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\title{Leçon n°5 : Fonctions logarithmes}
\author{Prof : El Maalmi Khalid \\ Niveau : 2 BAC/GC \\ Année scolaire : 2024/25}
\date{}

\begin{document}

\maketitle

\section*{I. Fonction logarithme népérien}

\subsection*{1. Définition}

\begin{definition}
La fonction primitive de la fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ sur $]0, +\infty[$ qui s'annule en $1$ est appelée la fonction \textbf{logarithme népérien}, notée $\ln$ :

\[
\ln : \; ]0, +\infty[ \; \longrightarrow \; \mathbb{R}, \quad x \; \longmapsto \; \ln(x)
\]

\textbf{Conséquence :}
\[
\begin{cases}
f(x) = \ln(x) \\
x \in \; ]0, +\infty[
\end{cases}
\Longleftrightarrow
\begin{cases}
\ln'(x) = \frac{1}{x} \\
\ln(1) = 0
\end{cases}
\]
\end{definition}

\subsection*{2. Propriétés algébriques}

Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs et $n \in \mathbb{Z}$, on a :

\begin{itemize}
    \item $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ \quad (Attention : $\ln(a+b) \neq \ln(a) + \ln(b)$)
    \item $\ln\left( \frac{a}{b} \right) = \ln(a) - \ln(b)$ \quad (Attention : $\ln(a-b) \neq \ln(a) - \ln(b)$)
    \item $\ln\left( \frac{1}{b} \right) = -\ln(b)$ \quad (car $\ln(1) = 0$)
    \item $\ln\left( a^n \right) = n \ln(a)$ \quad (Cas particulier : $\ln(e^n) = n$ car $\ln(e) = 1$)
    \item Valeurs approchées : $\ln(2) \simeq 0,7$, $\ln(3) \simeq 1,1$, $e \simeq 2,7$
\end{itemize}

\begin{application}
\begin{enumerate}
    \item \textbf{Calculer} : $\ln(6)$, $\ln(4)$, $\ln(8)$, $\ln(72)$, $\ln\left( \sqrt{2} \right)$, $\ln\left( \frac{8}{9} \right)$.
    \item \textbf{Simplifier} et \textbf{calculer} l'expression :
    \[
    A = \ln\left( e^{2030} \right) - \ln\left( e^{2} \right) + \ln\left( \frac{1}{e^{3}} \right)
    \]
    \item \textbf{Écrire} en fonction de $\ln(3)$ l'expression :
    \[
    B = \frac{1}{4}\ln(81) + \ln\sqrt{3} - \ln\left( \frac{1}{27} \right)
    \]
\end{enumerate}
\end{application}

\begin{remarque}
Soient $a$ et $b$ deux réels strictement négatifs (donc $ab > 0$ et $\frac{a}{b} > 0$) :
\[
\ln(ab) = \ln|a| + \ln|b|, \quad
\ln\left( \frac{a}{b} \right) = \ln|a| - \ln|b|, \quad
\ln\left( a^{2n} \right) = 2n \ln|a| \text{ avec } n \in \mathbb{N}
\]
\end{remarque}

\subsection*{3. Équations et inéquations}

Pour tous réels $x$ et $y$ strictement positifs, on a :

\begin{itemize}
    \item $\ln(x) \leq \ln(y) \Longleftrightarrow x \leq y$
    \item $\ln(x) < \ln(y) \Longleftrightarrow x < y$
    \item $\ln(x) = 0 \Longleftrightarrow x = 1$
    \item $\ln(x) = \ln(y) \Longleftrightarrow x = y$
    \item $\ln(x) \geq \ln(y) \Longleftrightarrow x \geq y$
    \item $\ln(x) > \ln(y) \Longleftrightarrow x > y$
\end{itemize}

\begin{exemple}
\begin{enumerate}
    \item \textbf{Déterminer} l'ensemble de définition de la fonction $f$ définie par $f(x) = \ln(2x - 1)$ :
    \[
    D_f = \{ x \in \mathbb{R} \mid 2x - 1 > 0 \} = \{ x \in \mathbb{R} \mid x > \frac{1}{2} \} = \left] \frac{1}{2}, +\infty \right[
    \]
    \item \textbf{Résoudre} l'équation $\ln(2x - 1) = 1$ :
    \[
    \ln(2x - 1) = 1 \Longleftrightarrow \ln(2x - 1) = \ln(e) \Longleftrightarrow 2x - 1 = e \Longleftrightarrow x = \frac{e+1}{2} \in \left] \frac{1}{2}, +\infty \right[
    \]
    Donc $S = \left\{ \frac{e+1}{2} \right\}$.
\end{enumerate}
\end{exemple}

\begin{application}
\textbf{Résoudre} dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes :
\begin{itemize}
    \item $\ln(x) < 2\ln(3)$
    \item $\ln(x+2) < \ln(-3x+1)$
    \item $1 - \ln(x) \geq 0$
    \item $\ln\left( \frac{x}{2} \right) = \ln(5)$
    \item $\ln(x-2) = \ln(3)$
    \item $\ln(3x) = \ln(x-1)$
    \item $\ln(x-3) = 4$
    \item $\ln(-5x+10) = 2$
\end{itemize}
\end{application}

\subsection*{4. Limites fondamentales}

\begin{theoreme}
\begin{itemize}
    \item $\lim\limits_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x-1} = 1$
    \item $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln(x+1)}{x} = 1$
    \item $\lim\limits_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$
    \item $\lim\limits_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0$
    \item $\lim\limits_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0$ (pour $n > 0$)
    \item $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$
    \item $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$
    \item $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0$ (pour $n > 0$)
\end{itemize}
\end{theoreme}

\begin{exemple}
Calculer les limites suivantes :
\begin{enumerate}
    \item $\lim\limits_{x \to 0^+} \left[ \ln(x) + x^3 \ln(x) \right] = -\infty$ car $\lim\limits_{x \to 0^+} x^3 \ln(x) = 0$ et $\lim\limits_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$.
    \item $\lim\limits_{x \to +\infty} \left( x - \ln(x) \right)$ : forme indéterminée $\infty - \infty$.
    \[
    \lim\limits_{x \to +\infty} \left( x - \ln(x) \right) = \lim\limits_{x \to +\infty} x \left( 1 - \frac{\ln(x)}{x} \right) = +\infty \quad \text{car } \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0.
    \]
\end{enumerate}
\end{exemple}

\begin{application}
Calculer les limites suivantes :
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
    \item $\lim\limits_{x \to 0^+} \left( x - \ln(x) \right)$
    \item $\lim\limits_{x \to +\infty} \left( x^4 - \frac{\ln(x)}{x} \right)$
    \item $\lim\limits_{x \to +\infty} \left( x^2 - \ln(x) \right)$
    \item $\lim\limits_{x \to 0^+} (x-2) \ln(x)$
    \item $\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{\ln(x)^2}{x}$
    \item $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x + \ln(x)}{x}$
    \item $\lim\limits_{x \to 0^+} x \left( 1 + \ln(x) \right)$
\end{enumerate}
\end{application}

\subsection*{5. Étude de la fonction logarithme népérien}

Dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$, on note $(C_f)$ la courbe représentative de $f : x \mapsto \ln(x)$.

\begin{itemize}
    \item \textbf{Domaine de définition} : $D_f = \; ]0, +\infty[$
    \item \textbf{Tableau de variations} : pour tout $x \in \; ]0, +\infty[$, $f'(x) = \frac{1}{x} > 0$, donc $f$ est strictement croissante.

    \begin{center}
    \begin{tabular}{|c|c|c|}
    \hline
    $x$ & $0$ & $+\infty$ \\
    \hline
    $\ln'(x)$ & & $+$ \\
    \hline
    $\ln(x)$ & $-\infty$ & $+\infty$ \\
    \hline
    \end{tabular}
    \end{center}

    \item \textbf{Asymptote verticale} : $\lim\limits_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$, donc $(C_f)$ admet l'axe des ordonnées $x=0$ comme asymptote verticale.
    \item \textbf{Branche infinie en $+\infty$} : $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$, donc $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses.
    \item \textbf{Tangente au point d'abscisse 1} : $f'(1)=1$, $f(1)=0$, donc l'équation de la tangente est $y = x-1$.
\end{itemize}

\subsection*{6. Dérivée d'une fonction de type $x \mapsto \ln(U(x))$}

\begin{theoreme}
Soit $U$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ telle que $U(x) > 0$ pour tout $x \in I$. La fonction $f : x \mapsto \ln(U(x))$ est dérivable sur $I$ et :
\[
f'(x) = \frac{U'(x)}{U(x)} \quad \text{pour tout } x \in I.
\]
\end{theoreme}

\begin{exemple}
Soit $f$ définie sur $I = \; ]-2,2[$ par $f(x) = \ln(4-x^2)$. Alors :
\[
f'(x) = \frac{(4-x^2)'}{4-x^2} = \frac{-2x}{4-x^2}.
\]
\end{exemple}

\begin{application}
Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes sur l'intervalle $I$ indiqué :
\begin{enumerate}
    \item $f(x) = \ln(x^2+5)$, $I = \mathbb{R}$
    \item $f(x) = \ln(4x-8)$, $I = \; ]2, +\infty[$
    \item $f(x) = \ln(9x+18)$, $I = \; ]-2, +\infty[$
    \item $f(x) = \ln(3x^2+6x+5)$, $I = \mathbb{R}$
    \item $f(x) = \ln(4x^2+2x+7)$, $I = \mathbb{R}$
    \item $f(x) = \ln(2x^4+4x^2+1)$, $I = \mathbb{R}$
    \item $f(x) = x^2 \ln(x)$, $I = \; ]0, +\infty[$
    \item $f(x) = x^3 \ln(x) - 5x$, $I = \; ]0, +\infty[$
    \item $f(x) = x \ln(x) + 2x$, $I = \; ]0, +\infty[$
    \item $f(x) = x^2 \ln(x^2)$, $I = \; ]0, +\infty[$
\end{enumerate}
\end{application}

\begin{remarque}
Si $U$ est dérivable sur $I$ avec $U(x) \neq 0$ pour tout $x \in I$, alors la fonction $f : x \mapsto \ln|U(x)|$ est dérivable sur $I$ et :
\[
f'(x) = \frac{U'(x)}{U(x)}.
\]
\end{remarque}

\subsection*{7. Logarithme décimal et logarithme de base $a$}

\begin{definition}
Soit $a > 0$ et $a \neq 1$. La fonction \textbf{logarithme de base $a$} est définie sur $]0, +\infty[$ par :
\[
\log_a : x \longmapsto \frac{\ln(x)}{\ln(a)}.
\]
\end{definition}

\begin{remarque}
Pour tout $a > 0$, $a \neq 1$, on a :
\[
\log_a(a) = 1, \quad \log_a(1) = 0, \quad \log_e(x) = \ln(x).
\]
\end{remarque}

\subsubsection*{Propriétés}
Pour tous $x, y > 0$, $a > 0$ ($a \neq 1$) et $n \in \mathbb{Z}$ :
\begin{itemize}
    \item $\log_a(xy) = \log_a(x) + \log_a(y)$
    \item $\log_a\left( \frac{x}{y} \right) = \log_a(x) - \log_a(y)$
    \item $\log_a\left( \frac{1}{x} \right) = -\log_a(x)$
    \item $\log_a(x^n) = n \log_a(x)$
\end{itemize}

\begin{definition}
La fonction \textbf{logarithme décimal} est le logarithme de base $10$, noté $\log$ :
\[
\log(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(10)}.
\]
\end{definition}

\begin{application}
Simplifier les expressions suivantes :
\begin{enumerate}
    \item $A = \log_e(e^3) + \log_2(2^5)$
    \item $B = \log_e(e^7) + \log_3(3^7)$
    \item $C = \log_5(1) + \log_2(4)$
    \item $D = \log_e(e^6) + \log_3(9)$
    \item $E = \log_2(8) + \log_3(3^5)$
    \item $F = \log_5(1) + \log_2(16)$
    \item $G = \log(100) - \log(2025)$
    \item $H = \log(10) - \log\left( \frac{1}{10^5} \right)$
\end{enumerate}
\end{application}

\end{document}