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\lhead{\textbf{Prof Rachid}}
\chead{ \textbf{Fonction Exponnentielle }}
\rhead{ \textbf{2Bac PC + SVT }}
\lfoot{\small \textbf{Lycée }}
\cfoot{\small \textbf{Page \thepage}}
\rfoot{\small \textbf{2025 -- 2026}}

% --- PERSONNALISATION DES NUMÉROS ---
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\begin{document}

\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{0.9pt}














\section*{Exercices de Base : Automatismes sur l'Exponentielle}

\subsection*{Exercice 1 : Équations (6 questions)}
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :
\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{0.9pt}
\begin{enumerate}
    \item $e^{3x-2} = 1$
    \item $e^{-5x+7} = 8$
    \item $e^{x^2-1} = e^{3}$
    \item $e^{2x} - 5e^x + 6 = 0$
    \item $e^{x} + e^{-x} = 2$
    \item $e^{x+1} \cdot e^{2x-4} = e^2$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\subsection*{Exercice 2 : Calcul de Limites (20 limites)}
Calculer les limites suivantes aux voisinages indiqués :
\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{0.5pt}
\begin{enumerate}
    \item $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} e^x - 3x^2 + x$
    \item $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^3 + 1}$
    \item $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x-1)e^{-x} + \sqrt{x}$
    \item $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x - 1}{e^x + 1}$
    \item $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} e^{2x} - e^x$
    \item $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{e^x}$
    \item $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x^2 e^{-x}$
    \item $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (x^2 + x)e^x$
    \item $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{e^x}{x}$
    \item $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} e^{-x} + x$
    \item $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{2}{1+e^x}$
    \item $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} e^{x^2} + e^x$
    \item $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (1-x)e^x$
    \item $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$
    \item $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x}$
    \item $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x^2}$
    \item $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{e^x - e}{x-1}$
    \item $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^{\sin x} - 1}{x}$
    \item $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x(e^{1/x} - 1)$
    \item $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} x e^{1/x}$
    \item $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x}-1}{x}$
    \item $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{2e^{x}}{x^{2}+x}$
    \item $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \ln x \cdot e^{-x}$
    \item $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x^{2}-e^{x}$
    \item $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (x^{2}-x)e^{x}$
    \item $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (2-x)e^{-x}$
    \item $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x(e^{\frac{1}{x}}-1)$
    \item $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{e^{x}+x^{2}}{x+1}$
\end{enumerate}
\end{multicols}





\subsection*{Exercice 3 : Dérivation (20 fonctions)}
Déterminer la fonction dérivée $f'$ pour chaque fonction suivante :
\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{0.9pt}
\begin{enumerate}
    \item $f(x) = (3x^2 + 4x - 2)e^{-x}$
    \item $f(x) = e^{x^2 + 3x + 1}$
    \item $f(x) = \frac{e^x - 1}{e^x + 1}$
    \item $f(x) = x^2 e^{1/x}$
    \item $f(x) = \ln(e^x + 1)$
    \item $f(x) = e^{\sqrt{x}}$
    \item $f(x) = (x-1)^3 e^{2x}$
    \item $f(x) = \frac{x}{e^x}$
    \item $f(x) = \sqrt{e^x + x}$
    \item $f(x) = \cos(x)e^x$
    \item $f(x) = e^{2x} - 2e^x + 5$
    \item $f(x) = \frac{1}{e^x + e^{-x}}$
    \item $f(x) = x \ln(e^x)$
    \item $f(x) = (e^x + x)^2$
    \item $f(x) = e^{-x} \ln x$
    \item $f(x) = \frac{e^{3x}}{x^2+1}$
    \item $f(x) = e^{\cos x}$
    \item $f(x) = \ln(x^2 + e^x)$
    \item $f(x) = \frac{2x+1}{e^x}$
    \item $f(x) = x^x$ (Indication : $e^{x \ln x}$)
\end{enumerate}
\end{multicols}

\subsection*{Exercice 4 : Primitives (20 fonctions)}
Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $I$ :
\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{0.9pt}
\begin{enumerate}
    \item $f(x) = 3e^{2x} - 6x + 3$
    \item $f(x) = e^{-x}$
    \item $f(x) = e^{3x+2}$
    \item $f(x) = x e^{x^2}$
    \item $f(x) = \frac{e^x}{e^x + 1}$
    \item $f(x) = (2x+1)e^{x^2+x}$
    \item $f(x) = \frac{e^{1/x}}{x^2}$
    \item $f(x) = \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$
    \item $f(x) = e^x(e^x + 2)^4$
    \item $f(x) = \frac{e^x}{(e^x+2)^2}$
    \item $f(x) = 1 + e^x$
    \item $f(x) = \frac{1}{e^{2x}}$
    \item $f(x) = \frac{e^{2x} - 1}{e^x}$
    \item $f(x) = 2e^x - \frac{1}{x}$
    \item $f(x) = \frac{e^{\ln x}}{x}$
    \item $f(x) = \sin(x)e^{\cos x}$
    \item $f(x) = \frac{1}{e^{-x} + 1}$
    \item $f(x) = e^{x} + e^{-x}$
    \item $f(x) = (x+1)e^x$
    \item $f(x) = 2e^{4x-1}$
\end{enumerate}

\end{multicols}



\subsection*{Exercice 5}
Démontrer que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, puis calculer $f^{\prime}(x)$ dans chacun des cas suivants :
\begin{enumerate}
    \item $f(x)=x \cdot e^{\sqrt{x}}$
    \item $f(x)=e^{-x} \cdot \ln x$
    \item $f(x)=\frac{e^{x}}{1+e^{2x}}$
    \item $f(x)=\ln(e^{x}+e^{-x})$
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 6}
Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $I$ :
\begin{enumerate}
    \item $f(x)=e^{-x+1}$ ; $I=\mathbb{R}$
    \item $f(x)=\frac{1}{e^{-x}+1}$ ; $I=\mathbb{R}$
    \item $f(x)=\frac{e^{x}}{e^{2x}+1}$ ; $I=\mathbb{R}$
    \item $f(x)=\frac{e^{x}}{(e^{x}+1)^{2}}$ ; $I=\mathbb{R}$
    \item $f(x)=\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$ ; $I=\mathbb{R}$
    \item $f(x)=\frac{e^{2x}+e^{x}-1}{e^{x}-1}$ ; $I=\mathbb{R}$
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 7}
Soit la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ par : $f(x)=(2x^{2}-7x+5)e^{x}$
\begin{enumerate}
    \item Déterminer la dérivée seconde de la fonction $f$.
    \item Vérifier que : $(\forall x\in\mathbb{R})$ $f(x)=4e^{x}+2f^{\prime}(x)-f^{\prime\prime}(x)$
    \item Déterminer une primitive de la fonction $f$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 8}
Soit la fonction $f$ définie par : $f(x)=x+\frac{4}{1+e^{x}}$. $(C_f)$ est sa courbe représentative.
\begin{enumerate}
    \item Déterminer $\lim_{x\to+\infty}f(x)$ et $\lim_{x\to-\infty}f(x)$.
    \item a) Montrer que $f^{\prime}(x)=(\frac{1-e^{x}}{1+e^{x}})^{2}$. \\
          b) Dresser le tableau de variation de $f$. \\
          c) En déduire que $I(0;2)$ est un point d'inflexion.
    \item Calculer $\lim_{x\to+\infty}f(x)-x$ et interpréter graphiquement.
    \item Montrer que $y=x+4$ est une asymptote oblique au voisinage de $-\infty$.
    \item Étudier la position relative de $(C_f)$ et $(D)$.
    \item Montrer que $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha \in ]-4 ; -3[$.
    \item En déduire que : $e^{\alpha}=-1-\frac{4}{\alpha}$.
    \item Tracer la courbe $(C_f)$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 9}
Soit $f(x)=(e^{-x}-1)^{2}$.
\begin{enumerate}
    \item Calculer $\lim_{x\to+\infty}f(x)$ et interpréter.
    \item Montrer que l'axe des ordonnées est une direction asymptotique au voisinage de $-\infty$.
    \item a) Montrer que $f^{\prime}(x)=2e^{-x}(1-e^{-x})$. \\
          b) Dresser le tableau de variation.
    \item Montrer que $(C_f)$ admet un point d'inflexion.
    \item Soit $g$ la restriction de $f$ sur $[0;+\infty[$. \\
          a) Montrer que $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$. \\
          b) Montrer que $g^{-1}(x)=-\ln(1-\sqrt{x})$.
    \item Tracer $(C_f)$ et $(C_{g^{-1}})$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 10 (Sujet 2019 Rattrapage)}
\subsection*{Première partie}
Soit $f(x)=2+8(\frac{x-2}{x})e^{x-4}$ sur $\mathbb{R}^{*}$.
\begin{enumerate}
    \item a) Vérifier $\lim_{x\to-\infty}f(x)=2$. \\
          b) Vérifier $\lim_{x\to0}f(x)=+\infty$.
    \item a) Calculer $\lim_{x\to+\infty}f(x)$. \\
          b) Direction asymptotique : axe des ordonnées au voisinage de $+\infty$.
    \item a) Montrer $f^{\prime}(x)=\frac{8(x-2)(x^{2}-2x+4)e^{x-4}}{x^{3}}$. \\
          b) Vérifier $x^{2}-2x+4>0$. \\
          c) Étudier les variations de $f$. \\
          d) Tableau de variation.
    \item Tracer $(C_f)$.
    \item a) $H(x)=\frac{1}{x}e^{x-4}$ est primitive de $h(x)=\frac{x-1}{x^{2}}e^{x-4}$. \\
          b) Vérifier $f(x)=2+8e^{x-4}-32\frac{(x-1)}{x^{2}}e^{x-4}$. \\
          c) Calculer $\int_{2}^{4}e^{x-4}dx$. \\
          d) Calculer l'aire du domaine limité par $(C_f)$, l'axe des abscisses, $x=2$ et $x=4$.
\end{enumerate}

\subsection*{Deuxième partie}
1) $g(x)=8(x-2)e^{x-4}-x^{2}$ sur $[2;4]$. \\
a) $g(4)$. b) $g(x)=-(x-4)^{2}e^{x-4}+x^{2}(e^{x-4}-1)$. c) Signe de $g(x)$. \\
2) a) $f(x)-x=(\frac{x-2}{x^{2}})g(x)$. b) En déduire $f(x) \le x$. \\
3) Suite $u_0=3$ ; $u_{n+1}=f(u_n)$. \\
a) $2 \le u_n \le 4$. b) Monotonie et convergence. c) Limite.

\section*{Exercice 11}
\subsection*{Partie A}
$g(x)=1-(1+x)e^{x}$. \\
1) Variations de $g$. 2) $g(0)$ et signe de $g(x)$.

\subsection*{Partie B}
$f(x)=x(1-e^{x})$. \\
1) Limites en $\pm\infty$. 2) Asymptote $y=x$ et position relative. \\
3) Branche parabolique. 4) $f^{\prime}(x)=g(x)$ et variations. \\
5) Point d'inflexion. 6) Construction.

\subsection*{Partie C}
Suite $u_0=-1$ ; $u_{n+1}=f(u_n)$. \\
a) $-1 \le u_n \le 0$. b) Monotonie et convergence. c) Limite.




\subsection*{Exercice S1 : Fonction de type produit $(x \cdot e^x)$}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = (x-1)^2 e^x$.
On désigne par $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.
\begin{enumerate}
    \item Calculer $\lim_{x\to-\infty} f(x)$, et interpréter graphiquement le résultat.
    \item Montrer que l'axe des ordonnées est une direction asymptotique de $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$.
    \item a) Montrer que : $(\forall x \in \mathbb{R})$; $f'(x) = (x^2-1)e^x$. \\
          b) Dresser le tableau de variation de $f$.
    \item Montrer que $(C_f)$ admet deux points d'inflexion d'abscisses $x_1 = 1 + \sqrt{2}$ et $x_2 = 1 - \sqrt{2}$.
    \item Soit $g$ la restriction de la fonction $f$ sur $[1; +\infty[$. \\
          a) Montrer que $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ définie sur $[0; +\infty[$. \\
          b) Justifier que l'équation $g(x)=x$ admet une solution unique dans $[1; +\infty[$.
    \item Tracer $(C_f)$ et $(C_{g^{-1}})$ dans le même repère.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice S2 : Fonction de type quotient}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \left( \frac{e^x}{e^x+1} \right)^2$.
\begin{enumerate}
    \item Calculer $\lim_{x\to-\infty} f(x)$, et interpréter graphiquement le résultat.
    \item Montrer que la droite d'équation $y=1$ est une asymptote horizontale à $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$.
    \item a) Montrer que : $(\forall x \in \mathbb{R})$; $f'(x) = \frac{2e^{2x}}{(e^x+1)^3}$. \\
          b) Dresser le tableau de variation de $f$.
    \item Montrer que $(C_f)$ admet un point d'inflexion au point d'abscisse $x = \ln(2)$.
    \item Soit $g$ la restriction de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$. \\
          a) Montrer que $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ définie sur $]0; 1[$. \\
          b) Montrer que : $(\forall x \in ]0; 1[) : g^{-1}(x) = \ln\left(\frac{\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}\right)$.
    \item Tracer $(C_f)$ et $(C_{g^{-1}})$ dans le même repère.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice S3 : Fonction avec Logarithme}
Soit $f$ la fonction définie sur $]0; +\infty[$ par : $f(x) = \ln^2(1 + e^{-x})$.
\begin{enumerate}
    \item Calculer $\lim_{x\to+\infty} f(x)$, et interpréter graphiquement le résultat.
    \item Montrer que la droite d'équation $y=x$ est une direction asymptotique de $(C_f)$ au voisinage de $-\infty$.
    \item a) Montrer que : $(\forall x \in \mathbb{R})$; $f'(x) = \frac{-2e^{-x}\ln(1+e^{-x})}{1+e^{-x}}$. \\
          b) Dresser le tableau de variation de $f$.
    \item Montrer que $(C_f)$ admet un point d'inflexion.
    \item Soit $g$ la restriction de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$. \\
          a) Montrer que $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ définie sur $]0; +\infty[$. \\
          b) Montrer que : $(\forall x > 0) : g^{-1}(x) = -\ln(e^{\sqrt{x}}-1)$.
    \item Tracer $(C_f)$ et $(C_{g^{-1}})$ dans le même repère.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice S4 : Fonction Rationnelle d'Exponentielle}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ par : $f(x) = \left( \frac{e^x}{e^x-1} \right)^2$.
\begin{enumerate}
    \item Calculer $\lim_{x\to+\infty} f(x)$, et interpréter graphiquement le résultat.
    \item Montrer que la droite $x=0$ est une asymptote verticale à $(C_f)$.
    \item a) Montrer que : $(\forall x \in \mathbb{R}^*)$; $f'(x) = \frac{-2e^{2x}}{(e^x-1)^3}$. \\
          b) Dresser le tableau de variation de $f$ sur $]-\infty; 0[$ et $]0; +\infty[$.
    \item Montrer que la courbe $(C_f)$ n'admet pas de point d'inflexion sur son domaine.
    \item Soit $g$ la restriction de la fonction $f$ sur $]0; +\infty[$. \\
          a) Montrer que $g$ réalise une bijection de $]0; +\infty[$ vers $]1; +\infty[$. \\
          b) Montrer que : $(\forall x > 1) : g^{-1}(x) = \ln\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\right)$.
    \item Tracer $(C_f)$ et $(C_{g^{-1}})$ dans le même repère.
\end{enumerate}















\subsection*{Exercice S5 : Fonction de type somme et carré}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = (x + e^{-x})^2$.
\begin{enumerate}
    \item Calculer $\lim_{x\to-\infty} f(x)$, et interpréter graphiquement le résultat.
    \item Montrer que l'axe des ordonnées est une direction asymptotique de $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$.
    \item a) Montrer que : $(\forall x \in \mathbb{R})$; $f'(x) = 2(1 - e^{-x})(x + e^{-x})$. \\
          b) Dresser le tableau de variation de $f$.
    \item Montrer que $(C_f)$ admet un point d'inflexion sur l'intervalle $]0; 1[$.
    \item Soit $g$ la restriction de la fonction $f$ sur $[0; +\infty[$. \\
          a) Montrer que $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ définie sur $[1; +\infty[$. \\
          b) Montrer que l'équation $g(x) = 4$ admet une solution unique $\alpha$ dans $[0; +\infty[$.
    \item Tracer $(C_f)$ et $(C_{g^{-1}})$ dans le même repère.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice S6 : Fonction avec produit $x^2$}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = (x^2 - 2)e^{-x}$.
\begin{enumerate}
    \item Calculer $\lim_{x\to+\infty} f(x)$, et interpréter graphiquement le résultat.
    \item Montrer que l'axe des ordonnées est une direction asymptotique de $(C_f)$ au voisinage de $-\infty$.
    \item a) Montrer que : $(\forall x \in \mathbb{R})$; $f'(x) = (-x^2 + 2x + 2)e^{-x}$. \\
          b) Dresser le tableau de variation de $f$.
    \item Montrer que $(C_f)$ admet deux points d'inflexion.
    \item Soit $g$ la restriction de la fonction $f$ sur $[1-\sqrt{3}; 1+\sqrt{3}]$. \\
          a) Montrer que $g$ réalise une bijection vers un intervalle $J$ à déterminer. \\
          b) Déterminer le signe de $(g^{-1})'(0)$.
    \item Tracer $(C_f)$ dans un repère orthonormé.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice S7 : Fonction avec racine carrée}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \sqrt{e^{2x} - e^x + 1}$.
\begin{enumerate}
    \item Calculer $\lim_{x\to-\infty} f(x)$, et interpréter graphiquement le résultat.
    \item Etudier la brache infinie de $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$.
    \item a) Montrer que : $(\forall x \in \mathbb{R})$; $f'(x) = \frac{e^x(2e^x - 1)}{2\sqrt{e^{2x} - e^x + 1}}$. \\
          b) Dresser le tableau de variation de $f$.
    \item Étudier la concavité de la courbe $(C_f)$.
    \item Soit $g$ la restriction de la fonction $f$ sur $[0; +\infty[$. \\
          a) Montrer que $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ définie sur $[1; +\infty[$. \\
          b) Montrer que : $(\forall x \ge 1) : g^{-1}(x) = \ln\left(\frac{1 + \sqrt{4x^2-3}}{2}\right)$.
    \item Tracer $(C_f)$ et $(C_{g^{-1}})$ dans le même repère.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice S8 : Fonction avec inverse et exponentielle}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^*$ par : $f(x) = \left( 1 + \frac{1}{x} \right) e^{1/x}$.
\begin{enumerate}
    \item Calculer $\lim_{x\to+\infty} f(x)$ et $\lim_{x\to-\infty} f(x)$, et interpréter graphiquement.
    \item Étudier les limites de $f$ à droite et à gauche de $0$.
    \item a) Montrer que : $(\forall x \neq 0)$; $f'(x) = \frac{-(2x+1)e^{1/x}}{x^3}$. \\
          b) Dresser le tableau de variation de $f$.
    \item Montrer que $(C_f)$ admet un point d'inflexion sur $]-\infty; -1/2[$.
    \item Soit $g$ la restriction de la fonction $f$ sur $]0; +\infty[$. \\
          a) Montrer que $g$ réalise une bijection de $]0; +\infty[$ vers un intervalle à déterminer. \\
          b) Déterminer l'équation de la tangente à $(C_{g^{-1}})$ au point d'ordonnée $2e$.
    \item Tracer $(C_f)$ dans un repère orthonormé.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice S9 : Fonction composée avec sinus hyperbolique (forme exponentielle)}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \left( \frac{e^x - e^{-x}}{2} \right)^2$.
\begin{enumerate}
    \item Calculer $\lim_{x\to+\infty} f(x)$ et $\lim_{x\to-\infty} f(x)$.
    \item Montrer que l'axe des ordonnées est une direction asymptotique de $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$ et $-\infty$.
    \item a) Montrer que : $(\forall x \in \mathbb{R})$; $f'(x) = \frac{1}{2}(e^{2x} - e^{-2x})$. \\
          b) Dresser le tableau de variation de $f$.
    \item Montrer que $(C_f)$ admet un point d'inflexion à l'origine $O(0,0)$.
    \item Soit $g$ la restriction de la fonction $f$ sur $[0; +\infty[$. \\
          a) Montrer que $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ définie sur $[0; +\infty[$. \\
          b) Montrer que : $(\forall x \ge 0) : g^{-1}(x) = \ln(\sqrt{x} + \sqrt{x+1})$.
    \item Tracer $(C_f)$ et $(C_{g^{-1}})$ dans le même repère.
\end{enumerate}



\section*{Exercice 12}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = x + \ln|e^x - 2|$.
\begin{enumerate}
    \item a - Déterminer $D_f$ l'ensemble de définition de la fonction $f$. \\
          b - Trouver les limites de $f$ aux bornes des intervalles de $D_f$.
    \item Déterminer l'asymptote oblique à $(C_f)$ au voisinage de $-\infty$.
    \item a - Montrer que : $(\forall x \in ]\ln 2; +\infty[)$ : $f(x) = 2x + \ln(1 - \frac{2}{e^x})$. \\
          b - Étudier la branche infinie de $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$.
    \item a - Montrer que : $(\forall x \in D_f)$ : $f'(x) = \frac{2(e^x - 1)}{e^x - 2}$. \\
          b - Dresser le tableau de variations de $f$.
    \item Résoudre dans l'intervalle $]\ln 2; +\infty[$, l'équation : $f(x) = 0$.
    \item Déterminer l'équation de la tangente $(T)$ à la courbe $(C_f)$ au point d'abscisse $\ln 3$.
    \item Tracer $(C_f)$ dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ (On prend $\ln(1+\sqrt{2}) \approx 0,8$).
\end{enumerate}

\section*{Exercice 13}
\subsection*{1ère partie}
Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $h(x) = xe^x + e^x - 1$.
\begin{enumerate}
    \item Calculer $\lim_{x\to+\infty} h(x)$ et $\lim_{x\to-\infty} h(x)$.
    \item Calculer $h'(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, puis étudier les variations de la fonction $h$.
    \item a - Dresser le tableau de variations de $h$. \\
          b - Calculer $h(0)$, puis déduire le signe de la fonction $h$.
\end{enumerate}

\subsection*{2ème partie}
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x) = xe^x - x + 1$.
\begin{enumerate}
    \item Montrer que : $g'(x) = h(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
    \item a - Étudier les variations de la fonction $g$. \\
          b - Calculer $g(0)$, puis déduire que : $(\forall x \in \mathbb{R})$ : $g(x) > 0$.
    \item a - Vérifier que : $(\forall x \in \mathbb{R})$ : $g(x) - e^x = (x - 1)(e^x - 1)$. \\
          b - Déduire que : $(\forall x \in [0; 1])$ : $g(x) \le e^x$.
\end{enumerate}

\subsection*{3ème partie}
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \ln(xe^x - x + 1)$.
\begin{enumerate}
    \item a - Calculer $\lim_{x\to+\infty} f(x)$ et $\lim_{x\to-\infty} f(x)$. \\
          b - Montrer que : $(\forall x \in \mathbb{R})$ : $f'(x) = \frac{h(x)}{g(x)}$, puis dresser le tableau de variation de $f$.
    \item a - Vérifier que : $(\forall x \in \mathbb{R}^*)$ : $\frac{f(x)}{x} = \frac{\ln(xe^x - x + 1)}{xe^x - x + 1} (e^x - 1 + \frac{1}{x})$. \\
          b - Calculer : $\lim_{x\to-\infty} \frac{f(x)}{x}$ et interpréter graphiquement le résultat obtenu.
    \item a - Vérifier que : $(\forall x \in ]0; +\infty[)$ : $f(x) = x + \ln x + \ln(1 - \frac{1}{e^x} + \frac{1}{xe^x})$. \\
          b - Étudier la branche infinie de $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$.
    \item Calculer $f(1)$ puis tracer $(C_f)$ dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.
\end{enumerate}

\subsection*{4ème partie}
Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie par : $u_0 = \ln 2$ et $u_{n+1} = f(u_n)$.
\begin{enumerate}
    \item Montrer par récurrence que : $(\forall n \in \mathbb{N})$ : $0 \le u_n \le 1$.
    \item Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.
    \item Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente et déterminer sa limite.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 14}
\subsection*{1ère partie}
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x) = e^x - x - 1$.
\begin{enumerate}
    \item Calculer $g'(x)$, étudier les variations et déduire que $(\forall x \in \mathbb{R}^*)$ : $g(x) > 0$.
    \item a - Montrer que : $(\forall x > 0)$ : $\frac{e^x - 1}{x} > 1$ et $(\forall x < 0)$ : $\frac{e^x - 1}{x} < 1$. \\
          b - Montrer que $g(-x) = e^{-x}[1 + (x - 1)e^x]$. \\
          c - Déduire que : $(\forall x \in \mathbb{R})$ : $1 + (x - 1)e^x \ge 0$.
\end{enumerate}

\subsection*{2ème partie}
On considère $f$ définie par : $f(x) = x - 1 - \frac{x}{e^x - x - 1}$.
\begin{enumerate}
    \item a - Calculer les limites en $\pm\infty$. \\
          b - Calculer les limites en $0^+$ et $0^-$.
    \item Calculer $f'(x)$ et dresser le tableau de variations.
    \item Étudier les asymptotes obliques $y = x - 1$ en $+\infty$ et $y = x$ en $-\infty$.
    \item Montrer que $f(x)=0$ admet deux solutions $\alpha \in ]-2;-1[$ et $\beta \in ]1;2[$.
    \item En déduire que $e^\alpha - \alpha - 1 = \frac{\alpha}{\alpha - 1}$.
    \item Tracer $(C_f)$ (On prend $\alpha \approx -1,3$ et $\beta \approx 1,6$).
\end{enumerate}

\subsection*{3ème partie}
Soit la suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = g(u_n)$.
\begin{enumerate}
    \item Montrer que $0 \le u_n \le 1$.
    \item Montrer que $(u_n)$ est croissante.
    \item Montrer qu'elle est convergente et trouver sa limite.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 15}
\subsection*{1ère partie}
Soit $g$ définie par $g(x) = -\frac{1}{x+1} + \ln|\frac{x+1}{x}|$.
\begin{enumerate}
    \item Déterminer $D_g$ et les limites aux bornes.
    \item Calculer $g'(x)$, variations et déduire que $g(x) > 0$ sur $]-\infty;-1[ \cup ]0;+\infty[$.
    \item Montrer que $g(x)=0$ admet une solution unique dans $]-1;0[$.
\end{enumerate}

\subsection*{2ème partie}
Soit $f$ définie par $f(x) = |\frac{x+1}{x}|^x$ pour $x \neq 0, -1$ et $f(0) = 1$.
\begin{enumerate}
    \item Déterminer $D_f$ et les limites aux bornes.
    \item Étudier la continuité et la dérivabilité en $0$. Interprétation graphique.
    \item Calculer $f'(x)$ et dresser le tableau de variations.
    \item Étudier les branches infinies et tracer $(C_f)$.
\end{enumerate}




\newpage


\section*{Exercice S10}
\textbf{1ère partie :} Soit $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = e^{-x} + x - 1$.
\begin{enumerate}
    \item Calculer $g'(x)$ et étudier les variations de $g$.
    \item En déduire que $(\forall x \in \mathbb{R}^*)$ : $g(x) > 0$.
    \item Montrer que $(\forall x > 0)$ : $1 - e^{-x} < x$.
\end{enumerate}
\textbf{2ème partie :} Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x + 1 + \frac{x}{e^{-x} + x - 1}$ pour $x \neq 0$ et $f(0)=2$.
\begin{enumerate}
    \item Calculer les limites de $f$ en $+\infty$ et $-\infty$.
    \item Montrer que la droite $y=x+2$ est une asymptote en $+\infty$.
    \item Montrer que $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha \in ]-2; -1[$.
    \item Dresser le tableau de variations complet de $f$.
\end{enumerate}
\textbf{3ème partie :} Soit $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = g(u_n)$. Étudier la convergence de $(u_n)$.

\section*{Exercice S11}
\textbf{1ère partie :} Soit $g(x) = 2e^x - x - 2$ définie sur $\mathbb{R}$.
\begin{enumerate}
    \item Étudier les variations de $g$ et montrer que $g(x)=0$ admet deux solutions $0$ et $\alpha \approx -1,6$.
    \item Déterminer le signe de $g(x)$ sur $\mathbb{R}$.
\end{enumerate}
\textbf{2ème partie :} Soit $f(x) = x - \frac{x}{2e^x - x - 2}$.
\begin{enumerate}
    \item Déterminer $D_f$ et les limites aux bornes.
    \item Montrer que $y=x$ est une asymptote oblique en $+\infty$.
    \item Montrer que $f'(x) = \frac{g(x) + x(2e^x-1)}{(g(x))^2}$.
    \item Montrer que $f(x)=0$ admet une solution $\beta \in ]1; 2[$.
    \item Tracer la courbe $(C_f)$.
\end{enumerate}
\textbf{3ème partie :} Soit $u_0 = 0,5$ et $u_{n+1} = f(u_n)$. Montrer que $(u_n)$ est convergente.

\section*{Exercice S12}
\textbf{1ère partie :} Soit $g(x) = (x-1)e^x + 1$ définie sur $\mathbb{R}$.
\begin{enumerate}
    \item Étudier les variations de $g$ et montrer que $(\forall x \in \mathbb{R})$ : $g(x) \ge 0$.
    \item Calculer $g(0)$ et déduire le signe de $g$.
\end{enumerate}
\textbf{2ème partie :} Soit $f(x) = 2x - 1 - \frac{e^x - 1}{(x-1)e^x + 1}$.
\begin{enumerate}
    \item Calculer $\lim_{x\to+\infty} f(x)$ et $\lim_{x\to-\infty} f(x)$.
    \item Montrer que $y=2x-1$ est une asymptote oblique.
    \item Calculer $f'(x)$ et vérifier son signe.
    \item Montrer que $f(x)=0$ possède deux racines distinctes.
    \item Exprimer l'image de la racine $\alpha$ en fonction de $e^\alpha$.
    \item Tracer la courbe représentative.
\end{enumerate}
\textbf{3ème partie :} Soit $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = f(u_n)$. Étudier la monotonie de $u_n$.

\section*{Exercice S13}
\textbf{1ère partie :} Soit $g(x) = e^{2x} - 2x - 1$.
\begin{enumerate}
    \item Étudier les variations de $g$.
    \item Montrer que $g(x) > 0$ pour tout $x \neq 0$.
\end{enumerate}
\textbf{2ème partie :} Soit $f(x) = x - \frac{x^2}{e^{2x} - 2x - 1}$.
\begin{enumerate}
    \item Calculer les limites en $0$, $+\infty$ et $-\infty$.
    \item Étudier la branche parabolique en $+\infty$.
    \item Montrer que la droite $y=x$ est asymptote en $-\infty$.
    \item Calculer $f'(x)$ et dresser le tableau de variations.
    \item Justifier l'existence d'un point d'inflexion.
    \item Résoudre $f(x)=0$.
\end{enumerate}
\textbf{3ème partie :} Étude de la suite $u_{n+1} = f(u_n)$ avec $u_0 \in ]0, 1[$.

\section*{Exercice S14}
\textbf{1ère partie :} Soit $g(x) = \ln(e^x+1) - x$.
\begin{enumerate}
    \item Étudier les variations de $g$.
    \item Montrer que $0 < g(x) < 1$ pour tout $x > 0$.
\end{enumerate}
\textbf{2ème partie :} Soit $f(x) = x - 1 - \frac{x}{\ln(e^x+1) - x}$.
\begin{enumerate}
    \item Déterminer le domaine de définition $D_f$.
    \item Calculer les limites aux bornes de $D_f$.
    \item Montrer que $y=x-1$ est une asymptote oblique.
    \item Calculer $f'(x)$ en fonction de $g'(x)$.
    \item Montrer que $f(x)=0$ admet une solution $\alpha$ dans $]1; 2[$.
    \item Dresser le tableau de variations.
    \item Tracer $(C_f)$.
\end{enumerate}
\textbf{3ème partie :} Soit $u_0 = 1,5$ et $u_{n+1} = f(u_n)$. Déterminer la limite de $u_n$.




\section*{Exercice 1}
\subsection*{1ère partie}
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x) = (2-x)e^{-x} + 1$.
\begin{enumerate}
    \item a - Calculer $g'(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. \\
          b - Étudier les variations de la fonction $g$.
    \item En déduire que : $g(x) > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
\end{enumerate}

\subsection*{2ème partie}
Soit $f$ la fonction définie par : $f(x) = (x-1)e^{-x} + x$.
\begin{enumerate}
    \item Calculer $\lim_{x\to+\infty} f(x)$ et $\lim_{x\to-\infty} f(x)$.
    \item Étudier les variations de $f$.
    \item a - Étudier les branches infinies de la courbe $(C_f)$. \\
          b - Étudier les positions relatives de la courbe $(C_f)$ et la droite $(\Delta)$ d'équation $y = x$.
    \item Tracer $(C_f)$ dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2}
\subsection*{1ère partie}
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x) = e^x - 2x + 2$.
\begin{enumerate}
    \item Calculer $g'(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
    \item a - Étudier le signe de $g'(x)$ sur $\mathbb{R}$ et en déduire les variations de $g$ (le calcul des limites n'est pas demandé). \\
          b - En déduire que $g(x) > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
\end{enumerate}

\subsection*{2ème partie}
Soit $f$ la fonction définie par : $f(x) = xe^{-x} + \frac{x}{2} + 1$.
\begin{enumerate}
    \item a - Calculer $\lim_{x\to-\infty} f(x)$ et $\lim_{x\to+\infty} f(x)$. \\
          b - Calculer $\lim_{x\to-\infty} \frac{f(x)}{x}$ et interpréter le résultat graphiquement. \\
          c - Calculer $\lim_{x\to+\infty} [f(x) - (\frac{1}{2}x + 1)]$ et interpréter le résultat graphiquement.
    \item Étudier les positions relatives de la courbe $(C_f)$ et la droite $(\Delta)$ d'équation $y = \frac{1}{2}x + 1$.
    \item a - Montrer que : $f'(x) = \frac{g(x)}{2e^x}$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. \\
          b - Dresser le tableau de variations de $f$.
    \item a - Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans $]-1; 0[$. \\
          b - Déterminer l'équation de la tangente $(T)$ à la courbe $(C_f)$ au point d'abscisse $0$.
    \item Calculer $f''(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, puis déterminer le point d'inflexion de la courbe $(C_f)$.
    \item Tracer $(C_f)$ dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$. (Prendre $e \approx 2,7$ et $\frac{2}{e^2} \approx 0,27$).
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3}
\subsection*{1ère partie}
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x) = e^x - x$.
\begin{enumerate}
    \item Étudier les variations de la fonction $g$.
    \item En déduire le signe de $g(x)$ sur $\mathbb{R}$.
\end{enumerate}

\subsection*{2ème partie}
Soit $f$ la fonction définie par : $f(x) = \frac{xe^x - 1}{e^x - 1}$.
\begin{enumerate}
    \item a - Déterminer $D_f$ l'ensemble de définition de la fonction $f$. \\
          b - Trouver les limites de $f$ aux bornes de $D_f$.
    \item a - Calculer $\lim_{x\to+\infty} [f(x) - x]$ et interpréter le résultat graphiquement. \\
          b - Étudier le signe de $f(x) - x$ sur $\mathbb{R}^*_+$. \\
          c - En déduire la position relative de $(C_f)$ et la droite $(\Delta)$ d'équation $y = x$.
    \item Calculer $f'(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}^*$, puis dresser le tableau de variations de $f$.
    \item Tracer $(C_f)$ dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 4}
\subsection*{1ère partie}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = 1 - \frac{x}{2} - \frac{2}{e^x + 1}$.
\begin{enumerate}
    \item a - Vérifier que : $1 - \frac{2}{e^x + 1} = \frac{e^x - 1}{e^x + 1} = \frac{1 - e^{-x}}{1 + e^{-x}}$. \\
          b - Étudier la parité de $f$ et interpréter les résultats graphiquement.
    \item a - Calculer $\lim_{x\to+\infty} f(x)$ et $\lim_{x\to+\infty} [f(x) - (1 - \frac{x}{2})]$ et interpréter graphiquement.
    \item a - Calculer $f'(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, puis étudier les variations de $f$ sur $\mathbb{R}^+$. \\
          b - En déduire que : $(\forall x \in \mathbb{R}^+)$ : $1 - \frac{2}{e^x + 1} \le \frac{x}{2}$.
    \item Tracer $(C_f)$ dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.
\end{enumerate}

\subsection*{2ème partie}
Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie par : $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = 1 - \frac{2}{e^{u_n} + 1}$.
\begin{enumerate}
    \item Montrer par récurrence que : $(\forall n \in \mathbb{N})$ : $u_n > 0$.
    \item Montrer que $(\forall n \in \mathbb{N})$ : $u_{n+1} \le \frac{u_n}{2}$, puis en déduire que la suite $(u_n)$ est décroissante.
    \item Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N})$ : $u_n \le (\frac{1}{2})^n$ et déterminer sa limite.
\end{enumerate}




\section*{Exercice S15 : Étude complète et Suites}
\textbf{Partie A : Fonction auxiliaire} \\
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = e^{-x} + x - 1$.
\begin{enumerate}
    \item Calculer $g'(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, puis étudier les variations de $g$.
    \item Calculer $g(0)$ et en déduire que $(\forall x \in \mathbb{R}^*)$ : $g(x) > 0$.
    \item Montrer que : $(\forall x \in \mathbb{R})$ : $1 + (x-1)e^x \ge 0$.
\end{enumerate}

\textbf{Partie B : Étude de la fonction principale} \\
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = x + 1 + \frac{x}{e^x - x - 1}$ si $x \neq 0$ et $f(0)=2$.
\begin{enumerate}
    \item a) Calculer $\lim_{x\to+\infty} f(x)$ et $\lim_{x\to-\infty} f(x)$. \\
          b) Montrer que $\lim_{x\to 0} \frac{e^x-x-1}{x^2} = \frac{1}{2}$ et en déduire que $f$ est continue en 0.
    \item Montrer que la droite $(D) : y = x + 1$ est une asymptote à $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$.
    \item Montrer que la droite $(\Delta) : y = x + 2$ est une asymptote à $(C_f)$ au voisinage de $-\infty$.
    \item Calculer $f'(x)$ pour $x \neq 0$ et dresser le tableau de variations de $f$.
    \item Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ dans $]-2 ; -1[$.
    \item Tracer la courbe $(C_f)$ dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.
\end{enumerate}

\textbf{Partie C : Suite numérique} \\
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = f(u_n) - 1$.
\begin{enumerate}
    \item Montrer par récurrence que $(\forall n \in \mathbb{N}) : u_n > 0$.
    \item Étudier la monotonie de la suite $(u_n)$.
    \item En déduire que $(u_n)$ est convergente et déterminer sa limite.
\end{enumerate}

\section*{Exercice S16 : Logarithme et Branche Infinie}
\textbf{Partie A} : Soit $g(x) = 2e^x - x - 2$ sur $\mathbb{R}$.
\begin{enumerate}
    \item Étudier les limites et les variations de $g$.
    \item Montrer que $g(x)=0$ admet exactement deux solutions $0$ et $\alpha \in ]-1,6 ; -1,5[$.
    \item En déduire le signe de $g(x)$ sur $\mathbb{R}$.
\end{enumerate}
\textbf{Partie B} : Soit $f(x) = x - \ln(2e^x - x - 1)$.
\begin{enumerate}
    \item Déterminer $D_f$ et calculer les limites aux bornes.
    \item Montrer que $f'(x) = \frac{2e^x - 1}{2e^x - x - 1}$ et étudier son signe.
    \item Étudier la branche infinie de $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$.
    \item Montrer que $f(x)=0$ admet une solution $\beta$ dans $]1 ; 2[$.
    \item Dresser le tableau de variations complet.
\end{enumerate}

\section*{Exercice S17 : Structure Fractionnaire et Tangente}
\textbf{Partie A} : Soit $g(x) = (x-1)e^x + 1$ sur $\mathbb{R}$.
\begin{enumerate}
    \item Étudier les variations de $g$ et montrer que $g(x) \ge 0$.
    \item Préciser la valeur de $x$ pour laquelle le minimum est atteint.
\end{enumerate}
\textbf{Partie B} : Soit $f(x) = \frac{e^x - 1}{(x-1)e^x + 1}$.
\begin{enumerate}
    \item Déterminer $D_f$ et les limites.
    \item Montrer que $f'(x) = \frac{e^x(2-x) - 1}{((x-1)e^x + 1)^2}$.
    \item Étudier le signe de $h(x) = e^x(2-x) - 1$ et en déduire les variations de $f$.
    \item Déterminer l'équation de la tangente à $(C_f)$ au point d'abscisse 0.
    \item Tracer la courbe $(C_f)$.
\end{enumerate}

\section*{Exercice S18 : Croissance Comparée et Asymptote}
\textbf{Partie A} : Soit $g(x) = e^x - x^2$ sur $\mathbb{R}$.
\begin{enumerate}
    \item Étudier les variations de $g$ (utiliser $g''$).
    \item Montrer que $g(x) > 0$ sur $\mathbb{R}$.
\end{enumerate}
\textbf{Partie B} : Soit $f(x) = x - \frac{x^2}{e^x - x}$.
\begin{enumerate}
    \item Calculer les limites en $+\infty$ et $-\infty$.
    \item Étudier la branche parabolique au voisinage de $-\infty$.
    \item Montrer que la droite $y=x$ est une asymptote au voisinage de $+\infty$.
    \item Étudier la position relative de $(C_f)$ et de l'asymptote $y=x$.
    \item Calculer $f'(x)$ et dresser le tableau de variations.
\end{enumerate}

\section*{Exercice S19 : Synthèse Logarithmique}
\textbf{Partie A} : Soit $g(x) = \ln(1 + e^{-x})$.
\begin{enumerate}
    \item Étudier les variations de $g$ et ses limites.
    \item Montrer que $g(x) + x = \ln(e^x + 1)$.
\end{enumerate}
\textbf{Partie B} : Soit $f(x) = \frac{x}{\ln(1+e^{-x})}$.
\begin{enumerate}
    \item Déterminer $D_f$ et étudier la continuité en 0 (on donne $\lim_{x\to 0} f(x) = \frac{1}{\ln 2}$).
    \item Étudier les branches infinies au voisinage de $+\infty$ et $-\infty$.
    \item Montrer que $f'(x) = \frac{h(x)}{[\ln(1+e^{-x})]^2}$ avec $h(x) = \ln(1+e^{-x}) + \frac{x}{e^x+1}$.
    \item Montrer que $h'(x) < 0$ et conclure sur les variations de $f$.
\end{enumerate}










\subsection*{Exercice S20 : Modèle complet avec Logarithme de l'exponentielle}
\textbf{Partie A :} Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = \ln(e^x + 1)$.
\begin{enumerate}
    \item Calculer $g'(x)$ et montrer que $0 < g'(x) < 1$.
    \item Étudier les variations de $g$ et ses limites en $\pm\infty$.
    \item Montrer que la droite $y=x$ est asymptote à $(C_g)$ en $+\infty$.
\end{enumerate}
\textbf{Partie B :} Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x - 2\ln(e^x + 1)$.
\begin{enumerate}
    \item Calculer les limites de $f$ en $+\infty$ et $-\infty$.
    \item Montrer que $f'(x) = \frac{e^x - 1}{e^x + 1}$. En déduire les variations de $f$.
    \item Montrer que $(C_f)$ admet deux asymptotes obliques $(D_1): y = -x$ et $(D_2): y = -x - 2\ln 2$ (en précisant les voisinages).
    \item Montrer que l'équation $f(x) = -2$ admet une solution unique $\alpha \in ]1, 2[$.
    \item Tracer la courbe $(C_f)$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice S21 : Fonction avec fraction et puissance $x^2$}
\textbf{Partie A :} Soit $h(x) = e^x - x - 1$. (Utiliser les résultats vus précédemment pour le signe de $h$). \\
\textbf{Partie B :} Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^*$ par $f(x) = \frac{x^2}{e^x - x - 1}$.
\begin{enumerate}
    \item Calculer les limites aux bornes de $D_f$.
    \item Montrer que $\lim_{x\to 0} f(x) = 2$. (Indication : utiliser le développement limité ou la limite usuelle).
    \item Montrer que $f'(x) = \frac{x \cdot e^x (x-2) + x^2(x+1)}{(e^x-x-1)^2}$ (simplifier l'expression).
    \item Étudier les branches infinies de $(C_f)$.
    \item Dresser le tableau de variations complet.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice S22 : Produit et Suite Récurrente}
\textbf{Partie A :} Soit $g(x) = (x+1)e^{-x} + 1$.
\begin{enumerate}
    \item Étudier les variations de $g$ sur $\mathbb{R}$.
    \item Montrer que $g(x) = 0$ admet une racine unique $\alpha$ sur $[-1, 0]$.
    \item Déduire le signe de $g(x)$.
\end{enumerate}
\textbf{Partie B :} Soit $f(x) = x + 1 + xe^{-x}$.
\begin{enumerate}
    \item Étudier les limites et les branches infinies (asymptote oblique $y=x+1$).
    \item Calculer $f'(x)$ et montrer qu'il s'exprime en fonction de $g(x)$.
    \item Dresser le tableau de variations de $f$.
\end{enumerate}
\textbf{Partie C :} Soit $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = f(u_n) - u_n$. Étudier la nature de la suite $(u_n)$.

\subsection*{Exercice S23 : Fonction composée et Inflexion}
\textbf{Partie A :} Soit $g(x) = e^{2x} - 4e^x + 3$.
\begin{enumerate}
    \item Résoudre $g(x) = 0$ et étudier le signe de $g(x)$.
\end{enumerate}
\textbf{Partie B :} Soit $f(x) = e^x - 4x + e^{-x}$.
\begin{enumerate}
    \item Calculer les limites en $\pm\infty$.
    \item Montrer que $f'(x) = \frac{g(x)}{e^x}$.
    \item Dresser le tableau de variations de $f$.
    \item Calculer $f''(x)$ et montrer que $(C_f)$ possède un point d'inflexion unique.
    \item Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet deux solutions $\alpha$ et $\beta$.
    \item Tracer la courbe $(C_f)$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice S24 : Synthèse de type "Bac Maroc"}
\textbf{Partie A :} Soit $g(x) = 1 - x^2e^x$.
\begin{enumerate}
    \item Étudier les variations de $g$ et montrer que $g(x)=0$ admet une solution $\alpha \in [0, 1]$.
\end{enumerate}
\textbf{Partie B :} Soit $f(x) = e^{-x} - x$.
\begin{enumerate}
    \item Étudier $f$ et montrer que $f(x)=0$ admet une solution $L$.
    \item Étudier la position relative de $(C_f)$ avec la droite $y=-x$.
\end{enumerate}
\textbf{Partie C :} On considère la fonction $H(x) = \int_{0}^{x} (e^{-t} - t) dt$.
\begin{enumerate}
    \item Calculer $H(x)$ en fonction de $x$.
    \item Étudier les variations de $H$.
    \item Déterminer la limite de $H(x)$ quand $x \to +\infty$.
    \item Tracer la courbe de $H$.
\end{enumerate}






\subsection*{Exercice S25 : Exponentielle, Tangente et Suite}
\textbf{Partie A :} Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = (x-1)e^x + 1$.
\begin{enumerate}
    \item Étudier les variations de $g$ sur $\mathbb{R}$ et calculer ses limites.
    \item Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $g(x) \ge 0$. En déduire que $e^x \ge \frac{1}{1-x}$ pour $x < 1$.
\end{enumerate}
\textbf{Partie B :} Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x-2)e^x + x$.
\begin{enumerate}
    \item Calculer $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)$.
    \item Montrer que la droite $(D) : y = x$ est une asymptote à $(C_f)$ au voisinage de $-\infty$.
    \item Montrer que $f'(x) = g(x) + e^x$. En déduire le sens de variation de $f$.
    \item Déterminer l'équation de la tangente $(T)$ à $(C_f)$ au point d'abscisse 0.
    \item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha \in [0, 1]$.
\end{enumerate}
\textbf{Partie C :} Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = \frac{1}{2}$ et $u_{n+1} = f(u_n) - u_n + 1$. Étudier la convergence de $(u_n)$.

\subsection*{Exercice S26 : Quotient, Point d'inflexion et Position relative}
\textbf{Partie A :} Soit $g(x) = e^x - x - 2$.
\begin{enumerate}
    \item Étudier $g$ et montrer que $g(x)=0$ admet deux racines $\alpha < 0$ et $\beta > 0$.
\end{enumerate}
\textbf{Partie B :} Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \frac{e^x - 1}{e^x - x - 1}$ pour $x \neq 0$ et $f(0)=2$.
\begin{enumerate}
    \item Calculer les limites aux bornes de $D_f$.
    \item Montrer que $f'(x) = \frac{e^x(1-x)-1}{(e^x-x-1)^2}$.
    \item Montrer que $(C_f)$ possède un point d'inflexion d'abscisse $x=2$.
    \item Étudier la position relative de $(C_f)$ avec la droite d'équation $y=1$ au voisinage de $+\infty$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice S27 : Fonction "Cloche" et Intégrale}
\textbf{Partie A :} Soit $g(x) = (1-2x^2)e^{-x^2+1}$.
\begin{enumerate}
    \item Étudier le signe de $g(x)$ sur $\mathbb{R}$.
\end{enumerate}
\textbf{Partie B :} Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = xe^{-x^2+1}$.
\begin{enumerate}
    \item Étudier la parité de $f$.
    \item Calculer les limites en $\pm\infty$ et interpréter graphiquement.
    \item Montrer que $f'(x) = g(x)$. Dresser le tableau de variations de $f$.
    \item Montrer que $(C_f)$ admet trois points d'inflexion.
\end{enumerate}
\textbf{Partie C :} Soit $F(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt$.
\begin{enumerate}
    \item Calculer explicitement $F(x)$.
    \item Calculer $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} F(x)$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice S28 : Exponentielle et Logarithme (Synthèse complexe)}
\textbf{Partie A :} Soit $g(x) = 2x - e^x$.
\begin{enumerate}
    \item Étudier $g$ et montrer que $(\forall x \in \mathbb{R}) : g(x) < 0$.
\end{enumerate}





\end{multicols}

\end{document}