Correction DM 1 - Arithmetiques, Exercice 1
📅 October 30, 2024 | 👁️ Views: 261
\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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\setlength{\columnseprule}{0.4pt} % Width of the vertical line
\hypersetup{
colorlinks=true,
linkcolor=blue
}
\newcommand{\mylink}{\href{https://mosaid.xyz/cc}{www.mosaid.xyz}}
\newcommand{\stamp}[2]{
\begin{tikzpicture}[remember picture, overlay]
\coordinate (A) at (#1,#2);
\draw[red!50] (A) circle (1.9cm);
% Draw the inner circle
\draw[red!50] (A) circle (1.4cm);
% Draw the curved line
\draw[red!50, decorate, decoration={text along path,
text={|\fontspec{DejaVu Sans}\color{red!75}\bfseries|★MOSAID RADOUAN★},
text align={align=center}, raise=-3pt}] (A) ++ (180:1.6cm) arc (180:0:1.6cm);
\draw[decorate, decoration={text along path,
text={|\fontspec{DejaVu Sans}\color{red!75}\bfseries|∞★~mosaid.xyz~★∞ },
text align={align=center}, raise=-6.5pt}] (A) ++ (180:1.53cm) arc (-180:0:1.53cm);
\node[red!75,font=\fontsize{48}{48}\fontspec{DejaVu Sans}\bfseries\selectfont] at (A) {✷};
\end{tikzpicture}
}
\everymath{\displaystyle}
\begin{document}
\noindent
\begin{center}
\begin{tabular}{@{}p{0.22\textwidth}p{0.57\textwidth}p{0.17\textwidth}}
%\toprule
\multirow{2}{*}{\parbox{\linewidth}{Prof MOSAID \newline \mylink }}
& \Centering {Correction Devoir à Domicile 1/Exercice 1} & \hfill TCS \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}
\noindent
\textbf{\underline{Exercice 1:}}\\
\noindent
Soient $a=216$ et $b=312$\\
1.a la décomposition:\\
\vspace*{-2cm}
\begin{center}
\begin{tabular}{r|l}
216&2\\
108&2\\
54&2\\
27&3\\
9&3\\
3&3\\
1&\\
\end{tabular}
\hspace*{1cm}
\begin{tabular}{r|l}
312&2\\
156&2\\
78&2\\
39&3\\
13&13\\
1&\\
\end{tabular}
\end{center}
Donc $a=2^3 \times 3^3$ ~~~~et~~~~ $b=2^3 \times 3 \times 13 $\\
On a $pgcd(a,b)=2^3 \times 3 = 24$ ~~~et~~~ $ppcm(a,b)=2^3 \times 3^3 \times 13$\\
On a $\sqrt{ab}=\sqrt{2^3 \times 3^3 \times 2^3 \times 3 \times 13}=\sqrt{2^6 \times 3^4 \times 13}$\\
\hspace*{1.9cm}$=\sqrt{(2^3)^2 \times (3^2)^2 \times 13}=2^3 \times 3^2\sqrt{13}= 72\sqrt{13}$\\
$\frac{a}{b}=\frac{2^3 \times 3^3}{2^3 \times 3 \times 13} = \frac{9}{13}$\\
Utiliser l'algorithme d'euclid pour determiner $pgcd(1344,4500)$\\
On a
\setlength{\abovedisplayskip}{0pt}
\setlength{\belowdisplayskip}{0pt}
\begin{align*}
4500&=1344 \times 3 + \textbf{468}\\
1344&=468 \times 2 + \textbf{408}\\
468&=408 \times 1 + \textbf{60}\\
408&=60 \times 6 + \textbf{48}\\
60&=48 \times 1 + \textbf{\textcolor{red}{12}}\\
48&=12 \times 4 + \textbf{0}
\end{align*}
\setlength{\abovedisplayskip}{\baselineskip}
\setlength{\belowdisplayskip}{\baselineskip}
Le dernier reste non nul est le pgcd donc $pgcd(4500,1344)=12$\\
\stamp{3}{4.5}
\clearpage
4. Etudier la parité de $A=n^3+n^2+n+1$;, ~~$n\in \mathbb{N}$\\
\begin{minipage}[t]{0.32\textwidth}
\textbf{methode 1:}\\
\underline{si n est paire} : donc $n^3$;~$n^2$ sont aussi paires et leurs somme est paire.
donc $(n^3+n^2+n) +1 $ est impaire\\
\underline{si n est impaire} : donc $n^3$;~$n^2$ sont aussi impaires et la somme de 3 impaires est impaire.
donc $(n^3+n^2+n) +1 $ est paire\\
\stamp{2.5}{-2}
\end{minipage}
\hspace*{0.1cm}\vline\hspace{0.1cm}
\begin{minipage}[t]{0.32\textwidth}
\textbf{methode 2:}\\
$A=n^3+n^2+n+1=n^2(n+1)+n+1=n.\textcolor{red}{n(n+1)}+n+1$\\
le produit $\textcolor{red}{n(n+1)}$ est paire donc $n.\textcolor{red}{n(n+1)}$ est paire\\
donc $n.\textcolor{red}{n(n+1)}=2a$,~~avec $a\in\mathbb{N}$
Alors $A=2a+n+1$\\
\underline{si n est paire} : donc il existe $k\in\mathbb{N}$ tel que $n=2k$\\
On a $A=2a+2k+1=2(a+k)+1$ donc \textbf{A est impaire}\\
\underline{si n est impaire} : donc il existe $k\in\mathbb{N}$ tel que $n=2k+1$\\
On a $A=2a+2k+1+1=2a+2k+2=2(a+k+1)$ donc \textbf{A est paire}\\
\end{minipage}
\hspace*{0.1cm}\vline\hspace{0.1cm}
\begin{minipage}[t]{0.32\textwidth}
\textbf{methode 3:}\\
$A=n^3+n^2+n+1$\\
$~~~=n^2(n+1)+n+1$\\
$~~~=n^2(n+1)+n+1$\\
$~~~=(n+1)(n^2+1)$\\
\underline{si n est paire} : donc il existe $k\in\mathbb{N}$ tel que $n=2k$\\
donc $A=(2k+1)((2k)^2+1)$ est le produit de deux impaires donc \textbf{impaire}\\
\underline{si n est impaire} : donc il existe $k\in\mathbb{N}$ tel que $n=2k+1$\\
donc \\
$A=(2k+1+1)((2k+1)^2+1)$\\
$~~=(2k+2)((2k+1)^2+1)$\\
$~~=2\textcolor{red}{(k+1)((2k+1)^2+1)}$\\
$~~=2\textcolor{red}{k'}$\\
donc \textbf{A est paire}\\
\end{minipage}
5. Pour résoudre l'équation $(x-4)(x+7)=26$ On détermine tout d'abord les diviseurs de 26:\\
On a $D_{26}=\{1,26,2,13\}$\\
donc :
$
\begin{cases}
x-4=1\\
x+7=26
\end{cases}
$
ou
$
\begin{cases}
x-4=26\\
x+7=1
\end{cases}
$
ou
$
\begin{cases}
x-4=2\\
x+7=13
\end{cases}
$
ou
$
\begin{cases}
x-4=13\\
x+7=2
\end{cases}
$
\\
donc
$
\begin{cases}
x=5\\
x=19
\end{cases}
$
ou
$
\begin{cases}
x=30\\
x=6
\end{cases}
$
ou
$
\mathbf{\textcolor{red}{
\begin{cases}
x=6\\
x=6
\end{cases}
}}
$
ou
$
\begin{cases}
x=17\\
x=-5
\end{cases}
$
\\
Le seul cas correct est $x=6$. donc la solution de cette équation est $x=6$.\\
\textcolor{white}{.}\hfill \underline{MOSAID le \today}\\
\vspace*{-1cm}
\textcolor{white}{.}\hfill \mylink
\end{document}
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