\documentclass[12pt]{extarticle}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb}
\usepackage{geometry}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{setspace}

% Configuration des marges
\geometry{a4paper, margin=1.5cm, bottom=2cm}

% En-tête
\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{\small Prof RACHID}
\fancyhead[R]{\small Exercices}
\fancyfoot[C]{\thepage}

\begin{document}
%====================================================
% EXERCICES DE GEOMETRIE DANS L'ESPACE
%====================================================

\subsection*{Exercice 1 : Géométrie dans l'espace (4 pts)}

Dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on considère les points
$A(2;1;0)$, $B(1;3;2)$ et le plan $(P)$ d'équation :
\[
2x-y+z-3=0
\]

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]

\item Montrer que la droite $(AB)$ n'est pas parallèle au plan $(P)$.

\item Donner une représentation paramétrique de la droite $(AB)$.

\item Déterminer une équation cartésienne du plan $(Q)$ passant par $A$ et perpendiculaire à la droite $(AB)$.

\item Calculer la distance du point $B$ au plan $(P)$.

\end{enumerate}

%====================================================

\subsection*{Exercice 2 : Géométrie dans l'espace (4 pts)}

Dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on considère les points
$A(1;0;2)$, $B(3;1;1)$ et le plan $(P)$ d'équation :
\[
x+2y-z+1=0
\]

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]

\item Déterminer un vecteur directeur de la droite $(AB)$.

\item Vérifier que le point $A$ n'appartient pas au plan $(P)$.

\item Soit $H$ le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan $(P)$.
Déterminer les coordonnées de $H$.

\item Calculer la distance $d(A,(P))$.

\end{enumerate}

%====================================================

\subsection*{Exercice 3 : Géométrie dans l'espace (4 pts)}

Dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on considère les points
$A(0;1;2)$, $B(2;2;0)$ et le plan $(P)$ d'équation :
\[
x-y+2z-5=0
\]

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]

\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AB)$.

\item Montrer que la droite $(AB)$ coupe le plan $(P)$ en un point $I$.

\item Déterminer les coordonnées du point $I$.

\item Calculer l'angle entre le vecteur normal du plan $(P)$ et le vecteur $\vec{AB}$.

\end{enumerate}

%====================================================

\subsection*{Exercice 4 : Géométrie dans l'espace (4 pts)}

Dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on considère les points
$A(1;1;1)$, $B(2;0;3)$ et le plan $(P)$ d'équation :
\[
2x+y-z-2=0
\]

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]

\item Déterminer un vecteur normal au plan $(P)$.

\item Montrer que la droite $(AB)$ n'est pas incluse dans le plan $(P)$.

\item Déterminer les coordonnées du point d'intersection de la droite $(AB)$ avec le plan $(P)$.

\item Calculer la distance du point $A$ au plan $(P)$.

\end{enumerate}

%====================================================
% EXERCICES DE PROBABILITES
%====================================================

\subsection*{Exercice 1 : Probabilités (4 pts)}

Une urne contient 12 boules indiscernables au toucher :
5 rouges, 4 bleues et 3 vertes.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]

\item On tire simultanément 3 boules.
Calculer la probabilité d'obtenir exactement deux boules rouges.

\item Soit $A$ l'événement :
\og obtenir au moins une boule verte \fg.
Calculer $P(A)$.

\item On répète cette expérience 4 fois de manière indépendante.
Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de réalisations de l'événement $A$.

\begin{enumerate}[label=\alph*)]

\item Déterminer la loi de probabilité de $X$.

\item Calculer l'espérance mathématique $E(X)$.

\end{enumerate}

\end{enumerate}

%====================================================

\subsection*{Exercice 2 : Probabilités (4 pts)}

Une boîte contient 10 cartes numérotées de 1 à 10.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]

\item On tire simultanément 2 cartes.
Calculer la probabilité d'obtenir deux nombres pairs.

\item Soit $B$ l'événement :
\og la somme des deux nombres obtenus est supérieure à 10 \fg.

Calculer $P(B)$.

\item On répète cette expérience 5 fois de manière indépendante.
Soit $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de réalisations de l'événement $B$.

\begin{enumerate}[label=\alph*)]

\item Déterminer la loi suivie par $Y$.

\item Calculer l'espérance mathématique $E(Y)$.

\end{enumerate}

\end{enumerate}

%====================================================

\subsection*{Exercice 3 : Probabilités (4 pts)}

Une urne contient 15 boules :
6 blanches, 5 noires et 4 rouges.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]

\item On tire simultanément 3 boules.
Calculer la probabilité d'obtenir exactement une boule rouge.

\item Soit $C$ l'événement :
\og obtenir au moins une boule noire \fg.

Calculer $P(C)$.

\item On répète l'expérience 3 fois de manière indépendante.
Soit $Z$ la variable aléatoire égale au nombre de réalisations de l'événement $C$.

\begin{enumerate}[label=\alph*)]

\item Déterminer la loi de probabilité de $Z$.

\item Calculer l'espérance mathématique $E(Z)$.

\end{enumerate}

\end{enumerate}

%====================================================

\subsection*{Exercice 4 : Probabilités (4 pts)}

Une urne contient 8 boules :
3 jaunes, 3 rouges et 2 bleues.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]

\item On tire simultanément 2 boules.
Calculer la probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes.

\item Soit $D$ l'événement :
\og obtenir au moins une boule jaune \fg.

Calculer $P(D)$.

\item On répète cette expérience 6 fois de manière indépendante.
Soit $T$ la variable aléatoire égale au nombre de réalisations de l'événement $D$.

\begin{enumerate}[label=\alph*)]

\item Déterminer la loi suivie par $T$.

\item Calculer l'espérance mathématique $E(T)$.

\end{enumerate}

\end{enumerate}



\begin{center}
    \rule{0.3\textwidth}{0.4pt} \\
    \textit{\small Fin du sujet}
\end{center}

\end{document}