\documentclass[10pt,landscape,a4paper]{article}
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\usepackage{xcolor}

% Custom Colors
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\definecolor{myorange}{HTML}{FFE0B2}

% Custom Box Styles
\tcbset{
    sectionbox/.style 2 args={
        colback=#1!30,
        colframe=#1!90!black,
        fonttitle=\bfseries\sffamily,
        title=#2,
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        drop shadow
    },
    examplebox/.style={
        colback=white,
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        fonttitle=\bfseries\small,
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        title=Exemple,
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    }
}

\begin{document}

    % ==========================================
    % EN-TÊTE
    % ==========================================
    % ==========================================
    % EN-TÊTE
    % ==========================================
    \begin{center}
        \begin{tcolorbox}[
            enhanced,
            colback=myblue!10,        % خلفية زرقاء فاتحة جداً ومريحة
            colframe=myblue!90!black, % إطار أزرق داكن (احترافي)
            arc=6pt,                  % زوايا دائرية
            boxrule=1.5pt,            % سمك الإطار
            drop shadow,              % ظل خفيف باش يبان الإطار بارز 3D
            width=0.85\textwidth,     % العرض مايشدش الورقة كاملة باش يجي متيول
            halign=center             % توسيط النص
            ]
            {\Huge \bfseries \textsf{\textcolor{myblue!90!black}{Résumé de Cours : Géométrie dans l'espace}}} \\
            \vspace{0.3cm}
            {\LARGE \bfseries Prof : \textcolor{red!70!black}{SOUHAIL Mohamed} \quad \textcolor{gray}{\textbf{|}} \quad \textsf{Lycée Ibnou Batouta}}
        \end{tcolorbox}
    \end{center}

    \begin{multicols}{3}

        % ==========================================
        % VECTEURS ET REPÈRE
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={mypink}{Repère Orthonormé \& Colinéarité}]
            $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ un repère orthonormé.\\
            \textbf{Colinéarité :} $\vec{U}(x,y,z)$ et $\vec{V}(x',y',z')$.\\
            $\vec{U}$ et $\vec{V}$ colinéaires $\iff \exists \alpha \in \mathbb{R} : \vec{U} = \alpha \vec{V}$\\
            $\iff \Delta_x = 0, \Delta_y = 0, \Delta_z = 0$\\
            $\Delta_x = \begin{vmatrix} y & y' \\ z & z' \end{vmatrix} ; \Delta_y = \begin{vmatrix} x & x' \\ z & z' \end{vmatrix} ; \Delta_z = \begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix}$
        \end{tcolorbox}

        \begin{tcolorbox}[sectionbox={mycyan}{Vecteurs Coplanaires}]
            $\vec{U}, \vec{V}$ et $\vec{W}$ coplanaires $\iff \det(\vec{U}, \vec{V}, \vec{W}) = 0$\\
            $\det = x\begin{vmatrix} y' & y'' \\ z' & z'' \end{vmatrix} - y\begin{vmatrix} x' & x'' \\ z' & z'' \end{vmatrix} + z\begin{vmatrix} x' & x'' \\ y' & y'' \end{vmatrix}$

            \begin{tcolorbox}[examplebox]
                $\vec{U}(1,0,0), \vec{V}(0,1,0), \vec{W}(2,3,0)$.\\
                $\det(\vec{U}, \vec{V}, \vec{W}) = 1(0) - 0 + 0 = 0$.\\
                Les vecteurs sont coplanaires (ils appartiennent au plan $(Oxy)$).
            \end{tcolorbox}
        \end{tcolorbox}

         \begin{tcolorbox}[sectionbox={myyellow}{{Norme, Distance et Milieu}}]
            $||\vec{U}|| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$\\
            $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$\\
            $I$ milieu de $[AB]$ : $I\left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}, \frac{z_A+z_B}{2}\right)$

            \begin{tcolorbox}[examplebox]
                $A(1,2,-1)$ et $B(1, -2, 2)$.\\
                $AB = \sqrt{0^2 + (-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = 5$.\\ 
                Milieu $I(1, 0, \frac{1}{2})$.
            \end{tcolorbox}
        \end{tcolorbox}

        \begin{tcolorbox}[sectionbox={myyellow}{Produit Scalaire}]
            $\vec{U} \cdot \vec{V} = ||\vec{U}|| \times ||\vec{V}|| \times \cos(\vec{U},\vec{V})$\\
            $\vec{U} \cdot \vec{V} = xx' + yy' + zz'$\\
            $\vec{U} \perp \vec{V} \iff \vec{U} \cdot \vec{V} = 0$
        \end{tcolorbox}

        % ==========================================
        % DROITES ET PLANS
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={mygreen}{Droite dans l'espace}]
            $(D)$ passe par $A(x_A,y_A,z_A)$ et de vecteur dir. $\vec{U}(a,b,c)$.
            $$(D) : \begin{cases} x = x_A + at \\ y = y_A + bt \\ z = z_A + ct \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$$

            \begin{tcolorbox}[examplebox]
                $(D)$ passe par $A(1,-1,0)$ et dirigée par $\vec{U}(2,1,-3)$.\\
                Représentation paramétrique :\\
                $\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -1 + t \\ z = 0 - 3t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$
            \end{tcolorbox}
        \end{tcolorbox}

        \begin{tcolorbox}[sectionbox={myorange}{Plan dans l'espace}]
            - Equation : $(P) : ax + by + cz + d = 0$\\
            - $\vec{n}(a,b,c)$ est le vecteur normal à $(P)$.

            \begin{tcolorbox}[examplebox]
                Déterminer $(P)$ passant par $A(0,1,2)$ de vecteur normal $\vec{n}(1,-2,1)$.\\
                L'équation est : $1x - 2y + 1z + d = 0$.\\
                $A \in (P) \implies 0 - 2(1) + 2 + d = 0 \implies d = 0$.\\
                Donc $(P) : x - 2y + z = 0$.
            \end{tcolorbox}
        \end{tcolorbox}

        \begin{tcolorbox}[sectionbox={mycyan}{Position relative : Plan et Droite}]
            $(D)$ de vec dir. $\vec{U}$, $(P)$ de vecteur normal $\vec{n}$.\\
            - $(P) \perp (D) \iff \vec{n}$ et $\vec{U}$ colinéaires\\
            - $(P) \parallel (D) \iff \vec{n} \cdot \vec{U} = 0$

            \begin{tcolorbox}[examplebox]
                $(P): x+y-z=0$ et $(D)$ dirigée par $\vec{U}(1, 1, 2)$.\\
                $\vec{n}(1,1,-1)$ est normal à $(P)$.\\
                $\vec{n} \cdot \vec{U} = (1)(1) + (1)(1) + (-1)(2) = 0$.\\
                Donc $(D)$ est parallèle à $(P)$.
            \end{tcolorbox}
        \end{tcolorbox}

        \begin{tcolorbox}[sectionbox={mypink}{Distance d'un point à un plan}]
            $d(A, (P)) = \frac{|ax_A + by_A + cz_A + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$
        \end{tcolorbox}

        % ==========================================
        % PRODUIT VECTORIEL
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={mygreen}{Produit Vectoriel $\wedge$}]
            $$\vec{U} \wedge \vec{V} = \begin{vmatrix} y & y' \\ z & z' \end{vmatrix}\vec{i} - \begin{vmatrix} x & x' \\ z & z' \end{vmatrix}\vec{j} + \begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix}\vec{k}$$
            - $\vec{U}, \vec{V}$ colinéaires $\iff \vec{U} \wedge \vec{V} = \vec{0}$\\
            - Aire triangle : $S_{ABC} = \frac{1}{2} ||\vec{AB} \wedge \vec{AC}||$\\
            - Distance point-droite : $d(\Omega, (D)) = \frac{||\vec{U} \wedge \vec{A\Omega}||}{||\vec{U}||}$

%           \begin{tcolorbox}[examplebox]
%               \textbf{Calcul \& Aire :}\\
%               $\vec{AB}(1,1,0)$ et $\vec{AC}(0,1,1)$.\\
%               $\vec{AB} \wedge \vec{AC} = (1)\vec{i} - (1)\vec{j} + (1)\vec{k} = \vec{i}-\vec{j}+\vec{k}$.\\
%               $S_{ABC} = \frac{1}{2}\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
%           \end{tcolorbox}
            \begin{tcolorbox}[examplebox]
                \textbf{Distance point-droite :}\\
                $M(1,0,0)$ et $(D)$ passant par $O(0,0,0)$ dirigée par $\vec{k}(0,0,1)$.\\
                $\vec{OM} \wedge \vec{k} = (1,0,0) \wedge (0,0,1) = (0,-1,0)$.\\
                $d(M, (D)) = \frac{||\vec{OM} \wedge \vec{k}||}{||\vec{k}||} = \frac{1}{1} = 1$.
            \end{tcolorbox}
        \end{tcolorbox}

        % ==========================================
        % LA SPHÈRE
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={myyellow}{Sphère dans l'espace}]
            \textbf{À partir du centre et rayon :}\\
            $(S)$ de centre $\Omega(a,b,c)$ et rayon $R$ :\\
            $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$\\

            \textbf{À partir d'un diamètre $[AB]$ :}\\
            $M \in (S) \iff \vec{AM} \cdot \vec{BM} = 0$\\

            \textbf{Équation générale :}\\
            $x^2 + y^2 + z^2 + ax + by + cz + d = 0$\\
            est une sphère si $D = a^2+b^2+c^2-4d > 0$.

            \begin{tcolorbox}[examplebox]
                \textbf{Équation par diamètre $[AB]$ :} \\
                Soient $A(1, 0, -1)$ et $B(3, 2, 1)$.\\
                Centre $\Omega$ milieu de $[AB]$ : $\Omega(2, 1, 0)$.\\
                Rayon $R = \frac{AB}{2} = \frac{\sqrt{4+4+4}}{2} = \sqrt{3}$.\\
                $(S) : (x-2)^2 + (y-1)^2 + z^2 = 3$
            \end{tcolorbox}

            \begin{tcolorbox}[examplebox]
                \textbf{Trouver $\Omega$ et R (Éq. Générale) :} \\
                $(S) : x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y = 0$\\
                $\iff (x-1)^2 - 1 + (y+2)^2 - 4 + z^2 = 0$\\
                $\iff (x-1)^2 + (y+2)^2 + z^2 = 5$\\
                Centre $\Omega(1, -2, 0)$ et Rayon $R = \sqrt{5}$.
            \end{tcolorbox}
        \end{tcolorbox}

        % ==========================================
        % ÉQUATION CARTÉSIENNE (PAR DIAMÈTRE)
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={mycyan}{{Équation cartésienne par diamètre}}]
            Soient $A(x_A, y_A, z_A)$ et $B(x_B, y_B, z_B)$ deux points de l'espace.\\
            La sphère $(S)$ de diamètre $[AB]$ est l'ensemble des points $M(x,y,z)$ vérifiant :
            $ \vec{AM} \cdot \vec{BM} = 0 $
            En utilisant les coordonnées, l'équation cartésienne s'écrit directement :
            $$ (x - x_A)(x - x_B) + (y - y_A)(y - y_B) + (z - z_A)(z - z_B) = 0 $$
            \textit{Remarque :} Le centre $\Omega$ est le milieu de $[AB]$ et le rayon est $R = \frac{AB}{2}$.
        \end{tcolorbox}

        % ==========================================
        % POSITION RELATIVE SPHÈRE ET PLAN
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={mypink}{Position relative : Sphère et Plan}]
            On calcule $d = d(\Omega, (P))$ et on compare avec $R$.

            \textbf{1) $d > R$ : L'intersection est vide}
            \begin{center}
                \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
                    \filldraw[fill=pink!60, draw=red, thick] (-2,-1) -- (2,-1) -- (3,0) -- (-1,0) -- cycle;
                    \shade[ball color=yellow!80] (0.5, 2.5) circle (1.2);
                    \fill (0.5,2.5) circle (2pt);
                    \draw[dashed] (0.5,2.5) -- (0.5,-0.5);
                \end{tikzpicture}
            \end{center}
            \begin{tcolorbox}[examplebox]
                $(S)$ centre $O(0,0,0), R=1$. $(P): z=2$.\\
                $d(O, (P)) = 2$. Comme $2 > 1$, pas d'intersection.
            \end{tcolorbox}

            \textbf{2) $d = R$ : $(P)$ est tangent en $H$}
            \begin{center}
                \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
                    \filldraw[fill=pink!60, draw=red, thick] (-2,-0.5) -- (2,-0.5) -- (3,0.5) -- (-1,0.5) -- cycle;
                    \shade[ball color=yellow!80] (0.5, 1.2) circle (1.2);
                    \fill (0.5,1.2) circle (2pt);
                    \draw[dashed] (0.5,1.2) -- (0.5,0);
                \end{tikzpicture}
            \end{center}
            \begin{tcolorbox}[examplebox]
                $(S)$ centre $O(0,0,0), R=3$.\\
                $(P) : x + y + z - 3\sqrt{3} = 0$.\\
                $d = \frac{|-3\sqrt{3}|}{\sqrt{3}} = 3 = R$. $(P)$ est tangent.
            \end{tcolorbox}

            \textbf{3) $d < R$ : $(P)$ coupe $(S)$ suivant un cercle}
            \begin{center}
                \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
                    \filldraw[fill=red!70, draw=red!90!black, thick] (-2.5,-0.5) -- (2.5,-0.5) -- (3.5,0.5) -- (-1.5,0.5) -- cycle;
                    \draw[thick, blue, fill=blue!30] (0.5,0) ellipse (1.3cm and 0.4cm);
                    \shade[ball color=green!60, opacity=0.65] (0.5, 0.7) circle (1.6);
                    \draw[dashed] (0.5,0.7) -- (0.5,0);
                \end{tikzpicture}
            \end{center}
            Rayon du cercle : $r = \sqrt{R^2 - d^2}$.
            \begin{tcolorbox}[examplebox]
                $(S)$ centre $O(0,0,0), R=3$. $(P): x+2y+2z-6=0$.\\
                $d = \frac{|-6|}{\sqrt{1+4+4}} = 2$.\\
                $d=2 < R=3$, coupe selon un cercle de rayon $r = \sqrt{3^2 - 2^2} = \sqrt{5}$.
            \end{tcolorbox}
        \end{tcolorbox}


        % ==========================================
        % PLAN TANGENT À UNE SPHÈRE
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={mycyan}{{Plan tangent à une sphère}}]
            Soit $(S)$ une sphère de centre $\Omega$ et $A$ un point appartenant à $(S)$.\\
            Le plan tangent à la sphère $(S)$ au point $A$ est le plan $(P)$ passant par $A$ et dont le vecteur normal est $\vec{n} = \vec{\Omega A}$.\\
            $$M \in (P) \iff \vec{AM} \cdot \vec{\Omega A} = 0$$

            \begin{center}
                \begin{tikzpicture}[scale=0.7]
                    % La sphère
                    \shade[ball color=blue!20, opacity=0.3] (0,0) circle (1.5);
                    \draw[dashed, color=gray] (1.5,0) arc (0:180:1.5 and 0.5);
                    \draw[color=gray] (-1.5,0) arc (180:360:1.5 and 0.5);
                    \draw (0,0) circle (1.5);

                    % Centre et Point
                    \fill (0,0) circle (1.5pt) node[below left]{$\Omega$};
                    \fill (0.9, 1.2) circle (1.5pt) node[above right]{$A$};

                    % Vecteur normal
                    \draw[thick, red, ->] (0,0) -- (1.5, 2) node[right]{$\vec{n} = \vec{\Omega A}$};

                    % Le plan tangent
                    \filldraw[fill=gray!20, opacity=0.5, draw=black] 
                    (0.1, 1.8) -- (1.9, 1.5) -- (1.6, 0.4) -- (-0.2, 0.7) -- cycle;
                    \node at (0, 1.2) {$(P)$};
                \end{tikzpicture}
            \end{center}

            \begin{tcolorbox}[examplebox]
                \textbf{Exemple :} Soit $(S): x^2 + y^2 + z^2 - 2z - 3 = 0$ et $A(0, 2, 1)$.\\
                1. On vérifie que $A \in (S)$ : 

                $0^2 + 2^2 + 1^2 - 2(1) - 3 = 4 + 1 - 2 - 3 = 0$. (Vrai)\\
                2. Centre de la sphère : $\Omega(0, 0, 1)$.\\
                3. Vecteur normal : $\vec{\Omega A}(0-0, 2-0, 1-1)$

                $ \implies \vec{n}(0, 2, 0)$.\\
                4. Équation de $(P)$ : $0(x-0) + 2(y-2) + 0(z-1) = 0 $

                $\iff 2y - 4 = 0 \iff y = 2$.
            \end{tcolorbox}
        \end{tcolorbox}

        % ==========================================
        % REPRÉSENTATION PARAMÉTRIQUE D'UNE SPHÈRE
        % ==========================================
        \begin{tcolorbox}[sectionbox={myblue}{{Représentation paramétrique d'une sphère}}]
            Soit $(S)$ une sphère de centre $\Omega(x_\Omega, y_\Omega, z_\Omega)$ et de rayon $R$.\\
            Une représentation paramétrique de la sphère $(S)$ est donnée par le système suivant :
            $$ (S) : \begin{cases} 
                x = x_\Omega + R \cos(\theta)\cos(\varphi) \\ 
                y = y_\Omega + R \sin(\theta)\cos(\varphi) \\ 
                z = z_\Omega + R \sin(\varphi) 
            \end{cases} $$
            Où les paramètres $\theta$ et $\varphi$ vérifient :\\
            $\theta \in [0, 2\pi[$ \quad et \quad $\varphi \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$
        \end{tcolorbox}
    \end{multicols}

\end{document}