\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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    linkcolor=blue
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\newcommand{\mylink}{\href{https://mosaid.xyz/cc}{www.mosaid.xyz}}

\newcolumntype{C}{>{\Centering\arraybackslash}X}

\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\noindent
\begin{center}
    \begin{tabular}{@{}p{0.32\textwidth}p{0.47\textwidth}p{0.17\textwidth}}
        %\toprule
            Prof MOSAID - \mylink
            & \Centering {Série - fonctions exponentielles} & \hfill  2BAC-PC/SVT \\
        \bottomrule
    \end{tabular}
\end{center}
\textbf{\underline{Exercice 1:}} Résoudre les équations et inéquations suivantes: \\
\noindent
\begin{tabular}{@{}p{0.01\textwidth}|p{0.20\textwidth}p{0.24\textwidth}p{0.20\textwidth}p{0.29\textwidth}}
    &\begin{itemize}[topsep=3pt, partopsep=0pt, parsep=0pt, itemsep=0pt,
        after=\vspace*{-2\baselineskip}, before=\vspace*{-\baselineskip}, leftmargin=*]
        \setlength{\labelsep}{0.1em}
        \item \(e^{2x}-2e^{x}+1=0\)
        \item \(e^{2x}-2e^{x}-15=0\)
    \end{itemize}
    &\begin{itemize}[topsep=3pt, partopsep=0pt, parsep=0pt, itemsep=0pt,
        after=\vspace*{-2\baselineskip}, before=\vspace*{-\baselineskip}, leftmargin=*]
        \setlength{\labelsep}{0.1em}
        \item \(2^x=6\quad;\quad (\frac{1}{2})^x<16\)
        \item \(2^x=16\quad;\quad 2^x<6\)
        \item \(e^{3x}-e^{x}>0\)
    \end{itemize}
    &\begin{itemize}[topsep=3pt, partopsep=0pt, parsep=0pt, itemsep=0pt,
        after=\vspace*{-2\baselineskip}, before=\vspace*{-\baselineskip}, leftmargin=*]
        \setlength{\labelsep}{0.1em}
        \item \(9^{x}-23^{x}+1=0\)
        \item \(4^{x}-22^{x}-15=0\)
        \item \(1000^{x}-10^{x}<0\)
    \end{itemize}
    &\begin{itemize}[topsep=3pt, partopsep=0pt, parsep=0pt, itemsep=0pt,
        after=\vspace*{-2\baselineskip}, before=\vspace*{-\baselineskip}, leftmargin=*]
        \setlength{\labelsep}{0.1em}
        \item \(e^{3x+1}-3e^{2x+1}+e^{x+1}<0\)
        \item \(e^{x^2-x}>1\)
        \item \(e^{3x+1}-3e^{2x+1}+e^{x+1}=0\)
    \end{itemize}
\end{tabular}
\\
\textbf{\underline{Exercice 2:}}\\
\noindent
\begin{tabular}{@{}p{0.01\textwidth}|p{0.17\textwidth}p{0.21\textwidth}
    p{0.28\textwidth}p{0.31\textwidth}}
    & \multicolumn{4}{l}{Calculer \(f'(x)\) dans les cas suivants}\\
    &\begin{itemize}[topsep=6pt, partopsep=0pt, parsep=0pt, itemsep=0pt,
            after=\vspace*{-1.7\baselineskip}, before=\vspace*{-\baselineskip}, leftmargin=*]
        \setlength{\labelsep}{0.1em}
        \item \(f(x)=e^{7x^2-5x}\)
        \item \(f(x)=e^{3x^2-x}\)
        \item \(f(x)=e^{x-\ln(x)}\)
    \end{itemize}
    &\begin{itemize}[topsep=6pt, partopsep=0pt, parsep=0pt, itemsep=0pt,
            after=\vspace*{-1.7\baselineskip}, before=\vspace*{-\baselineskip}, leftmargin=*]
        \setlength{\labelsep}{0.1em}
        \item \(f(x)=(3x^2-1)e^{2x}\)
        \item \(f(x) = \ln(2x + e^x)\)
        \item \(f(x) = e^{x^3 + \cos(x)}\)
    \end{itemize}
    &\begin{itemize}[topsep=6pt, partopsep=0pt, parsep=0pt, itemsep=0pt,
            after=\vspace*{-1.7\baselineskip}, before=\vspace*{-\baselineskip}, leftmargin=*]
        \setlength{\labelsep}{0.1em}
            \item \(f(x) = e^{2x} + \ln(3x) + \sin(x)\)
            \item \(f(x) = \sqrt{e^{2x} + e^{-x}}\)
        \item \(f(x) = \sqrt{e^x + \ln(x)}\)
    \end{itemize}
    &\begin{itemize}[topsep=6pt, partopsep=0pt, parsep=0pt, itemsep=0pt,
            after=\vspace*{-1.7\baselineskip}, before=\vspace*{-\baselineskip}, leftmargin=*]
        \item \(f(x) = \tan^2(e^x)\)
            \item \(f(x) = e^{x^2} \cdot \ln(x)\)
        \item \(f(x) = e^{\sin(x)}-\sin(e^x)\)
    \end{itemize}
\end{tabular}
\\
\textbf{\underline{Exercice 3:}} Calculer les limites suivantes\\
\noindent
\begin{tabular}{@{}p{0.01\textwidth}|p{0.17\textwidth}p{0.15\textwidth}
    p{0.15\textwidth}p{0.19\textwidth}p{0.22\textwidth}}
    &\begin{itemize}[topsep=6pt, partopsep=0pt, parsep=0pt, itemsep=3pt,
            after=\vspace*{-1.7\baselineskip}, before=\vspace*{-\baselineskip}, leftmargin=*]
        \setlength{\labelsep}{0.1em}
        \item \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^2}\)
        \item \(\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x}e^{\frac{1}{x}}\)
        \item \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \sqrt{e^{2x}+x}\)
    \end{itemize}
    &\begin{itemize}[topsep=6pt, partopsep=0pt, parsep=0pt, itemsep=4pt,
            after=\vspace*{-1.7\baselineskip}, before=\vspace*{-\baselineskip}, leftmargin=*]
        \setlength{\labelsep}{0.1em}
        \item \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x}\)
        \item \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{x+e^x}{x-e^x} \)
        \item \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x}e^{-x}\)
    \end{itemize}
    &\begin{itemize}[topsep=6pt, partopsep=0pt, parsep=0pt, itemsep=0pt,
            after=\vspace*{-1.7\baselineskip}, before=\vspace*{-1.7\baselineskip}, leftmargin=*]
        \setlength{\labelsep}{0.1em}
        \item \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^2+1}\)
        \item \(\displaystyle \lim_{x \to 0^+} x\ln(x)\)
        \item \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{e^{-x}}{x}\)
    \end{itemize}
    &\begin{itemize}[topsep=6pt, partopsep=0pt, parsep=0pt, itemsep=5pt,
            after=\vspace*{-1.7\baselineskip}, before=\vspace*{-2\baselineskip}, leftmargin=*]
        \item \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x(e^{\frac{1}{x}}-1)\)
        \item \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x}-1}{x}\)
        \item \(\displaystyle \lim_{x \to 0^+} x^2\ln(x+1)\)
    \end{itemize}
    &\begin{itemize}[topsep=6pt, partopsep=0pt, parsep=0pt, itemsep=5pt,
            after=\vspace*{-1.7\baselineskip}, before=\vspace*{-2\baselineskip}, leftmargin=*]
        \item \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x}-e^x}{x}\)
        \item \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{e^{2x}+3e^x}{e^x+2}\)
        \item \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^{3x}-2e^{2x}+e^x}{x^2}\)
    \end{itemize}
\end{tabular}
\\
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}
\noindent
\textbf{\underline{Exercice 4: Ratrappage 2008}}\\
\noindent
I. Soit la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x)=e^{2x}-2x\)\\
I.1 Calculer \(g'(x)\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\)\\
I.2 Montrer que \(g\) est croissante sur \([0,+\infty[\) \\
\hspace*{0.7cm}et décroissante sur \(]-\infty,0]\)\\
I.3 En déduir que \(\forall x\in \mathbb{R}\quad g(x) >0\).\\
\hspace*{1cm}remarquer que \(g(0)=1\)\\
II. Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\ln(e^{2x}-2x)\). et
Soit \(\mathscr{C}\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O,\vec{i},\vec{j})\)\\
1.a. Montrer que \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)=+\infty\)\\
1.b. Vérifier que {\fontsize{10}{9}\selectfont \(\forall x\in \mathbb{R}^{*}\quad
\frac{f(x)}{x}=\left(\frac{e^{2x}}{x}-2\right)\frac{\ln(e^{2x}-2x)}{e^{2x}-2x}\)}\\
1.c. Montrer que {\fontsize{8}{7}\selectfont \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x}=0\)}.
(rappel: {\fontsize{6}{5}\selectfont \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln t}{t}=0\)})\\
1.d. En déduir que \(\mathscr{C}_f\) admet, au voisinage de \(-\infty\), une branche
parabolique que l'on doit déterminer la direction\\
2.a. Pour tout \(x\in [0,+\infty[\), vérifier que \(1-\frac{2x}{e^{2x}}>0\)\\
\hspace*{1cm}et que \(2x+\ln(1-\frac{2x}{e^{2x}})=f(x)\)\\
2.b. {\fontsize{9}{8}\selectfont En déduir que \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty\)}.
({\fontsize{7}{6}\selectfont rappel:\(\displaystyle \lim_{u \to +\infty} \frac{e^u}{u}=+\infty\)})\\
2.c. Montrer que la droite \((D):\quad y=2x\) est une\\
\hspace*{1cm}asymptote oblique de \(\mathscr{C}_f\) au voisinage de \(+\infty\)\\
2.d. Montrer que \(\forall x\in[0,+\infty[\quad f(x)-2x\le0\),\\
\hspace*{0.7cm} {\fontsize{10}{9}\selectfont En déduir que \(\mathscr{C}_f\) est au dessous de\((D)\)
sur \([0,+\infty[\)}\\
3.a. Montrer que \(\forall x\in \mathbb{R}\quad f'(x)=\frac{e^{2x}}{g(x)}\)\\
4. Tracer \(\mathscr{C}_f\) et \((D)\) dans le repère \((O,\vec{i},\vec{j})\).\\
\hspace*{0.5cm}(Considerer \(\mathscr{C}_f\) admet deux points d'inflexion).\\
\textbf{\underline{Exercice 5: National 2018}}\\
    I. Soit \(g\) la fonction numérique définie sur \(\mathbb{R}\) par\\
    \(g(x)=e^x-x^2+3x-1\). son tableau des variations est le suivant\\
    \begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering\arraybackslash}m{0.2\linewidth}|
        >{\centering\arraybackslash}m{\dimexpr0.8\linewidth-4\tabcolsep-2\arrayrulewidth}|}
      \hline
      \(x\) & \(-\infty\) \hfill \(+\infty\) \\
      \hline
      \(g'(x)\) & + \\
      \hline
      \(g(x)\) &
      \tikz{\draw[->, thick] (0,0) -- (4.5,0.5);
        \node[left] at (0,0) {\(-\infty\)};
    \node[right] at (4.5,0.5) {\(+\infty\)};} \\
      \hline
    \end{tabularx}\\
    1. Vérifier que \(g(0)=0\)\\
\end{minipage}
\hspace*{0.1cm}
\vline
\hspace*{0.1cm}
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}
    \vspace*{-0.3cm}
    2. Determiner le signe de \(g(x)\) dans les intervalles \(]-\infty,0]\) et \([0,+\infty[\)\\
    II. Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=(x^2-x)e^{-x}+x\). et
    Soit \(\mathscr{C}\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O,\vec{i},\vec{j})\)\\
    1.a Vérifier que \(f(x)=\frac{x^2}{e^x}-\frac{x}{e^x}+x\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\) \\
    \hspace*{1cm}puis montrer que \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty\)\\
    1.b Calculer \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(f(x)-x\right)\), en déduir que
    \(\mathscr{C}_f\) admet une asymptote \((D)\) d'équation \(y=x\) au voisinage de \(+\infty\)\\
    1.c Vérifier que \(f(x)=\frac{x^2-x+xe^x}{e^x}\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\) puis calculer
    \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)\)\\
    1.d Montrer que \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x}=0\), interprêter\\
    2.a Vérifier que \(f(x)-x\) et \(x^2-x\) ont le même signe pour tout \(x\in \mathbb{R}\)\\
    2.b En déduir que \(\mathscr{C}_f\) est au dessus de \((D)\) dans les intervalles
    \([1,+\infty[\) et \(]-\infty,0]\) et au dessous de \((D)\) sur l'intervalle \([0,1]\)\\
    3.a. Montrer que \(\forall x\in \mathbb{R}\quad f'(x)=g(x)e^{-x}\)\\
    3.b. En déduir que \(f\) est décroissante sur \(]-\infty,0]\) et croissante sur \([0,+\infty[\)\\
    3.c. {\fontsize{10}{9}\selectfont Etablir le tableau des variations de la fonction} \(f\)\\
    4.a. Vérifier que \(\forall x\in \mathbb{R}\quad f''(x)=(x^2-5x+4)e^{-x}\)\\
    4.b. En déduir que \(\mathscr{C}_f\) admet deux points\\
    \hspace*{1cm}d'inflexion d'abscisses 1 et 4 respectivement\\
    5. Construir  \(\mathscr{C}_f\) et \((D)\) dans le repère \((O,\vec{i},\vec{j})\) en prend \((f(4)=4.2)\)\\
    \textbf{\underline{Exercice 6:}}\\
    \noindent
 Un échantillon radioactif perd 10\% (\(\ln(0.9)\)) de sa masse chaque année. Si la masse initiale de l'échantillon est de 100 grammes, déterminez après combien d'années la masse de l'échantillon sera inférieure à 50 grammes. On donne la masse en fonction du temps :\( M(t) = M_0 \cdot e^{-kt} \), k est la constante de décroissance.\\
\textcolor{white}{.}\hfill \underline{MOSAID le \today}\\
\textcolor{white}{.}\hfill \mylink
\end{minipage}
\end{document}