, title={\color{red} Astuce pour les formes indéterminées}]
                En $+\infty$ : Si vous avez une F.I. de type $\frac{\infty}{\infty}$, pensez à factoriser par $e^x$ en haut et en bas.\\
                En $-\infty$ : Pensez souvent à développer pour faire apparaître la limite usuelle $\lim\limits_{x \to -\infty} x e^x = 0$.
            \end{tcolorbox}
        \end{tcolorbox}

        % ==========================================
        % 5. DÉRIVÉE ET PRIMITIVES
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={mypink}{{5. Dérivation et Primitives}}]
            \textbf{Dérivée de base :}\\
            La fonction $x \mapsto e^x$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et sa dérivée est elle-même :
            $ (e^x)' = e^x $

            \textbf{Dérivée d'une fonction composée :}\\
            Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$, alors la fonction $e^{u(x)}$ est dérivable sur $I$ et :

            $ (e^{u(x)})' = u'(x) \cdot e^{u(x)} $

            \textbf{Primitives :}\\
            Toute fonction de la forme $u'(x) e^{u(x)}$ admet pour primitives les fonctions de la forme :
            $$e^{u(x)} + C \quad (C \in \mathbb{R}) $$

%           \begin{tcolorbox}[examplebox, title={Exemple de calcul}]
%               Soit $f(x) = (2x + 1) e^{x^2 + x}$. \\
%               On remarque que $f(x) = u'(x) e^{u(x)}$ avec $u(x) = x^2 + x$.\\
%               Donc les primitives sont : $F(x) = e^{x^2 + x} + C$.
%           \end{tcolorbox}
        \end{tcolorbox}

        % ==========================================
        % 6. COURBE REPRÉSENTATIVE
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={myblue}{{6. Courbe Représentative}}]
            \begin{center}
                \begin{tikzpicture}[scale=0.8]
                    % Repère
                    \draw[->, thick] (-3,0) -- (3,0) node[right] {$x$};
                    \draw[->, thick] (0,-0.5) -- (0,4.5) node[above] {$y$};
                    \draw (0,0) node[below left] {$O$};

                    % Courbe exponentielle
                    \draw[domain=-3:1.4, smooth, variable=\x, blue, very thick] plot ({\x}, {exp(\x)});
                    \node[blue, right] at (1.4, 4) {$(C_{exp})$};

                    % Tangente en 0
                    \draw[domain=-1.5:2.5, smooth, variable=\x, red, dashed, thick] plot ({\x}, {\x + 1});
                    \node[red, right] at (2, 3) {$(T) : y = x + 1$};

                    % Points clés
                    \filldraw[black] (0,1) circle (2pt) node[above left] {$1$};
                    \filldraw[black] (1,2.718) circle (2pt);
                    \draw[dotted] (1,0) node[below] {$1$} -- (1,2.718) -- (0,2.718) node[left] {$e$};
                \end{tikzpicture}
            \end{center}
            - L'axe des abscisses ($y=0$) est une \textbf{asymptote horizontale} au voisinage de $-\infty$.\\
            - La courbe admet une \textbf{branche parabolique} de direction l'axe des ordonnées au voisinage de $+\infty$.
        \end{tcolorbox}
        % ==========================================
        % FONCTION EXPONENTIELLE DE BASE a
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={myorange}{{7. Fonction Exponentielle de base $a$}}]
            Soit $a$ un réel tel que $a > 0$ et $a \neq 1$.\\
            La fonction exponentielle de base $a$, notée $x \mapsto a^x$, est définie sur $\mathbb{R}$ par :
            $ a^x = e^{x \ln(a)} $

            \textbf{Propriétés principales :}\\
            - \textbf{Dérivée :} Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $(a^x)' = \ln(a) \cdot a^x$\\
            - \textbf{Monotonie et Limites :} Le sens de variation dépend de $a$ :\\
            \quad $\bullet$ \textbf{Si $\mathbf{a > 1}$ :} Fonction \textbf{strictement croissante} (car $\ln(a) > 0$).\\
            \quad $\lim\limits_{x \to +\infty} a^x = +\infty \quad ; \quad \lim\limits_{x \to -\infty} a^x = 0$\\
            \quad $\bullet$ \textbf{Si $\mathbf{0 < a < 1}$ :} Fonction \textbf{strictement décroissante} (car $\ln(a) < 0$).\\
            \quad $\lim\limits_{x \to +\infty} a^x = 0 \quad ; \quad \lim\limits_{x \to -\infty} a^x = +\infty$

%           \vspace{0.1cm}
%           \begin{tcolorbox}[examplebox, title={Remarque : Exponentielle de base 10}]
%               La fonction $x \mapsto 10^x = e^{x \ln(10)}$ est la bijection réciproque de la fonction logarithme décimal ($\log$).\\
%               On a : $10^{\log(x)} = x \ (x > 0)$ et $\log(10^x) = x \ (x \in \mathbb{R})$.
%           \end{tcolorbox}
        \end{tcolorbox}
    \end{multicols}

\end{document}