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% Custom Colors
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% Custom Box Styles
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}

\begin{document}
    % ==========================================
    % EN-TÊTE
    % ==========================================
    \begin{center}
        \begin{tcolorbox}[
            enhanced,
            colback=myblue!10,        
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            {\Huge \bfseries \textsf{\textcolor{myblue!90!black}{Résumé de Cours : Fonction Logarithme Népérien}}} \\
            \vspace{0.2cm}
            {\LARGE \bfseries Prof : \textcolor{red!70!black}{SOUHAIL Mohamed} \quad \textcolor{gray}{\textbf{|}} \quad \textsf{Lycée Ibnou Batouta}}
        \end{tcolorbox}
    \end{center}

    \begin{multicols}{3}

        % ==========================================
        % 1. DÉFINITION ET DOMAINE
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={myyellow}{{1. Définition et Signe}}]
            La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est la \textbf{primitive} de la fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ sur $]0, +\infty[$ qui s'annule en $1$.\\
            - Domaine de définition : $D = ]0, +\infty[$\\
            - $\ln(1) = 0$

            \textbf{Le nombre $\mathbf{e}$ :}\\
            Il existe un unique réel, noté $e$, tel que :
            $$ \ln(e) = 1 \quad (\text{avec } e \approx 2,718) $$

            \textbf{Signe de $\ln(x)$ :}\\
            - Si $x > 1$ alors $\ln(x) > 0$\\
            - Si $0 < x < 1$ alors $\ln(x) < 0$

            \begin{tcolorbox}[examplebox, title={\color{red} Domaine d'une fonction composée}]
                Pour déterminer le $D_f$ de $f(x) = \ln(u(x))$, il faut obligatoirement résoudre l'inéquation :
                $ \mathbf{u(x) > 0} $\\
                Ex: $f(x) = \ln(x-2) \implies x-2>0 \implies D_f = ]2, +\infty[$.
            \end{tcolorbox}
        \end{tcolorbox}

        % ==========================================
        % 2. PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={mycyan}{{2. Propriétés Algébriques}}]
            La fonction $\ln$ transforme les \textbf{produits} en \textbf{sommes}.\\
            Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$, et pour tout rationnel $r \in \mathbb{Q}$ :

            - $ \ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b) $\\
            - $ \ln\left(\frac{1}{a}\right) = -\ln(a) $\\
            - $ \ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b) $\\
            - $ \ln(a^r) = r \cdot \ln(a) $ \quad (ex: $\ln(a^2) = 2\ln(a)$)\\
            - $ \ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2} \ln(a) $

            \begin{tcolorbox}[examplebox, title={Attention aux erreurs !}]
                $\ln(a+b) \neq \ln(a) + \ln(b)$\\
                $\ln(x^2) = 2\ln(|x|)$ si $x \neq 0$.
            \end{tcolorbox}
        \end{tcolorbox}

        % ==========================================
        % 3. ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={myorange}{{3. Équations et Inéquations}}]
            La fonction $\ln$ est \textbf{strictement croissante} sur $]0, +\infty[$. Par conséquent, pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$ :

            $ \ln(a) = \ln(b) \iff a = b \text{ et } \ln(a) < \ln(b) \iff a < b $

            \begin{tcolorbox}[examplebox, title={Exemple classique}]
                Résoudre $\ln(x-1) = 2$ :\\
                1. \textbf{Domaine} : $x-1>0 \implies x \in ]1, +\infty[$.\\
                2. \textbf{Résolution} : On sait que $2 = 2\ln(e) = \ln(e^2)$.\\
                Donc $\ln(x-1) = \ln(e^2) \iff x-1 = e^2 \iff x = e^2 + 1$.\\
                Puisque $e^2+1 > 1$, la solution est $S = \{e^2 + 1\}$.
            \end{tcolorbox}
        \end{tcolorbox}

        % ==========================================
        % 4. LIMITES USUELLES
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={mygreen}{{4. Limites Fondamentales}}]
            \textbf{Limites aux bornes du domaine :}
            $$ \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty \quad ; \quad \lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty $$
            L'axe des ordonnées ($x=0$) est une asymptote verticale.

            \textbf{Croissances comparées en $\mathbf{+\infty}$ :} (L'emporte sur $x$)
            $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0 \quad ; \quad \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0 $$
            La courbe admet une \textbf{branche parabolique} de direction l'axe des abscisses.

            \textbf{Croissances comparées en $\mathbf{0^+}$ :}
            $$ \lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0 \quad ; \quad \lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0 $$

            \textbf{Limites dérivées (Taux d'accroissement) :}
            $$ \lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x-1} = 1 \quad ; \quad \lim_{x \to 0} \frac{\ln(x+1)}{x} = 1 $$
        \end{tcolorbox}

        % ==========================================
        % 5. DÉRIVATION ET PRIMITIVES
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={mypink}{{5. Dérivation}}]
            \textbf{Dérivée de base :}\\
            La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0, +\infty[$ et :
            $ (\ln(x))' = \frac{1}{x} $

            \textbf{Dérivée d'une fonction composée :}\\
            Si $u$ est une fonction dérivable et \textbf{strictement positive} sur un intervalle $I$, alors $\ln(u(x))$ est dérivable sur $I$ et :
            $ (\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)} $

            \textbf{Généralisation avec valeur absolue :}
            $$ (\ln|u(x)|)' = \frac{u'(x)}{u(x)} $$
            Ce qui donne la \textbf{primitive} de $\frac{u'(x)}{u(x)}$ est: $\ln|u(x)| + C$.
        \end{tcolorbox}

        % ==========================================
        % 6. LOGARITHME DE BASE a ET COURBE
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={myblue}{{6. Courbe et Log de base $a$}}]
            La fonction logarithme de base $a$ (avec $a>0, a \neq 1$) est :
            $$ \log_a(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(a)} $$
            \textit{Cas particulier :} Le logarithme décimal ($\log$) est $\log_{10}(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(10)}$.

            \vspace{0.1cm}
            \textbf{Courbe de la fonction $\ln$ :}\\
            \begin{center}
                \begin{tikzpicture}[scale=0.8]
                    % Repère
                    \draw[->, thick] (-1,0) -- (4,0) node[right] {$x$};
                    \draw[->, thick] (0,-3) -- (0,2) node[above] {$y$};
                    \draw (0,0) node[below left] {$O$};

                    % Courbe ln
                    \draw[domain=0.05:3.8, smooth, variable=\x, blue, very thick] plot ({\x}, {ln(\x)});
                    \node[blue, right] at (3.5, 1.5) {$(C_{\ln})$};

                    % Tangente en 1
                    \draw[domain=0:2.5, smooth, variable=\x, red, dashed, thick] plot ({\x}, {\x - 1});
                    \node[red, right] at (2, 0.5) {$(T)$};

                    % Points clés
                    \filldraw[black] (1,0) circle (2pt) node[below right] {$1$};
                    \filldraw[black] (2.718,1) circle (2pt);
                    \draw[dotted] (2.718,0) node[below] {$e$} -- (2.718,1) -- (0,1) node[left] {$1$};
                \end{tikzpicture}
            \end{center}
        \end{tcolorbox}

    \end{multicols}

\end{document}