\documentclass[10pt,landscape,a4paper]{article}
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% Custom Colors
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\definecolor{myblue}{HTML}{BBDEFB}
\definecolor{myorange}{HTML}{FFE0B2}

% Custom Box Styles
\tcbset{
    sectionbox/.style 2 args={
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    examplebox/.style={
        colback=white,
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        title=Remarque / Point Anguleux,
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}

\begin{document}
    % ==========================================
    % EN-TÊTE
    % ==========================================
    \begin{center}
        \begin{tcolorbox}[
            enhanced,
            colback=myblue!10,        
            colframe=myblue!90!black, 
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            ]
            {\Huge \bfseries \textsf{\textcolor{myblue!90!black}{Résumé de Cours : Dérivation et Applications}}} \\
            \vspace{0.1cm}
            {\LARGE \bfseries Prof : \textcolor{red!70!black}{SOUHAIL Mohamed} \quad \textcolor{gray}{\textbf{|}} \quad \textsf{Lycée Ibnou Batouta}}
        \end{tcolorbox}
    \end{center}

    \begin{multicols}{3}

        % ==========================================
        % 1. DÉRIVABILITÉ EN UN POINT
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={myyellow}{{1. Dérivabilité en un point}}]
            Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant $a$.\\
            $f$ est \textbf{dérivable en $a$} si :
            $\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = l \in \mathbb{R} $

            Le nombre $l$ est appelé \textbf{nombre dérivé} de $f$ en $a$, noté $\mathbf{f'(a)}$.

            \textbf{Dérivabilité à droite et à gauche :}\\
            $f$ est dérivable en $a$ si et seulement si elle est dérivable à droite ($f'_d(a)$) et à gauche ($f'_g(a)$) et :
            $$ \mathbf{f'_d(a) = f'_g(a)} $$
        \end{tcolorbox}

        % ==========================================
        % 2. INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={mycyan}{{2. Interprétations Géométriques}}]
            \textbf{Tangente à la courbe :}\\
            Si $f$ est dérivable en $a$, alors $(C_f)$ admet une tangente au point d'abscisse $a$ :
            $ (T) : \mathbf{y = f'(a)(x - a) + f(a)} $
            \textit{Si $f'(a) = 0$} $\implies$ Tangente \textbf{horizontale}.

            \textbf{Demi-tangentes verticales :}

                \renewcommand{\arraystretch}{2}
                \resizebox{\linewidth}{!}{
                    \scalebox{0.8}{\begin{tabular}{|c|p{6cm}|}
                        \hline
                        \textbf{La limite} & \textbf{Interprétation géométrique} \\
                        \hline
                        $\lim\limits_{x \to a^+} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = +\infty$ & $(C_f)$ admet une demi-tangente verticale d'équation $x=a$ à droite de $A(a; f(a))$ dirigée vers le \textbf{haut}. \\
                        \hline
                        $\lim\limits_{x \to a^+} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = -\infty$ & $(C_f)$ admet une demi-tangente verticale d'équation $x=a$ à droite de $A(a; f(a))$ dirigée vers le \textbf{bas}. \\
                        \hline
                        $\lim\limits_{x \to a^-} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = +\infty$ & $(C_f)$ admet une demi-tangente verticale d'équation $x=a$ à gauche de $A(a; f(a))$ dirigée vers le \textbf{bas}. \\
                        \hline
                        $\lim\limits_{x \to a^-} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = -\infty$ & $(C_f)$ admet une demi-tangente verticale d'équation $x=a$ à gauche de $A(a; f(a))$ dirigée vers le \textbf{haut}. \\
                        \hline
                    \end{tabular}}
                }

%           \begin{tcolorbox}[examplebox]
%               Si $f'_d(a) \neq f'_g(a)$ ou si une seule limite est infinie, $(C_f)$ admet un \textbf{point anguleux} en $a$.
%           \end{tcolorbox}
        \end{tcolorbox}

        % ==========================================
        % 3. DÉRIVÉES DES FONCTIONS USUELLES
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={myorange}{{3. Tableau des Dérivées Usuelles}}]
            \begin{center}
                \renewcommand{\arraystretch}{1.5}
                \begin{tabular}{|c|c|c|}
                    \hline
                    \textbf{Fonction} & \textbf{Dérivée} & \textbf{Intervalle} \\
                    \hline
                    $k$ & $0$ & $\mathbb{R}$ \\
                    \hline
                    $x^n$ & $n x^{n-1}$ & $\mathbb{R}$ \\
                    \hline
                    $1/x$ & $-1/x^2$ & $\mathbb{R}^*$ \\
                    \hline
                    $\sqrt{x}$ & $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ & $]0, +\infty[$ \\
                    \hline
                    $\sin(x)$ & $\cos(x)$ & $\mathbb{R}$ \\
                    \hline
                    $\cos(x)$ & $-\sin(x)$ & $\mathbb{R}$ \\
                    \hline
                    $\tan(x)$ & $1+\tan^2x$ & $D_{tan}$ \\
                    \hline
                \end{tabular}
            \end{center}
        \end{tcolorbox}

        % ==========================================
        % 4. OPÉRATIONS SUR LES DÉRIVÉES
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={mygreen}{{4. Opérations sur les Dérivées}}]
            Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur $I$.
            \begin{itemize}
                \item $(u + v)' = u' + v'$
                \item $(k \cdot u)' = k \cdot u'$
                \item $(u \cdot v)' = u'v + uv'$
                \item $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
                \item $\left(\frac{1}{v}\right)' = \frac{-v'}{v^2}$
                \item $(u^n)' = n \cdot u' \cdot u^{n-1}$
                \item $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$
            \end{itemize}
        \end{tcolorbox}

        % ==========================================
        % 5. DÉRIVÉE DE LA RÉCIPROQUE
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={mypink}{{5. Dérivée de la Fonction Réciproque}}]
            Si $f$ est continue et strictement monotone sur $I$, elle admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur $J=f(I)$.\\

            Si $f$ est dérivable en $a$ et \textbf{$f'(a) \neq 0$}, alors $f^{-1}$ est dérivable en $b = f(a)$ et :
            $ \mathbf{(f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)}} $
            Formule générale pour tout $x \in J$ :
            $ \mathbf{(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f' \circ f^{-1}(x)}} $
        \end{tcolorbox}

        % ==========================================
        % 6. MONOTONIE ET EXTREMUMS
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={myblue}{{6. Dérivée et Variations}}]
            Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.

            \textbf{Monotonie :}\\
            - Si $f'(x) \geq 0$, alors $f$ est \textbf{croissante}.\\
            - Si $f'(x) \leq 0$, alors $f$ est \textbf{décroissante}.\\
            - Si $f'(x) = 0$, alors $f$ est \textbf{constante}.

            \textbf{Extremums relatifs :}\\
            Si $f'$ \textbf{s'annule en $a$ en changeant de signe}, alors $f(a)$ est un extremum local (maximum ou minimum) de $f$.

            \begin{center}
                \begin{tikzpicture}[scale=0.6]
                    \draw[->] (-1,0) -- (3,0);
                    \draw[thick, blue] (0,0.5) to[out=60, in=180] (1,2) to[out=0, in=120] (2,0.5);
                    \draw[red, thick] (0.2,2) -- (1.8,2);
                    \node at (1,2.5) {\footnotesize $f'(a)=0$};
                \end{tikzpicture}
            \end{center}
        \end{tcolorbox}

        % ==========================================
        % 7. DÉRIVÉE DE LA COMPOSÉE (u o v)
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={myorange}{{7. Dérivée de la composée}}]
            \textbf{Règle de la chaîne :}\\
            Si $v$ est dérivable sur $I$ et $u$ est dérivable sur $v(I)$, alors $f = u \circ v$ est dérivable sur $I$ et :
            $$ \mathbf{(u \circ v)'(x) = v'(x) \cdot u'(v(x))} $$

            \begin{tcolorbox}[examplebox, title={Exemple : Fonctions trigo.}]
                $(\cos(ax+b))' = -a \sin(ax+b)$\\
                $(\sin(ax+b))' = a \cos(ax+b)$
            \end{tcolorbox}
        \end{tcolorbox}

    \end{multicols}
\end{document}