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% Custom Colors
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% Custom Box Styles
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}

\begin{document}
    % ==========================================
    % EN-TÊTE
    % ==========================================
    \begin{center}
        \begin{tcolorbox}[
            enhanced,
            colback=myblue!10,        
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            {\Huge \bfseries \textsf{\textcolor{myblue!90!black}{Résumé de Cours : Les Primitives}}} \\
            \vspace{0.3cm}
            {\LARGE \bfseries Prof : \textcolor{red!70!black}{SOUHAIL Mohamed} \quad \textcolor{gray}{\textbf{|}} \quad \textsf{Lycée Ibnou Batouta}}
        \end{tcolorbox}
    \end{center}

    \begin{multicols}{3}

        % ==========================================
        % 1. DÉFINITION ET PROPRIÉTÉS
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={myyellow}{{1. Définition et Propriétés}}]
            Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$.\\
            On appelle \textbf{fonction primitive} de $f$ sur $I$, toute fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que :
            $$ \forall x \in I, \quad F'(x) = f(x) $$

            \textbf{Ensemble des primitives :}\\
            Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, alors toutes les primitives de $f$ sur $I$ sont de la forme :
            $$ \mathbf{x \mapsto F(x) + c} \quad (c \in \mathbb{R}) $$

            \textbf{Linéarité :}\\
            Si $F$ et $G$ sont des primitives de $f$ et $g$, alors :\\
            - $F+G$ est une primitive de $f+g$\\
            - $kF$ est une primitive de $k f$ ($k \in \mathbb{R}$)
        \end{tcolorbox}

        % ==========================================
        % 2. CONDITION INITIALE
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={mycyan}{{2. Primitive vérifiant une condition}}]
            Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet une infinité de primitives.\\
            Cependant, pour tout $x_0 \in I$ et $y_0 \in \mathbb{R}$, il existe une \textbf{unique} primitive $F$ de $f$ sur $I$ qui vérifie la condition initiale :
            $$ F(x_0) = y_0 $$

            \begin{tcolorbox}[examplebox, title={Méthode : Trouver la constante $c$}]
                Déterminer la primitive $F$ de $f(x) = 2x + 3$ telle que $F(1) = 5$.\\
                1. \textbf{Forme générale :} $F(x) = x^2 + 3x + c$\\
                2. \textbf{Utiliser la condition :} $F(1) = 5$\\
                $1^2 + 3(1) + c = 5 \implies 4 + c = 5 \implies c = 1$\\
                3. \textbf{Conclusion :} $F(x) = x^2 + 3x + 1$
            \end{tcolorbox}
        \end{tcolorbox}

        % ==========================================
        % 3. FONCTIONS USUELLES
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={myorange}{{3. Primitives Usuelles}}]
            Dans le tableau suivant, $c$ est une constante réelle.\\

            \begin{center}
                \renewcommand{\arraystretch}{1.5}
                \begin{tabular}{|c|c|}
                    \hline
                    \textbf{Fonction $\mathbf{f(x)}$} & \textbf{Primitive $\mathbf{F(x)}$} \\
                    \hline
                    $a$ (constante) & $ax + c$ \\
                    \hline
                    $x$ & $\frac{1}{2}x^2 + c$ \\
                    \hline
                    $x^n \ (n \in \mathbb{N})$ & $\frac{1}{n+1}x^{n+1} + c$ \\
                    \hline
                    $x^r \ (r \in \mathbb{Q} \setminus \{-1\})$ & $\frac{1}{r+1}x^{r+1} + c$ \\
                    \hline
                    $\frac{1}{\sqrt{x}} \ (x > 0)$ & $2\sqrt{x} + c$ \\
                    \hline
                \end{tabular}
            \end{center}

            \textit{Remarque :} La règle $x^r \to \frac{x^{r+1}}{r+1}$ fonctionne pour tous les exposants rationnels (puissances, fractions, négatifs) \textbf{sauf} pour $r = -1$ (c'est-à-dire $\frac{1}{x}$).
        \end{tcolorbox}

        % ==========================================
        % 4. FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={mygreen}{{4. Primitives Trigonométriques}}]
            \begin{center}
                \renewcommand{\arraystretch}{1.5}
                \begin{tabular}{|c|c|}
                    \hline
                    \textbf{Fonction $\mathbf{f(x)}$} & \textbf{Primitive $\mathbf{F(x)}$} \\
                    \hline
                    $\cos(x)$ & $\sin(x) + c$ \\
                    \hline
                    $\sin(x)$ & $-\cos(x) + c$ \\
                    \hline
                    $\cos(ax+b) \ (a \neq 0)$ & $\frac{1}{a}\sin(ax+b) + c$ \\
                    \hline
                    $\sin(ax+b) \ (a \neq 0)$ & $-\frac{1}{a}\cos(ax+b) + c$ \\
                    \hline
                    $1 + \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}$ & $\tan(x) + c$ \\
                    \hline
                \end{tabular}
            \end{center}

            \begin{tcolorbox}[examplebox]
                Primitive de $f(x) = \sin(2x - \pi)$ :\\
                Ici $a = 2$. Donc $F(x) = -\frac{1}{2}\cos(2x - \pi) + c$.
            \end{tcolorbox}
        \end{tcolorbox}

        % ==========================================
        % 5. OPÉRATIONS SUR LES PRIMITIVES
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={mypink}{{5. Opérations (Fonctions Composées)}}]
            Soit $u$ une fonction dérivable. Ces règles sont indispensables pour l'examen !
            \begin{center}
                \renewcommand{\arraystretch}{1.8}
                \begin{tabular}{|c|c|}
                    \hline
                    \textbf{La fonction $\mathbf{f}$} & \textbf{La primitive $\mathbf{F}$} \\
                    \hline
                    $u'(x) \cdot u(x)$ & $\frac{1}{2}[u(x)]^2 + c$ \\
                    \hline
                    $u'(x) \cdot [u(x)]^n$ & $\frac{1}{n+1}[u(x)]^{n+1} + c$ \\
                    $(n \neq -1)$ & \\
                    \hline
                    $\frac{u'(x)}{\sqrt{u(x)}} \ (u > 0)$ & $2\sqrt{u(x)} + c$ \\
                    \hline
                    $u'(x) \cdot \cos(u(x))$ & $\sin(u(x)) + c$ \\
                    \hline
                    $u'(x) \cdot \sin(u(x))$ & $-\cos(u(x)) + c$ \\
                    \hline
                \end{tabular}
            \end{center}
        \end{tcolorbox}

        % ==========================================
        % 6. ASTUCES DE CALCUL
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={myblue}{{6. Méthodologie et Astuces}}]
            \textbf{Apparition de la dérivée :}\\
            Très souvent, $f(x)$ ne ressemble pas directement à $u' \cdot u^n$. Il faut multiplier et diviser par une constante pour faire apparaître $u'(x)$.

            \begin{tcolorbox}[examplebox, title={Exemple classique}]
                Trouver les primitives de $f(x) = x \sqrt{x^2 + 1}$.\\
                On pose $u(x) = x^2 + 1 \implies u'(x) = 2x$.\\
                On remarque qu'il manque un "$2$" dans $f(x)$.\\
                On réécrit $f$ : 
                $ f(x) = \frac{1}{2} \cdot \mathbf{2x} \cdot (x^2+1)^{\frac{1}{2}}
                 = \frac{1}{2} \cdot u'(x) \cdot [u(x)]^{\frac{1}{2}} $\\
                En appliquant la règle $u' \cdot u^r \to \frac{u^{r+1}}{r+1}$ (avec $r = \frac{1}{2}$) :\\
                $F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + c = \frac{1}{3} \sqrt{(x^2+1)^3} + c$
            \end{tcolorbox}
        \end{tcolorbox}

    \end{multicols}

\end{document}