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\begin{document}
 \begin{tcolorbox}[ detach title,enhanced,right=1mm]
 \begin{tabular}{|X|X|X|}
 \hline
 &&\\[-2mm]
 lycée: S.I.B.S \newline 2023/2024
 &
 \hspace*{1cm} \textbf{ Devoir libre N°1}\newline
 \hspace*{1.5cm} semestre 1
 &
 Classe: TCSF1 \newline Pr: A.HAMOUCH\\[-3mm]&&\\\hline
 \end{tabular}
\end{tcolorbox}
\begin{exo}
A- Soit $n$ un entier naturel. Tel que $x=n^{2}+3 n+4$ et $y=n^{2}-3 n+4$.\\
1- Montrer que $x$ et $y$ sont deux nombres pairs.\\
2- Montrer que $x y^{2}$ est un multiple du nombre 8.\\
B- On considère les deux nombres $a=2160$ et $b=4860$.\\
1- Décomposer en produit de facteurs premiers $a$ et $b$.\\
2- Calculer le PPCM $(a:b)$ et le PGCD$(a,b)$.\\
3- Simplifier les deux nombres $\sqrt{a}$ et $\sqrt{b}$ et $ \frac{a}{b}$.\\
4- En déduire que $\sqrt{a \times b}$ est un entier naturel.\\



\end{exo}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{exo}
 On considère les deux nombres : $a=2^3 \times 3^2 \times 7$\\
1. Montrer que 24 est un diviseur de $a$.\\
2. Déterminer le plus petit entier naturel $k$ tel que $ka$ soit un carré parfait.\\
3. Déterminer le plus petit entier naturel $m$ tel que $ma$ soit un cube d'un entier naturel.\\
4. Résoudre l'équation $(a,b) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$ ; $(a+1)(b+6)=35$.


\end{exo}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{exo}
Soient $ABCD$ un parallélogramme, et $E$, $F$ et $M$ trois points du plan tels que : $\overrightarrow{CE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{CF}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{CM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{CA}$.
\begin{enumerate}
    \item Construire une figure convenable.
    \item Montrer que : $2\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}$.
    \item Montrer que : $\overrightarrow{CF}=2\overrightarrow{CE}$. Que déduisez-vous ?
    \item Montrer que : $\overrightarrow{BE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}$ et $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{CD}-\frac{3}{4}\overrightarrow{CB}$.
    \item Déduire que les points $B$, $E$ et $M$ sont alignés.
\end{enumerate}




\end{exo}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{exo}
 Soit $ABC$ un triangle, et $E$ un point tel que $\overrightarrow{AE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$.\\
ET Soit $F$ le projeté du point $E$ sur la droite $(AC)$ parallèlement à la droite $(BC)$.\\
\begin{enumerate}
\item  Construire une figure convenable.\\
\item  Mntrer que: $\overrightarrow{AF}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$.\\
\item  Déduire que: $\overrightarrow{EF}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$.
\end{enumerate}
\end{exo}
\begin{tcolorbox}
   \centering NB : Ce travail est `a rendre pour le 19 décembre 2023
\end{tcolorbox}
\end{document}