\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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\begin{document}
 \begin{entete}{\large {\textcolor{white}{  \ding{118}\ding{118}\ding{118} Révision bac sc 2024 \ding{118}\ding{118}\ding{118}}}, lifted shadow={1mm}{-3mm}{5mm}{0.1mm}%
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 \begin{center}
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 \end{center}
 \end{entete}
 \vskip0.5cm
 \begin{exo}
 Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé $(O, \vec{u}, \vec{v})$, on considère les points $A(1)$ et $B(i)$.
 A tout point $M$ d'affixe $z \neq i$ on associe le point $M^{\prime}$ d'affixe $z^{\prime}=\frac{z-i}{\bar{z}+i}$. Soit la droite $D: y=1$
 \begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
 \item Déterminer la position de $M^{\prime}$ lorsque $M$ est un point de la droite $D$ privé de $B$.
 \item  Montrer que si $z=1+i-e^{i \theta}$ alors $z^{\prime}=-e^{i \theta}$.
 \end{enumerate}
 \item  Déterminer et construire l'ensemble des points $M(z)$ tel que $\arg \left(z^{\prime}\right) \equiv \frac{\pi}{3}[2 \pi]$
 \item \begin{enumerate}
 \item  Montrer que pour tout $z \neq i$ on a : $z^{\prime} \overline{z^{\prime}}=1$. Interpréter géométriquement le résultat obtenu.
 \item Montrer que pour tout $M \notin D$ on a : $\left(A M^{\prime}\right) \perp(B M)$.
 \item Construire le point $M^{\prime}$ dans le repère $(0, \vec{u}, \vec{v})$, pour un point donné $M$.
 \end{enumerate}
 \end{enumerate}
 \end{exo}
 \begin{exo}
 Dans le plan complexe $P$ rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$, on considère les points $A, B$ et $D$ d'affixes respectives $a=-i, b=3 i$ et $d=-2+i$
 \textbf{I-} $\quad$ \begin{enumerate}
 \item  Placer les points $A, B$ et $D$ dans le repère $(O, \vec{u}, \vec{v})$.
 \item  \begin{enumerate}
 \item Ecrire $\frac{d-a}{d-b}$ sous forme algébrique.
 \item Déduire que $A B D$ est un triangle rectangle et isocèle en $D$.
 \item Déterminer l'affixe $c$ du point $C$ tel que $A C B D$ soit un carré.
 \end{enumerate}
 \end{enumerate}
 \textbf{II-} A tout point $M$ distinct de $B$ d'affixe $z$, on associe le point $M^{\prime}$ d'affixe $z^{\prime}$ définie par : $z^{\prime}=\frac{i z-1}{z-3 i}$
 \begin{enumerate}
 \item  Déterminer l'ensemble des points $M$ tel que $z^{\prime}$ est imaginaire.
 \item \begin{enumerate}
 \item  Montrer que $\left|z^{\prime}\right|=\frac{M A}{M B}$
 \item  En déduire que si $M$ appartient à la médiatrice du segment $[A B]$ alors le point $M^{\prime}$ appartient à un cercle que l'on déterminera.
 \end{enumerate}
 \item  Soit $I$ le milieu du segment $[A B]$ d'affixe $z_I$.
 \begin{enumerate}
 \item Vérifier que $z^{\prime}-z_I=\frac{-4}{z-b}$.
 \item En déduire que $\left(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{I M^{\prime}}\right) \equiv \pi-(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{B M})[2 \pi]$.
 \item Déterminer l'ensemble des points $M^{\prime}$ lorsque $M$ décrit la demi droite $[B, \vec{u})$ privé de $B$.
 \end{enumerate}
 \end{enumerate}
 \end{exo}
 \begin{exo}
 Soit l'équation différentielle $(E): y^{\prime}+2 y=5 \cos x$
 \begin{enumerate}
 \item  Résoudre l'équation différentielle $\left(E^{\prime}\right): {y}^{\prime}+2 \boldsymbol{y}=0$.
 \item   Soit dans $\mathbb{R}$ la fonction $g(x)=a \cos x+b \sin x$. Déterminer les réels $a$ et $b$ pour que $g$ soit une solution de l'équation $(E)$.
 \item Montrer que $f$ est une solution de $(E)$ si et seulement si $(f-g)$ est une solution de $\left(E^{\prime}\right)$.
 \item En déduire les solutions de $(E)$.
 \end{enumerate}
 \end{exo}
 \begin{exo}
 On considère la suite de nombres réels $\left(u_n\right)$ définie sur $\mathbb{N}$ par : $\left\{\begin{array}{l}u_0=2 \\ u_{n+1}=\frac{1+u_n^2}{2 u_n}\end{array}\right.$
 \begin{enumerate}
 \item\begin{enumerate}
 \item  Montrer par récurrence, que pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a $u_n \geq 1$
 \item  Montrer que la suite $u$ est décroissante
 \item En déduire que pour tout $n \in \mathbb{N}$ on a $u_n \leq 2$
 \item Montrer que la suite $u$ est convergente et calculer sa limite $\ell$
 \end{enumerate}
 \item  \begin{enumerate}
 \item Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a $u_{n-1}-1 \leq \frac{1}{2}\left(u_n-1\right)$
 \item En déduire par récurrence, que pour tout $\mathrm{n} \in \mathbb{N}, \mathrm{u}_{\mathrm{n}}-1 \leq\left(\frac{1}{2}\right)^{\mathrm{n}}$
 \item Retrouver alors la limite $\boldsymbol{\ell}$ de la suite u
 \end{enumerate}
 \item On définit la suite $\left(v_n\right)_{n\geq0}$ en posant, pour tout entier naturel $n$ : $v_n=\frac{1}{u_n}$.
 Montrer que les deux suites $u$ et $v$ sont adjacentes
 \item Pour tout entier naturel $n$, on pose : $S_n=\sum_{k=0}^{k=n} u_k=u_0+u_1+\cdots \cdots \cdots u_{n-1}+u_n$.
 \begin{enumerate}
 \item Montrer que pour tout $n$ de $\mathbb{N}: n+1 \leq S_n \leq n+3-\frac{1}{2^n}$.
 \item Calculer $\lim _{n \rightarrow+\infty} S_n$ et $\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{S_n}{n}$
 \end{enumerate}
 \item  Pour tout entier naturel $n$, on pose : $T_n=\sum_{k=0}^{k=n} v_k=v_0+v_1+\cdots \cdots \cdots \cdot v_{n-1}+v_n$.
 \begin{enumerate}
 \item Vérifier que $u_n+v_n=2 u_{n+1}$
 \item En déduire que $T_n=S_n+2 u_{n+1}-4$
 \end{enumerate}
 \end{enumerate}
 \end{exo}
\end{document}