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% Configuration en-tête/pied de page
\pagestyle{fancy}
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\renewcommand{\footrulewidth}{0.3pt} % Ligne de séparation du pied de page

% En-tête
\fancyhead[L]{\textbf{R. OUSSALEM  }}
\fancyhead[R]{\textbf{\Large Exponnentielle + Complexe }}

% Pied de page
\fancyfoot[L]{\textbf{Année 2025-2026}} % Texte gauche
\fancyfoot[C]{\textbf{\thepage / 12}} % Numéro de page centre
\fancyfoot[R]{\textbf{ Lycée }} % Texte droite
% --- PERSONNALISATION DES NUMÉROS ---
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    \node[shape=circle,draw,inner sep=1.5pt, thick] (char) {\small #1};%
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\begin{document}

\begin{itshare}


% --- EXAMEN 1 : Fonction exponentielle et nombres complexes ---
\section*{Examen 1}

% Exercice 1 : Étude d'une fonction avec paramètre
\subsection*{Exercice 1 : Analyse}

\subsubsection*{Partie I - Fonction auxiliaire}
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x) = (x+2)e^{-x} - 1$.

\begin{enumerate}
    \item Calculer $\lim_{x \to -\infty} g(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} g(x)$.
    \item Montrer que $\forall x \in \mathbb{R}, g'(x) = -(x+1)e^{-x}$.
    \item Dresser le tableau de variations de $g$ et montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$.
\end{enumerate}

\subsubsection*{Partie II - Fonction principale}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \frac{x+1}{e^x}$.

\begin{enumerate}
    \item Calculer $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x)$. Interpréter graphiquement.
    \item Montrer que $\forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = \frac{g(x)}{e^x}$.
    \item En déduire les variations de $f$ et dresser son tableau de variations.
    \item Déterminer l'équation de la tangente à $(C_f)$ au point d'abscisse $0$.
    \item Tracer la courbe $(C_f)$ dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$.
\end{enumerate}

% Exercice 2 : Nombres complexes
\subsection*{Exercice 2 : Complexes et Géométrie}

\begin{enumerate}
    \item Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $z^2 - 4z + 5 = 0$.
    \item Soit $a = 2 + 2i\sqrt{3}$. Écrire $a$ sous forme trigonométrique et exponentielle.
    \item Calculer $a^{2024}$ sous forme algébrique.
    \item Dans le plan complexe, on considère les points $A$, $B$, $C$ d'affixes :
    $z_A = 1 + i$, $z_B = -1 + i$, $z_C = -2i$.
    \begin{enumerate}
        \item Placer ces points dans le repère $(O, \vec{u}, \vec{v})$.
        \item Montrer que $ABC$ est un triangle rectangle.
        \item Déterminer l'affixe du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

% --- EXAMEN 2 : Fonction logarithme et complexes ---
\section*{Examen 2}


\subsection*{Exercice 2 : Nombres complexes et rotations}

\begin{enumerate}
    \item Résoudre dans $\mathbb{C}$ : $z^2 - 2z + 10 = 0$.
    \item Soit $a = \sqrt{3} + i$.
    \begin{enumerate}
        \item Déterminer le module et un argument de $a$.
        \item Écrire $a$ sous forme exponentielle.
    \end{enumerate}
    \item Soit $R$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi}{6}$.
    \begin{enumerate}
        \item Donner l'écriture complexe de $R$.
        \item Déterminer l'affixe du point $A'$ image du point $A$ d'affixe $a$ par $R$.
        \item Montrer que $OAA'$ est un triangle isocèle.
    \end{enumerate}
    \item Soit $B$ le point d'affixe $b = -2i$. Déterminer l'affixe du point $B'$ image de $B$ par la translation de vecteur $\vec{v}$ d'affixe $2+2i$.
\end{enumerate}





% Exercice 2 : Complexes
\subsection*{Exercice 2 : Équations complexes}

\begin{enumerate}
    \item Résoudre dans $\mathbb{C}$ : $z^2 - 6z + 12 = 0$.
    \item Soit $z_1 = 3 + i\sqrt{3}$ et $z_2 = 3 - i\sqrt{3}$.
    \begin{enumerate}
        \item Écrire $z_1$ et $z_2$ sous forme trigonométrique.
        \item Calculer $z_1^{2025}$.
    \end{enumerate}
    \item Dans le plan complexe, soit $A$ et $B$ les points d'affixes $z_1$ et $z_2$.
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que $OAB$ est un triangle isocèle.
        \item Déterminer l'affixe du point $C$ tel que $OACB$ soit un losange.
        \item Calculer l'aire du triangle $ABC$.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

% --- EXAMEN 4 : Fonction avec exponentielle et complexes ---
\section*{Examen 3}

% Exercice 1 : Fonction exponentielle
\subsection*{Exercice 1 : Problème d'analyse}

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = e^x - x - 1$.

\begin{enumerate}
    \item Calculer $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
    \item Montrer que $\forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = e^x - 1$.
    \item Dresser le tableau de variations de $f$.
    \item En déduire que $\forall x \in \mathbb{R}, e^x \geq x + 1$ (inégalité de convexité).
    \item Soit $g$ définie par $g(x) = \frac{e^x - 1}{e^x + 1}$.
    \begin{enumerate}
        \item Calculer $\lim_{x \to -\infty} g(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} g(x)$.
        \item Montrer que $g$ est impaire.
        \item Calculer $g'(x)$ et dresser le tableau de variations de $g$.
        \item Tracer $(C_g)$ dans un repère orthonormé.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

% Exercice 2 : Complexes
\subsection*{Exercice 2 : Complexes et configurations}

\begin{enumerate}
    \item Résoudre dans $\mathbb{C}$ : $z^2 - 2\sqrt{3}z + 4 = 0$.
    \item Soit $a = 2e^{i\frac{\pi}{4}}$ et $b = \sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{6}}$.
    \begin{enumerate}
        \item Écrire $a$ et $b$ sous forme algébrique.
        \item Calculer $a \times b$ et $\frac{a}{b}$ sous forme exponentielle.
    \end{enumerate}
    \item Dans le plan complexe, on donne $A(2+2i)$, $B(2-2i)$, $C(-2+2i)$.
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que $ABC$ est un triangle rectangle.
        \item Déterminer l'affixe du centre du cercle circonscrit à $ABC$.
        \item Soit $D$ l'image de $A$ par la rotation de centre $O$ d'angle $-\frac{\pi}{2}$. Déterminer l'affixe de $D$.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

% --- EXAMEN 5 : Synthèse analyse et complexes ---
\section*{Examen 4}

% Exercice 1 : Fonction avec paramètre
\subsection*{Exercice 1 : Étude complète d'une fonction}

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = x^2e^{-x} + 1$.

\begin{enumerate}
    \item Calculer $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
    \item Calculer $\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)-1}{x}$. Interpréter graphiquement.
    \item Montrer que $\forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = x(2-x)e^{-x}$.
    \item Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
    \item Déterminer les coordonnées des points d'intersection de $(C_f)$ avec l'axe des abscisses.
    \item Montrer que l'équation $f(x) = 2$ admet exactement deux solutions.
    \item Tracer $(C_f)$ dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$.
\end{enumerate}

% Exercice 2 : Complexes et géométrie
\subsection*{Exercice 2 : Nombres complexes}

\begin{enumerate}
    \item Résoudre dans $\mathbb{C}$ : $z^2 - 8z + 25 = 0$.
    \item Soit $z_1 = 4 + 3i$ et $z_2 = 4 - 3i$.
    \begin{enumerate}
        \item Calculer $|z_1|$ et $|z_2|$.
        \item Écrire $z_1$ et $z_2$ sous forme trigonométrique.
    \end{enumerate}
    \item Dans le plan complexe, on considère les points $M$, $N$, $P$ d'affixes :
    $z_M = 1 + i$, $z_N = -1 + i$, $z_P = -1 - i$.
    \begin{enumerate}
        \item Placer ces points dans le repère $(O, \vec{u}, \vec{v})$.
        \item Quelle est la nature du triangle $MNP$ ? Justifier.
        \item Déterminer l'affixe du point $Q$ tel que $MNPQ$ soit un carré.
        \item Soit $R$ la rotation de centre $M$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$. Déterminer l'affixe du point $N'$ image de $N$ par $R$.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}


\newpage


% --- EXAMEN 1 : Fonction exponentielle ---
\section*{Examen 5}

% Exercice 1 : Étude d'une fonction exponentielle
\subsection*{Exercice 1 : Analyse}

\subsubsection*{Partie I - Fonction auxiliaire}
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x) = (x+2)e^{-x} - 1$.

\begin{enumerate}
    \item Calculer $\lim_{x \to -\infty} g(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} g(x)$.
    \item Montrer que $\forall x \in \mathbb{R}, g'(x) = -(x+1)e^{-x}$.
    \item Dresser le tableau de variations de $g$ et montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$.
    \item Calculer $g(0)$ et en déduire le signe de $g(x)$ sur $\mathbb{R}$.
\end{enumerate}

\subsubsection*{Partie II - Fonction principale}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = (x+1)e^{-x}$.

\begin{enumerate}
    \item Calculer $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x}$. Interpréter graphiquement.
    \item Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$. Interpréter graphiquement.
    \item Montrer que $\forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = g(x)$.
    \item En déduire les variations de $f$ et dresser son tableau de variations.
    \item Déterminer l'équation de la tangente à $(C_f)$ au point d'abscisse $0$.
    \item Tracer la courbe $(C_f)$ dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$.
\end{enumerate}

% Exercice 2 : Nombres complexes
\subsection*{Exercice 2 : Complexes et Géométrie}

\begin{enumerate}
    \item Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $z^2 - 4z + 5 = 0$.
    \item Soit $a = 2 + 2i\sqrt{3}$. Écrire $a$ sous forme trigonométrique et exponentielle.
    \item Calculer $a^{2024}$ sous forme algébrique.
    \item Dans le plan complexe, on considère les points $A$, $B$, $C$ d'affixes :
    $z_A = 1 + i$, $z_B = -1 + i$, $z_C = -2i$.
    \begin{enumerate}
        \item Placer ces points dans le repère $(O, \vec{u}, \vec{v})$.
        \item Montrer que $ABC$ est un triangle rectangle.
        \item Déterminer l'affixe du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

% --- EXAMEN 2 : Fonction exponentielle ---
\section*{Examen 6}

% Exercice 1 : Fonction exponentielle
\subsection*{Exercice 1 : Étude d'une fonction exponentielle}

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \frac{e^x}{e^x + 1}$.

\begin{enumerate}
    \item Calculer $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x)$. Interpréter graphiquement.
    \item Montrer que $\forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = \frac{e^x}{(e^x + 1)^2}$.
    \item Dresser le tableau de variations de $f$.
    \item Montrer que $f$ est impaire.
    \item Déterminer les points d'intersection de $(C_f)$ avec les axes du repère.
    \item Montrer que la droite $(D) : y = \frac{1}{2}$ est un axe de symétrie pour $(C_f)$.
    \item Tracer la courbe $(C_f)$ dans un repère orthonormé.
\end{enumerate}

% Exercice 2 : Complexes
\subsection*{Exercice 2 : Nombres complexes et rotations}

\begin{enumerate}
    \item Résoudre dans $\mathbb{C}$ : $z^2 - 2z + 10 = 0$.
    \item Soit $a = \sqrt{3} + i$.
    \begin{enumerate}
        \item Déterminer le module et un argument de $a$.
        \item Écrire $a$ sous forme exponentielle.
    \end{enumerate}
    \item Soit $R$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi}{6}$.
    \begin{enumerate}
        \item Donner l'écriture complexe de $R$.
        \item Déterminer l'affixe du point $A'$ image du point $A$ d'affixe $a$ par $R$.
        \item Montrer que $OAA'$ est un triangle isocèle.
    \end{enumerate}
    \item Soit $B$ le point d'affixe $b = -2i$. Déterminer l'affixe du point $B'$ image de $B$ par la translation de vecteur $\vec{v}$ d'affixe $2+2i$.
\end{enumerate}

\newpage

% --- EXAMEN 3 : Fonction exponentielle ---
\section*{Examen 7}

% Exercice 1 : Fonction exponentielle
\subsection*{Exercice 1 : Étude d'une fonction exponentielle}

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = (x^2 - 2x)e^{-x}$.

\begin{enumerate}
    \item Calculer $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x}$. Interpréter.
    \item Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$. Interpréter.
    \item Montrer que $\forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = (-x^2 + 4x - 2)e^{-x}$.
    \item Résoudre $f'(x) = 0$ (on trouvera deux solutions $x_1$ et $x_2$).
    \item Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
    \item Déterminer les points d'intersection de $(C_f)$ avec l'axe des abscisses.
    \item Tracer $(C_f)$ dans un repère orthonormé.
\end{enumerate}

% Exercice 2 : Complexes
\subsection*{Exercice 2 : Équations complexes}

\begin{enumerate}
    \item Résoudre dans $\mathbb{C}$ : $z^2 - 6z + 12 = 0$.
    \item Soit $z_1 = 3 + i\sqrt{3}$ et $z_2 = 3 - i\sqrt{3}$.
    \begin{enumerate}
        \item Écrire $z_1$ et $z_2$ sous forme trigonométrique.
        \item Calculer $z_1^{2025}$.
    \end{enumerate}
    \item Dans le plan complexe, soit $A$ et $B$ les points d'affixes $z_1$ et $z_2$.
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que $OAB$ est un triangle isocèle.
        \item Déterminer l'affixe du point $C$ tel que $OACB$ soit un losange.
        \item Calculer l'aire du triangle $ABC$.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}


% --- EXAMEN 4 : Fonction exponentielle ---





\newpage



% --- EXAMEN 1 ---
\section*{Examen 8}

\subsection*{Exercice 1 : Étude de fonctions exponentielles}

\subsubsection*{I) - Fonction auxiliaire $g$}
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
$g(x) = e^x - 1 - xe^x$

\begin{enumerate}
    \item Calculer $\lim_{x \to -\infty} g(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} g(x)$.
    \item Montrer que $\forall x \in \mathbb{R}, g'(x) = -xe^x$.
    \item Dresser le tableau de variations de $g$ (on admettra que $\lim_{x \to -\infty} g(x) = -1$).
    \item Calculer $g(0)$ et en déduire que $\forall x \in \mathbb{R}, g(x) \leq 0$.
\end{enumerate}

\subsubsection*{II) - Fonction principale $f$}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^*$ par :
$f(x) = \frac{2x}{e^x - 1} + 3$
et on pose $f(0) = 5$ (prolongement par continuité).

\begin{enumerate}
    \item
    \begin{enumerate}
        \item Vérifier que pour tout $x \neq 0$, $f(x) = \frac{2x}{e^x - 1} + 3$.
        \item Montrer que $f$ est continue en $0$ (utiliser $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$).
    \end{enumerate}

    \item Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to -\infty} f(x)$. Interpréter graphiquement.

    \item
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que pour tout $x \neq 0$, $f'(x) = \frac{2g(x)}{(e^x - 1)^2}$.
        \item En utilisant les résultats de la partie I, étudier le signe de $f'(x)$.
        \item Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
    \end{enumerate}

    \item Déterminer l'équation de la tangente à $(C_f)$ au point d'abscisse $0$.

    \item Tracer la courbe $(C_f)$ dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 2 : Nombres complexes}
\begin{enumerate}
    \item Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $z^2 - 4z + 8 = 0$.
    \item Soit $a = 2 + 2i$. Écrire $a$ sous forme trigonométrique, puis calculer $a^{2024}$.
    \item Dans le plan complexe, on considère les points $A$, $B$, $C$ d'affixes :
    $z_A = 2 + 2i$, $z_B = 2 - 2i$, $z_C = -2$.
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que $OAB$ est un triangle rectangle isocèle.
        \item Déterminer l'affixe du point $D$ tel que $OADB$ soit un carré.
        \item Soit $R$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi}{4}$. Déterminer l'affixe de $A'$ image de $A$ par $R$.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

% --- EXAMEN 2 ---
\section*{Examen 9}

\subsection*{Exercice 1 : Étude de fonctions exponentielles}

\subsubsection*{I) - Fonction auxiliaire $g$}
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
$g(x) = (x-2)e^x + 2$

\begin{enumerate}
    \item Calculer $\lim_{x \to -\infty} g(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} g(x)$.
    \item Montrer que $\forall x \in \mathbb{R}, g'(x) = (x-1)e^x$.
    \item Dresser le tableau de variations de $g$.
    \item Calculer $g(0)$ et $g(1)$. En déduire le signe de $g(x)$ sur $\mathbb{R}$.
\end{enumerate}

\subsubsection*{II) - Fonction principale $f$}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
$f(x) = \frac{xe^x}{e^x - 1}$ pour $x \neq 0$, et $f(0) = 1$.

\begin{enumerate}
    \item Montrer que $f$ est continue en $0$.

    \item Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to -\infty} f(x)$.

    \item
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que pour tout $x \neq 0$, $f'(x) = \frac{e^x g(x)}{(e^x - 1)^2}$.
        \item En utilisant la partie I, déterminer le signe de $f'(x)$.
        \item Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
    \end{enumerate}

    \item Montrer que la droite $(D) : y = x + 1$ est une asymptote oblique à $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$.

    \item Tracer $(C_f)$ et $(D)$ dans un repère orthonormé.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 2 : Nombres complexes}
\begin{enumerate}
    \item Résoudre dans $\mathbb{C}$ : $z^2 - 2z + 5 = 0$.
    \item Soit $a = 1 + i\sqrt{3}$ et $b = 2e^{i\frac{\pi}{6}}$.
    \begin{enumerate}
        \item Écrire $a$ sous forme exponentielle.
        \item Calculer $a \times b$ et $\frac{a}{b}$ sous forme algébrique.
    \end{enumerate}
    \item Dans le plan complexe, $A$, $B$, $C$ ont pour affixes $a$, $b$, $a+b$.
    \begin{enumerate}
        \item Placer ces points dans le repère.
        \item Quelle est la nature du quadrilatère $OACB$ ?
        \item Déterminer l'affixe du point $D$ tel que $ABDC$ soit un parallélogramme.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

% --- EXAMEN 3 ---
\section*{Examen 10}

\subsection*{Exercice 1 : Étude de fonctions exponentielles}

\subsubsection*{I) - Fonction auxiliaire $g$}
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
$g(x) = e^x(1-x) - 1$

\begin{enumerate}
    \item Calculer $\lim_{x \to -\infty} g(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} g(x)$.
    \item Montrer que $\forall x \in \mathbb{R}, g'(x) = -xe^x$.
    \item Dresser le tableau de variations de $g$.
    \item Calculer $g(0)$ et en déduire que $\forall x \in \mathbb{R}, g(x) \leq 0$.
\end{enumerate}

\subsubsection*{II) - Fonction principale $f$}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
$f(x) = \frac{x}{e^x - 1} - \frac{1}{2}$

\begin{enumerate}
    \item Calculer $\lim_{x \to 0} f(x)$ (utiliser $\frac{e^x-1}{x} \to 1$). Prolonger $f$ par continuité en $0$.

    \item Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to -\infty} f(x)$.

    \item
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que pour tout $x \neq 0$, $f'(x) = \frac{g(x)}{(e^x - 1)^2}$.
        \item Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$.
    \end{enumerate}

    \item Montrer que $f$ est une fonction paire.

    \item Tracer $(C_f)$ dans un repère orthonormé.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 2 : Nombres complexes}
\begin{enumerate}
    \item Résoudre dans $\mathbb{C}$ : $z^2 - 6z + 13 = 0$.
    \item Soit $a = 3 + 2i$ et $b = 3 - 2i$.
    \begin{enumerate}
        \item Calculer $|a|$ et $|b|$.
        \item Écrire $a$ et $b$ sous forme trigonométrique.
    \end{enumerate}
    \item Soit $R$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi}{3}$.
    \begin{enumerate}
        \item Déterminer l'écriture complexe de $R$.
        \item Soit $A'$ et $B'$ les images de $A$ et $B$ par $R$. Calculer leurs affixes.
        \item Montrer que $A'B' = AB$.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

% --- EXAMEN 4 ---
\section*{Examen 11}

\subsection*{Exercice 1 : Étude de fonctions exponentielles}

\subsubsection*{I) - Fonction auxiliaire $g$}
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
$g(x) = e^x(x-2) + 2$

\begin{enumerate}
    \item Calculer $\lim_{x \to -\infty} g(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} g(x)$.
    \item Montrer que $\forall x \in \mathbb{R}, g'(x) = e^x(x-1)$.
    \item Dresser le tableau de variations de $g$.
    \item Calculer $g(1)$ et $g(2)$. En déduire le signe de $g(x)$ sur $\mathbb{R}$.
\end{enumerate}

\subsubsection*{II) - Fonction principale $f$}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
$f(x) = \frac{x^2 e^x}{e^x - 1}$ pour $x \neq 0$, et $f(0) = 0$.

\begin{enumerate}
    \item Montrer que $f$ est continue en $0$.

    \item Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x}$.

    \item
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que pour tout $x \neq 0$, $f'(x) = \frac{xe^x g(x)}{(e^x - 1)^2}$.
        \item Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$.
    \end{enumerate}

    \item Déterminer les points d'intersection de $(C_f)$ avec l'axe des abscisses.

    \item Tracer $(C_f)$ dans un repère orthonormé.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 2 : Nombres complexes}
\begin{enumerate}
    \item Résoudre dans $\mathbb{C}$ : $z^2 - 8z + 20 = 0$.
    \item Soit $a = 2e^{i\frac{\pi}{3}}$ et $b = \sqrt{3} + i$.
    \begin{enumerate}
        \item Écrire $b$ sous forme exponentielle.
        \item Calculer $a^{2023}$.
    \end{enumerate}
    \item Dans le plan complexe, $A$, $B$, $C$ ont pour affixes $a$, $b$, $c = 4$.
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que $ABC$ est un triangle rectangle.
        \item Déterminer le centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$.
        \item Soit $D$ l'image de $A$ par la rotation de centre $C$ et d'angle $-\frac{\pi}{2}$. Calculer l'affixe de $D$.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

% --- EXAMEN 5 ---
\section*{Examen 12}

\subsection*{Exercice 1 : Étude de fonctions exponentielles}

\subsubsection*{I) - Fonction auxiliaire $g$}
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
$g(x) = e^x(2-x) - 2$

\begin{enumerate}
    \item Calculer $\lim_{x \to -\infty} g(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} g(x)$.
    \item Montrer que $\forall x \in \mathbb{R}, g'(x) = e^x(1-x)$.
    \item Dresser le tableau de variations de $g$.
    \item Calculer $g(0)$ et $g(2)$. En déduire le signe de $g(x)$ sur $\mathbb{R}$.
\end{enumerate}

\subsubsection*{II) - Fonction principale $f$}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
$f(x) = \frac{e^x}{e^x - 1} - \frac{1}{x}$ pour $x \neq 0$, et $f(0) = \frac{1}{2}$.

\begin{enumerate}
    \item Montrer que $f$ est continue en $0$.

    \item Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to -\infty} f(x)$.

    \item
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que pour tout $x \neq 0$, $f'(x) = \frac{g(x)}{(e^x - 1)^2}$.
        \item Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$.
    \end{enumerate}

    \item Montrer que la droite $(D) : y = 1$ est une asymptote horizontale à $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$.

    \item Tracer $(C_f)$ dans un repère orthonormé.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 2 : Nombres complexes}
\begin{enumerate}
    \item Résoudre dans $\mathbb{C}$ : $z^2 - 2\sqrt{2}z + 4 = 0$.
    \item Soit $a = 2 + 2i\sqrt{3}$ et $b = \sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}$.
    \begin{enumerate}
        \item Écrire $a$ sous forme exponentielle.
        \item Calculer $a \times b$ sous forme algébrique.
    \end{enumerate}
    \item Dans le plan complexe, $A$, $B$, $C$ ont pour affixes $a$, $\overline{a}$, $b$.
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que $A$ et $B$ sont symétriques par rapport à l'axe des réels.
        \item Déterminer la nature du triangle $OAB$.
        \item Soit $R$ la rotation de centre $O$ et d'angle $-\frac{\pi}{3}$. Calculer l'affixe de $A'$ image de $A$ par $R$.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}









\vspace{1cm}
\begin{center}
    \rule{0.6\textwidth}{0.4pt} \\
    \textbf{Bon courage !}
\end{center}


\end{itshare}

\end{document}