\documentclass{article}
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\newcommand{\annee}{2025-2026}
\newcommand{\prof}{MOSAID Radouan}

\fancyhead[C]{\textbf{SÉRIE ARITHMÉTIQUES (\thepage/\pageref{LastPage}) / TCSF}}
\fancyhead[L]{Année scolaire: \annee}
\fancyhead[R]{Prof: \prof}
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\begin{document}
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\vspace*{-3.5cm}
\begin{multicols}{2}

\subsubsection*{Exercice 01}
On pose $a=6n+11,\ b=2n+4,\ n\in\mathbb{N}$.
\begin{enumerate}[topsep=1pt,itemsep=2pt]
    \item Étudier la parité de $a$ et $b$.
    \item En déduire la parité de $c=(6n+11)(-1)^b+(2n+4)(-1)^a$.
    \item Montrer que $(a+1)^2+b^2$ est un multiple de $40$.
\end{enumerate}

\subsubsection*{Exercice 02}
\begin{enumerate}[topsep=1pt,itemsep=2pt]
    \item Étudier la parité de $n^2+3n+4$.
    \item Développer et réduire $(n^2+n)(n^2+3n+4)$.
    \item En déduire que $n^4+4n^3+7n^2+4n$ est un multiple de $4$.
\end{enumerate}

\subsubsection*{Exercice 03}
\begin{enumerate}[topsep=1pt,itemsep=2pt]
    \item Montrer que $n(n+1)(n+2)(n+3)$ est multiple de $4$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
    \item Existe-t-il $n\in\mathbb{N}$ tel que $n(n+1)(n+2)(n+3)=2010$ ?
\end{enumerate}

\subsubsection*{Exercice 04}
Soit $n$ un entier naturel impair.
\begin{enumerate}[topsep=1pt,itemsep=2pt]
    \item Montrer que $n^2-1$ est divisible par $8$.
    \item En déduire que 16 divise $(n^4-1)$. %\mid
    \item Soient $a,b$ deux entiers naturels impairs. Montrer que 16 divise ~$a^4+b^4-2$~
\end{enumerate}

\subsubsection*{Exercice 05}
\begin{enumerate}[topsep=1pt,itemsep=2pt]
    \item Vérifier que $337$ est premier.
    \item Décomposer $a=240$ et $b=2022$ en facteurs premiers.
    \item En déduire $\mathrm{pgcd}(a,b)$ et $\mathrm{ppcm}(a,b)$.
    \item Simplifier $\sqrt{240\times2022}$.
\end{enumerate}

\subsubsection*{Exercice 06}
On pose $a=2160,\ b=4860$.
\begin{enumerate}[topsep=1pt,itemsep=2pt]
    \item Décomposer $a$ et $b$ en facteurs premiers.
    \item En déduire $\mathrm{pgcd}(a,b)$ et $\mathrm{ppcm}(a,b)$.
    \item Donner la décomposition en facteurs premiers de $a^3\times b^2$.
    \item Montrer que $\sqrt{a\times b}$ est un entier naturel.
    \item Écrire $\frac{a}{b}$ sous forme irréductible.
\end{enumerate}

\subsubsection*{Exercice 07}
Pour $n\in\mathbb{N}$, on pose $a=7^{n+2}-7^n,\ b=3 \times7^{n+1}+5 \times7^n$.
\begin{enumerate}[topsep=1pt,itemsep=2pt]
    \item Montrer que $a$ est multiple de $3$ et $b$ multiple de $13$.
    \item Décomposer $a$ et $b$ en facteurs premiers.
    \item En déduire $\mathrm{pgcd}(a,b)$ et $\mathrm{ppcm}(a,b)$.
\end{enumerate}

\columnbreak

\subsubsection*{Exercice 08}
\begin{enumerate}[topsep=1pt,itemsep=2pt]
    \item Vérifier que $\frac{n+7}{n+1}=1+\frac{6}{n+1}$.
    \item Déterminer les valeurs de $n$ pour lesquelles $\frac{n+7}{n+1}\in\mathbb{N}$.
    \item Déterminer les valeurs de $n$ pour lesquelles $\frac{3n+28}{n+4}\in\mathbb{N}$.
\end{enumerate}

\subsubsection*{Exercice 09}
\begin{enumerate}[topsep=1pt,itemsep=2pt]
    \item Montrer que pour $x,y\in\mathbb{N}$, $x+y$ et $x-y$ sont de même parité.
    \item Déterminer les diviseurs de $28$.
    \item Résoudre $x^2-y^2=28$ en entiers naturels.
    \item Résoudre $mn+3m+2n=28$ en entiers naturels.
\end{enumerate}

\subsubsection*{Exercice 10}
\begin{enumerate}[topsep=1pt,itemsep=2pt]
    \item Résoudre $x^2-y^2=51$ en entiers naturels.
    \item Déterminer tous les couples $(a,b)$ tels que $a^2-b^2=7344$ et $\mathrm{pgcd}(a,b)=12$.
\end{enumerate}

\subsubsection*{Exercice 11}
\begin{enumerate}[topsep=1pt,itemsep=2pt]
    \item Soient \( a = 2520 \) et \( b = 1750 \).
    \begin{enumerate}[label=\alph*),topsep=1pt,itemsep=2pt]
        \item Décomposer \( a \) et \( b \) en produit de facteurs premiers puis calculer le pgcd\( (a, b) \) et \(\text{ppcm}(a, b)\).
        \item Calculer le nombre de diviseurs de \( a \).
        \item Déterminer le plus petit entier naturel \( m \) pour que le nombre \( ma \) soit un carré parfait.
        \item Déduire la simplification des nombres \( \frac{a}{b}, \sqrt{ab} \).
    \end{enumerate}

    \item Soit \( n \in \mathbb{N} \). \\
      On pose \( x = n^2 + n + 117 \) et \( y = (2n + 1)^{2025} + 2 \).
    \begin{itemize}[topsep=1pt,itemsep=2pt]
        \item Étudier la parité de \( x \) et \( y \).
    \end{itemize}

    \item Soit \( n \in \mathbb{N} \). Montrer que le nombre \( A = 5^{n+2} - 5^n \) est multiple de 6.

    \item On considère le nombre \( B \) tel que : \( B = \frac{n^2 + 5n + 14}{n + 3} \).
    \begin{enumerate}[label=\alph*),topsep=1pt,itemsep=2pt]
        \item Montrer que \( B = n + 2 + \frac{8}{n + 3} \).
        \item Déduire toutes les valeurs de l'entier naturel \( n \) pour que le nombre \( B \) soit un entier naturel.
    \end{enumerate}

    \item Le nombre 437 est-il premier?

    \item Soit \( a \) un nombre premier tel que \( a \geq 3 \) et \( b \) un entier naturel multiple de 3.
    \begin{itemize}[topsep=1pt,itemsep=2pt]
        \item Montrer que 6 divise le nombre \( (3a + 2b + 3) \).
    \end{itemize}
\end{enumerate}



\end{multicols}
\end{document}