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%--- LA SOLUTION CORRECTE POUR LE GRAS GLOBAL ---
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\boldmath

\titleformat{\section}[hang]{\bfseries\large}{\thesection)}{0.5em}{}
\titlespacing*{\section}{0pt}{10pt}{5pt}
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\begin{document}

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\begin{multicols}{2}
\raggedcolumns 

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%--- EXERCICE 1 ---
\section{Suites numériques (3 points)}
On considère la suite $(u_n)$ définie par : $u_0 = 4$ et 
\[ u_{n+1} = \frac{4u_n - 2}{1 + u_n} \quad \text{pour tout entier naturel } n \]

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item \begin{enumerate}[label=\alph*)]
        \item Vérifier que $u_{n+1} = 4 - \frac{6}{1+u_n}$ pour tout entier naturel $n$. \points{0.25 pt}
        \item Montrer par récurrence que $2 \le u_n \le 4$ pour tout entier naturel $n$. \points{0.5 pt}
    \end{enumerate}
    \item \begin{enumerate}[label=\alph*)]
        \item Montrer que $u_{n+1} - u_n = \frac{(u_n - 1)(2 - u_n)}{1 + u_n}$ pour tout entier naturel $n$. \points{0.25 pt}
        \item Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante et en déduire que $(u_n)$ est convergente. \points{0.5 pt}
    \end{enumerate}
    \item Soit $(v_n)$ la suite numérique définie par : $v_n = \frac{2 - u_n}{1 - u_n}$ pour tout entier naturel $n$.
    \begin{enumerate}[label=\alph*)]
        \item Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\frac{2}{3}$. \points{0.5 pt}
        \item Montrer que $u_n = 1 + \frac{1}{1 - \left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}}$ pour tout entier naturel $n$. \points{0.5 pt}
        \item Calculer la limite de la suite $(u_n)$. \points{0.25 pt}
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\rule{0.5\linewidth}{0.5pt}\end{center}

%--- EXERCICE 2 ---
\section{Géométrie dans l'espace (3 points)}
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les deux points $A(-1, 0, -1)$ et $B(1, 2, -1)$, le plan $(P)$ passant par $A$ et de vecteur normal $\vec{n}(2, -2, 1)$ et la sphère $(S)$ de centre $\Omega(2, -1, 0)$ et de rayon $5$.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Montrer que $2x - 2y + z + 3 = 0$ est une équation cartésienne du plan $(P)$. \points{0.5 pt}
    \item Déterminer une équation cartésienne de la sphère $(S)$. \points{0.25 pt}
    \item \begin{enumerate}[label=\alph*)]
        \item Vérifier que la distance du point $\Omega$ au plan $(P)$ est $d(\Omega, (P)) = 3$. \points{0.5 pt}
        \item En déduire que le plan $(P)$ coupe la sphère $(S)$ suivant un cercle $(\Gamma)$ de rayon à déterminer. \points{0.5 pt}
    \end{enumerate}
    \item \begin{enumerate}[label=\alph*)]
        \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(\Delta)$ passant par $\Omega$ et perpendiculaire au plan $(P)$. \points{0.5 pt}
        \item Montrer que le point $H(0, 1, -1)$ est le centre du cercle $(\Gamma)$. \points{0.5 pt}
        \item Montrer que la droite $(\Delta)$ est une médiatrice du segment $[AB]$. \points{0.5 pt}
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\rule{0.5\linewidth}{0.5pt}\end{center}

%--- EXERCICE 3 ---
\section{Nombres complexes (4 points)}
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$, on considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $a = \sqrt{3}(1 - i)$ et $b = 2 + \sqrt{3} + i$.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Vérifier que $|a| = \sqrt{6}$ et que $\arg(a) \equiv -\frac{\pi}{4} \ [2\pi]$. \points{0.75 pt}
    \item \begin{enumerate}[label=\alph*)]
        \item Montrer que $\frac{b}{a} = \frac{3+\sqrt{3}}{6} + \left(\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right)i$ puis vérifier que $\frac{b}{a} = \frac{3+\sqrt{3}}{3} e^{i\frac{\pi}{3}}$. \points{0.75 pt}
        \item En déduire une forme trigonométrique du complexe $b$ puis vérifier que $b^{24}$ est un nombre réel. \points{0.5 pt}
    \end{enumerate}
    \item Soit $R$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi}{6}$, qui transforme chaque point $M$ du plan d'affixe $z$ en un point $M'$ d'affixe $z'$. On pose $R(B) = B'$, $R(A) = A'$ et $R(A') = A''$.
    \begin{enumerate}[label=\alph*)]
        \item Vérifier que $z' = \frac{1}{2}(\sqrt{3} + i)z$ et que $\arg(a') \equiv -\frac{\pi}{12} \ [2\pi]$ où $a'$ est l'affixe du point $A'$. \points{0.5 pt}
        \item Montrer que l'affixe du point $A''$ est $a'' = \sqrt{6} e^{i\frac{\pi}{12}}$ et en déduire que les points $O$, $A''$ et $B$ sont alignés. \points{0.5 pt}
        \item Montrer que $b'$, l'affixe du point $B'$, vérifie $b' = \left(\frac{3+\sqrt{3}}{3}\right)\overline{a}$. \points{0.5 pt}
        \item En déduire que le triangle $OAB'$ est rectangle en $O$. \points{0.5 pt}
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\rule{0.5\linewidth}{0.5pt}\end{center}

%--- EXERCICE 4 ---
\section{Calcul des probabilités (2 points)}
Une urne contient sept boules : quatre boules portant le numéro $1$, deux boules portant le numéro $2$ et une boule portant le numéro $3$. Toutes les boules sont indiscernables au toucher. On tire simultanément au hasard deux boules de cette urne.

\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Montrer que $p(A) = \frac{1}{3}$, où $A$ est l'événement \og les deux boules tirées portent le même numéro \fg. \points{0.5 pt}
    \item Montrer que $p(B) = \frac{5}{21}$, où $B$ est l'événement \og la somme des numéros des boules tirées est $4$ \fg. \points{0.5 pt}
    \item Calculer $p(A \cap B)$. \points{0.5 pt}
    \item Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifier. \points{0.5 pt}
\end{enumerate}

\begin{center}\rule{0.5\linewidth}{0.5pt}\end{center}

%--- PROBLEME ---
\section{Étude de fonctions numériques et calcul intégral (8 points)}

\textbf{Partie I :} \\
On considère les deux fonctions $u$ et $v$ définies sur $\mathbb{R}$ par : $u(x) = e^x$ et $v(x) = x$.
\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item Tracer dans un même repère orthonormé les courbes $(\mathcal{C}_u)$ et $(\mathcal{C}_v)$ des fonctions $u$ et $v$. \points{0.5 pt}
    \item Justifier graphiquement que $e^x - x > 0$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$. \points{0.25 pt}
    \item Calculer l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe $(\mathcal{C}_u)$, la courbe $(\mathcal{C}_v)$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$. \points{0.5 pt}
\end{enumerate}

\textbf{Partie II :} \\
On considère la fonction numérique $f$ définie par : $f(x) = x + 1 - \ln(e^x - x)$.
\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
    \item \begin{enumerate}[label=\alph*)]
        \item Vérifier que $f$ est définie sur $\mathbb{R}$. \points{0.25 pt}
        \item Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f(x) = 1 - \ln(1 - xe^{-x})$. \points{0.5 pt}
        \item En déduire que $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1$, puis interpréter géométriquement ce résultat. \points{0.5 pt}
    \end{enumerate}
    \item \begin{enumerate}[label=\alph*)]
        \item Calculer $\lim_{x \to -\infty} f(x)$. \points{0.25 pt}
        \item Vérifier que pour tout $x < 0$, $f(x) = x + 1 - \ln(-x) - \ln\left(1 - \frac{1}{xe^{-x}}\right)$. \points{0.5 pt}
        \item Calculer $\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x}$, puis en déduire que la courbe $(\mathcal{C}_f)$ admet une branche parabolique de direction la droite d'équation $y = x$ au voisinage de $-\infty$. \points{0.75 pt}
    \end{enumerate}
    \item \begin{enumerate}[label=\alph*)]
        \item Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $f'(x) = \frac{1-x}{e^x - x}$. \points{0.5 pt}
        \item Étudier le signe de la fonction dérivée de $f$, puis déduire le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$. \points{0.5 pt}
        \item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique dans l'intervalle $]-1, 0[$. \points{0.75 pt}
    \end{enumerate}
    \item La courbe $(\mathcal{C}_f)$ est la représentation graphique de $f$ dans un repère orthonormé.
    \begin{enumerate}[label=\alph*)]
        \item Justifier graphiquement que l'équation $f(x) = x$ admet deux solutions $\alpha$ et $\beta$. \points{0.5 pt}
        \item Montrer que : $e^{\alpha} - e^{\beta} = \alpha - \beta$. \points{0.5 pt}
    \end{enumerate}
    \item Soit $g$ la restriction de la fonction $f$ sur l'intervalle $I = ]-\infty, 1]$.
    \begin{enumerate}[label=\alph*)]
        \item Montrer que $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ que l'on déterminera. \textit{(Il n'est pas demandé de déterminer $g^{-1}(x)$)}. \points{0.5 pt}
        \item Vérifier que $g^{-1}$ est dérivable en $1$ et calculer $(g^{-1})'(1)$. \points{0.75 pt}
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{multicols}
\end{document}