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% Custom Colors
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% Custom Box Styles
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\begin{document}
    % ==========================================
    % EN-TÊTE
    % ==========================================
    \begin{center}
        \begin{tcolorbox}[
            enhanced,
            colback=myblue!10,        % خلفية زرقاء فاتحة جداً ومريحة
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            halign=center             % توسيط النص
            ]
            {\Huge \bfseries \textsf{\textcolor{myblue!90!black}{Résumé de Cours : Les nombres complexes}}} \\
            \vspace{0.1cm}
            {\LARGE \bfseries Prof : \textcolor{red!70!black}{SOUHAIL Mohamed} \quad \textcolor{gray}{\textbf{|}} \quad \textsf{Lycée Ibnou Batouta}}
        \end{tcolorbox}
    \end{center}

    \begin{multicols}{3}

        % ==========================================
        % 1. FORME ALGÉBRIQUE
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={myyellow}{{1. Forme Algébrique}}]
            L'ensemble des nombres complexes est noté $\mathbb{C}$.\\
            Il existe un nombre $i$ tel que : $\mathbf{i^2 = -1}$.

            Tout complexe $z$ s'écrit par:
            $ z = a + ib \quad (a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}) $\\
            - $a = \text{Re}(z)$ : Partie réelle.\\
            - $b = \text{Im}(z)$ : Partie imaginaire.

            \textbf{Égalité de deux complexes :}\\
            $z = z' \iff \text{Re}(z) = \text{Re}(z')$ et $\text{Im}(z) = \text{Im}(z')$.\\
            $z = 0 \iff a = 0$ et $b = 0$.

            - Si $b = 0$, alors $z \in \mathbb{R}$ (réel pur).\\
            - Si $a = 0$, alors $z \in i\mathbb{R}$ (imaginaire pur).
        \end{tcolorbox}

        % ==========================================
        % 2. CONJUGUÉ ET MODULE
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={mycyan}{{2. Conjugué et Module}}]
            Soit $z = a + ib$.

            \textbf{Le Conjugué $\bar{z}$ :}
            $ \bar{z} = a - ib $\\
            \textbf{Propriétés :}\\
            $\overline{z+z'} = \bar{z} + \bar{z}' \quad ; \quad \overline{z \cdot z'} = \bar{z} \cdot \bar{z}' \quad ; \quad \overline{\left(\frac{z}{z'}\right)} = \frac{\bar{z}}{\bar{z'}}$\\
            $z + \bar{z} = 2a \quad ; \quad z - \bar{z} = 2ib$

            \textbf{Le Module $|z|$ :} 
            $ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} $\\
            \textbf{Propriétés :}\\
            $|z| = 0 \iff z = 0 \quad ; \quad |z| = |-z| = |\bar{z}|$\\
            $|z \cdot z'| = |z| \cdot |z'| \quad ; \quad |z^n| = |z|^n$\\
            $\left|\frac{z}{z'}\right| = \frac{|z|}{|z'|} \quad ; \quad |z|^2 = z \cdot \bar{z} = a^2 + b^2$
        \end{tcolorbox}

        % ==========================================
        % 3. ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={myorange}{{3. Équations du 2nd degré dans $\mathbb{C}$}}]
            Soit l'équation $az^2 + bz + c = 0$ ($a,b,c \in \mathbb{R}$).\\
            On calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$.

            \textbf{Cas 1 :} $\Delta > 0$:
            $z_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \quad ; \quad z_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$

            \textbf{Cas 2 :} $\Delta = 0$ (1 solution réelle double):
            $z_0 = \frac{-b}{2a}$

            \textbf{Cas 3 :} $\mathbf{\Delta < 0}$ (2 solutions complexes conjuguées)\\
            $ z_1 = \frac{-b - i\sqrt{-\Delta}}{2a} \quad ; \quad z_2 =\bar{z_1}= \frac{-b + i\sqrt{-\Delta}}{2a} $
        \end{tcolorbox}

        % ==========================================
        % 4. TRIGONOMÉTRIE ET EXPONENTIELLE
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={mypink}{{4. Formes Trigo. et Exponentielle}}]
            Soit $z = a + ib\in\mathbb{C}$. On pose $r = |z|$ et $\theta \equiv \arg(z) [2\pi]$.

            \textbf{Calcul de l'argument $\theta$ :}
            $\cos(\theta) = \frac{a}{r}$  et  $\sin(\theta) = \frac{b}{r}$

            \textbf{Forme Trigonométrique :}\\
            $z = r(\cos \theta + i\sin \theta) = [r, \theta]$

            \textbf{Forme Exponentielle :}\\
            $z = r \cdot e^{i\theta}$  avec $e^{i\theta} = \cos \theta + i\sin \theta$

            \textbf{Propriétés des arguments :}\\
            - $\arg(z \cdot z') \equiv \arg(z) + \arg(z') \ [2\pi]$\\
            - $\arg\left(\frac{z}{z'}\right) \equiv \arg(z) - \arg(z') \ [2\pi]$\\
            - $\arg(z^n) \equiv n \cdot \arg(z) \ [2\pi]$\\
            - $\arg(\bar{z}) \equiv -\arg(z) \ [2\pi] \implies \bar{z} = re^{-i\theta}$

            \textbf{Formules de Moivre et d'Euler :}\\
            $ (\cos \theta + i\sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta) $ \\
            $ \cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \quad ; \quad \sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} $
        \end{tcolorbox}
    % ==========================================
        % 5. OUTILS GÉOMÉTRIQUES DE BASE
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={mygreen}{{5. Affixe, Distance et Milieu}}]
            Le plan complexe est rapporté au repère $(O, \vec{u}, \vec{v})$.\\
            À tout point $M(a,b)$ est associé son \textbf{affixe} $z_M = a + ib$.

            \textbf{Affixe d'un vecteur :}
            $Z_{\vec{AB}} = z_B - z_A$

            \textbf{Distance entre deux points :}
            $AB=|z_B - z_A|$

            \textbf{Milieu d'un segment :}\\
            Le point $I$ milieu de $[AB]$ a pour affixe :
            $ z_I = \frac{z_A + z_B}{2} $
        \end{tcolorbox}

        % ==========================================
        % 6. ALIGNEMENT ET ORTHOGONALITÉ
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={myyellow}{{6. Alignement et Cocycliques}}]
            \textbf{Alignement de 3 points :}\\
            Les points $A, B$ et $C$ sont alignés si et seulement si :\\
            $ \frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \in \mathbb{R} \quad \text{(c-à-d } \arg = 0 \text{ ou } \pi)$\\
            \textbf{Vecteurs Orthogonaux :}\\
            $\vec{AB} \perp \vec{AC} \iff \frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \in i\mathbb{R}^*$
            (c-à-d $\arg = \pm \frac{\pi}{2}$)

            $A, B, C, D$ sont cocycliques (ou alignés) $\iff$ 
            $$ \left( \frac{z_D - z_A}{z_B - z_A} \right) \times \left( \frac{z_B - z_C}{z_D - z_C} \right) \in \mathbb{R} $$
        \end{tcolorbox}

        % ==========================================
        % 7. MESURE D'ANGLES ET TRIANGLES
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={mypink}{{7. Angles Orientés et Triangles}}]
            \textbf{Mesure d'un angle orienté :}\\
            $$ (\widehat{\vec{u}, \vec{AB}}) \equiv \arg(z_B - z_A) \ [2\pi] $$
            $$ (\widehat{\vec{AB}, \vec{AC}}) \equiv \arg\left(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right) \ [2\pi] $$

            \begin{tcolorbox}[examplebox, title={\color{red} Nature du triangle ABC (Très fréquent)}]
                On calcule $Z = \frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$.\\
                \textbf{1. Triangle rectangle en A :}\\
                $Z = i \cdot k \quad (k \in \mathbb{R}^*) \implies \arg(Z) \equiv \pm\frac{\pi}{2}$

                \textbf{2. Triangle isocèle en A :}\\
                $Z = e^{i\theta} \implies |Z| = 1 \implies \frac{AC}{AB} = 1 \implies AC = AB$

                \textbf{3. Triangle rectangle et isocèle en A :}\\
                $Z = \pm i \implies \begin{cases} |Z| = 1 \\ \arg(Z) \equiv \pm\frac{\pi}{2} \end{cases}$

                \textbf{4. Triangle équilatéral :}\\
                $Z = e^{\pm i\frac{\pi}{3}} \implies \begin{cases} |Z| = 1 \\ \arg(Z) \equiv \pm\frac{\pi}{3} \end{cases}$
            \end{tcolorbox}
        \end{tcolorbox}

        % ==========================================
        % 8. TRANSFORMATIONS DU PLAN
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={mycyan}{{8. Transformations du Plan}}]
            Soit $M(z)$ un point et $M'(z')$ son image par la transformation.

            \textbf{A. La Translation : $t_{\vec{u}}$}\\
            De vecteur $\vec{u}$ d'affixe $z_u$:
            $ z' = z + z_u $

            \textbf{B. L'Homothétie : $h(\Omega, k)$}\\
            De centre $\Omega(\omega)$ et de rapport $k \in \mathbb{R}^*$.
            $$ z' - \omega = k(z - \omega) $$
            \textit{Interprétation :} $\vec{\Omega M'} = k\vec{\Omega M}$

            \textbf{C. La Rotation : $R(\Omega, \theta)$}\\
            De centre $\Omega(\omega)$ et d'angle $\theta \in \mathbb{R}$.
            $$ z' - \omega = e^{i\theta}(z - \omega) $$

%           \begin{tcolorbox}[examplebox, title={Reconnaître la transformation}]
%               Si on a l'expression $z' = az + b$ :\\
%               - Si $a = 1$, c'est une \textbf{translation}.\\
%               - Si $a \in \mathbb{R}^* \setminus \{1\}$, c'est une \textbf{homothétie} de rapport $a$.\\
%               - Si $a \in \mathbb{C}$ et $|a| = 1$ ($a \neq 1$), c'est une \textbf{rotation} d'angle $\theta \equiv \arg(a)$.
%           \end{tcolorbox}
        \end{tcolorbox}

    \end{multicols}

\end{document}