\documentclass[12pt,landscape]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb}
\usepackage{geometry}
\usepackage{multicol}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{enumitem}

% Configuration de la page
\geometry{left=1.8cm, right=1.8cm, top=1.8cm, bottom=1.8cm}

% En-tête et pied de page
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{Prof RACHID OUSSALEM}
\fancyhead[R]{Examen Blanc de Mathématiques}
\fancyfoot[L]{2BAC PC/SVT}
\fancyfoot[R]{\thepage / 2}
\renewcommand{\headrulewidth}{0.5pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\setlength{\columnseprule}{0.8pt}

\title{\textbf{Examen Blanc de Mathématiques}}
\date{}

\begin{document}

\begin{multicols}{2}

% ==========================================
% EXERCICE 1
% ==========================================
\section*{Exercice 1}

Soit la suite $(u_n)$ définie par :
\[
u_0 = 3, \qquad u_{n+1} = \dfrac{7u_n - 4}{u_n + 2}
\]

\begin{enumerate}
    \item Calculer $u_1$ et $u_2$.

    \item Montrer par récurrence que : $1 < u_n < 4$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

    \item Montrer que :
    \[
    u_{n+1} - u_n = \dfrac{-(u_n - 1)(u_n - 4)}{u_n + 2}
    \]

    \item En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.

    \item Soit la suite $(v_n)$ définie par $v_n = \dfrac{u_n - 4}{u_n - 1}$.
    \begin{enumerate}[label=\alph*)]
        \item Calculer $v_0$, $v_1$ et $v_2$.
        \item Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q = \dfrac{1}{2}$.
        \item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, puis en déduire que :
        \[
        u_n = \dfrac{2\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 4}{2\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 1}
        \]
    \end{enumerate}

    \item Déterminer $\lim_{n \to +\infty} u_n$.
\end{enumerate}

% ==========================================
% EXERCICE 2
% ==========================================
\section*{Exercice 2}

\begin{enumerate}
    \item Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation :
    \[
    z^2 + 2\sqrt{5}z + 20 = 0
    \]

    \item Soit $z_1$ la solution telle que $\operatorname{Im}(z_1) > 0$. Donner la forme trigonométrique de $z_1$ et de $\overline{z_1}$.

    \item Résoudre l'équation : $z - z_2 = z \cdot e^{-\frac{\pi}{3}}$.

    \item Soient les points $D(z_1)$, $E(\overline{z_1})$ et $F(-2\sqrt{5})$. Que peut-on dire du triangle $OEF$ ?

    \item Soit $T$ la translation de vecteur $\vec{u}(3\sqrt{5})$.
    \begin{enumerate}[label=\alph*)]
        \item Donner l'écriture complexe de $T$.
        \item Déterminer $G$, l'image de $D$ par $T$.
    \end{enumerate}

    \item Soit $h$ l'homothétie de centre $I$ et de rapport $k=3$.
    \begin{enumerate}[label=\alph*)]
        \item Donner l'écriture complexe de $h$.
        \item Déterminer l'image de $F$ par $h$.
    \end{enumerate}

    \item Soit $R$ la rotation de centre $I$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.
    \begin{enumerate}[label=\alph*)]
        \item Donner l'écriture complexe de $R$.
        \item Donner $J$, l'image de $E$ par $R$.
    \end{enumerate}

    \item Placer les points $D$, $E$, $F$ et $I$ dans un repère orthonormé tel que $\|\vec{u}\| = \sqrt{5}$.
\end{enumerate}

% ==========================================
% EXERCICE 3
% ==========================================
\section*{Exercice 3}

Soient les points $A(-1,0,1)$, $B(-3,0,0)$ et $C(1,1,0)$, et la sphère $(S)$ d'équation :
\[
x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y - 2z - 2 = 0
\]

\begin{enumerate}
    \item Déterminer le produit vectoriel $\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}$.

    \item En déduire que l'équation du plan $(ABC)$ est :
    \[
    x - 2y + 2z + 3 = 0
    \]

    \item Montrer que le centre de $(S)$ est $\Omega(1,1,1)$ et que son rayon est $R=2$.

    \item Calculer la distance $d(\Omega, (ABC))$.

    \item En déduire que le plan $(ABC)$ coupe la sphère $(S)$ selon un cercle, et déterminer son rayon $r$.

    \item Donner la représentation paramétrique de la droite $(\Delta)$ qui passe par $\Omega$ et orthogonale au plan $(ABC)$.

    \item Déterminer les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal de $\Omega$ sur le plan $(ABC)$.
\end{enumerate}

% ==========================================
% EXERCICE 4
% ==========================================
\section*{Exercice 4}

On considère une urne contenant des boules numérotées. On tire simultanément 2 boules.

\begin{enumerate}
    \item Donner la probabilité des événements suivants :
    \begin{itemize}[label=--]
        \item $A$ : Les deux boules portent des nombres impairs.
        \item $B$ : Les deux boules portent des nombres premiers.
        \item $C$ : Le produit des deux nombres est égal à 12.
        \item $D$ : La somme des deux nombres est égale à 8.
        \item $E$ : Les deux boules portent le même numéro.
    \end{itemize}

    \item On répète cette expérience 4 fois de façon indépendante. Soit $X$ le nombre de fois où l'événement $E$ est réalisé.
    \begin{enumerate}[label=\alph*)]
        \item Donner la nature (la loi) de $X$.
        \item Donner la loi de probabilité de $X$.
        \item Calculer l'espérance $\mathbb{E}(X)$, la variance $\mathbb{V}(X)$ et l'écart-type $\sigma(X)$.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

% ==========================================
% EXERCICE 5
% ==========================================
\section*{Exercice 5 : Problème}

Soit $f$ la fonction définie par :
\[
f(x) = 
\begin{cases}
(-x^2 + 3x - 1)e^{-x} & \text{si } x \leq 0 \\
\dfrac{\ln^2 x - 3\ln x - 3}{x} & \text{si } x > 0
\end{cases}
\]

\begin{enumerate}
    \item Étudier la continuité de $f$ au point $a=0$.

    \item Calculer $\lim_{x \to -\infty} f(x)$.

    \item Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et interpréter graphiquement.

    \item Montrer que pour tout $x>0$ : $\dfrac{\ln^2 x}{x} = 4 \left( \dfrac{\ln(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \right)^2$.

    \item En déduire $\lim_{x \to 0^+} f(x)$, puis interpréter graphiquement.

    \item Montrer que la fonction dérivée $f'$ est définie par :
    \[
    f'(x) = 
    \begin{cases}
    (x^2 - 5x + 4)e^{-x} & \text{si } x < 0 \\
    \dfrac{\ln x \, (\ln x - 5)}{x^2} & \text{si } x > 0
    \end{cases}
    \]

    \item En déduire la monotonie de $f$ sur $]-\infty, 0]$ et sur $]0, +\infty[$.

    \item Montrer que la dérivée seconde $f''$ est donnée par :
    \[
    f''(x) = 
    \begin{cases}
    (-x^2 + 7x - 9)e^{-x} & \text{si } x < 0 \\
    \dfrac{2\ln^2 x - 15\ln x + 5}{x^3} & \text{si } x > 0
    \end{cases}
    \]

    \item Donner le tableau de convexité de la courbe $(\mathcal{C}_f)$ et déterminer les points d'inflexion.

    \item Donner l'équation de la tangente à $(\mathcal{C}_f)$ au point d'abscisse $a=-1$.

    \item Vérifier que $F(x) = \dfrac{\ln^3 x}{3} - \dfrac{3\ln^2 x}{2} - 3\ln x$ est une primitive de $f$ sur $]0, +\infty[$.

    \item Sachant que $f(x) \leq 0$ sur $[-1,0]$, calculer $\displaystyle\int_{-1}^{0} |f(x)|\, dx$.

    \item Tracer la courbe $(\mathcal{C}_f)$ et la tangente au point d'abscisse $-1$.
\end{enumerate}

\end{multicols}
\end{document}