DM 1 - Arithmetiques, Calcul vectoriel et projection
📅 October 13, 2024 | 👁️ Views: 1.57K
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\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\noindent
\begin{center}
\begin{tabular}{@{}p{0.22\textwidth}p{0.57\textwidth}p{0.17\textwidth}}
%\toprule
\multirow{2}{*}{\parbox{\linewidth}{Prof MOSAID \newline \setstretch{1.2} \hspace*{6.5cm} \mylink }}
& \Centering {Devoir à domicile/2h} & \hfill TCSF \\
\bottomrule
\end{tabular}\\
\end{center}
%\begin{minipage}[t]{0.49\textwidth}
\underline{\textbf{Exercice 1}}\\
1. Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels tels que $a=216$ et $b=312$\\
\hspace*{0.5cm}a. Decomposer les nombres $a$ et $b$ en produits de facteurs premiers\\
\hspace*{0.5cm}b. Determiner $pgcd(a,b)$ ; $ppcm(a,b)$. Calculer $\sqrt{ab}$ ; $\dfrac{a}{b}$ \\
2. Est ce que 317 est un nombre premier?\\
3. Utiliser l'algorithme d'euclid pour determiner $pgcd(1344,4500)$\\
4. Soit $n \in \mathbb{N}$. Etudier la parité du nombre $A=n^3+n^2+n+1$\\
5. Résoudre dans $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ l'équation $(x-4)(x+7)=26$\\
\underline{\textbf{Exercice 2}}\\
Soit $ABC$ un triangle. Soient D, E et F des points du plan tels que:\\
\hspace*{1cm}
$\overrightarrow{BD}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}$~~~;~~~
$\overrightarrow{BF}=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{BE}$~~~;~~~
$\overrightarrow{AE}=-2\overrightarrow{AD}$\\
1. Construire la figure\\
2. Montrer que $\overrightarrow{EA}=2\overrightarrow{AB}+\dfrac{4}{3}\overrightarrow{BC}$ puis
$\overrightarrow{FB}=\dfrac{9}{5}\overrightarrow{AB}+\dfrac{4}{5}\overrightarrow{BC}$\\
3. Montrer que les points A, F et C sont alignés.\\
\underline{\textbf{Exercice 3}}\\
Soit $ABC$ un triangle. Soit I le milieu de [AB]. Soit $J\in(AB)$ tel que
$3\overrightarrow{AJ}-2\overrightarrow{JB}=\overrightarrow{0}$\\
La droite passant par J parallèlement à la droite (AC) coupe la droite (BC) au point K.\\
1. Construire une figure.\\
2. Calculer $\dfrac{KC}{KB}$\\
3. Montrer que $3\overrightarrow{KC}=-2\overrightarrow{KB}$\\
4. Montrer que $\overrightarrow{AK}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{5}\overrightarrow{AC}$\\
5. Soit le point H tel que $\overrightarrow{AH}=3\overrightarrow{AC}$.
Montrer que les points I, K et H sont alignés.\\
\underline{\textbf{Exercice 4}}\\
Soit ABCD un parallèlogramme de centre O. Soit le point M tel que
$\overrightarrow{BM}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{BD}$. la droite $(\Delta)$ passant par M parallèlement à
la droite $(AC)$ coupe les droites $(AB)$ et $(BC)$ en I et J respectivement. \\
1. Construire la figure\\
2. Montrer que $\overrightarrow{BJ}=\dfrac{4}{5}\overrightarrow{BC}$ et
$\overrightarrow{BI}=\dfrac{4}{5}\overrightarrow{BA}$.\\
3. Soit K le projeté du point J sur (DC) parallèlement à (BD). Determiner $\overrightarrow{DK}$
en fonction de $\overrightarrow{DC}$\\
\textcolor{white}{.}\hfill \mylink\\
\textcolor{white}{.}\hfill \underline{MOSAID le \today}\\
%\end{minipage}
%\hspace*{0.2cm}
%\vline
%\hspace*{0.2cm}
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%\end{minipage}
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