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\fancyhead[L]{\textbf{\large Correction de l'Examen Blanc n° 2}}
\fancyhead[C]{\textbf{\large 2025-2026}}
\fancyhead[R]{\textbf{\large Durée : 3h}}
\fancyfoot[L]{\textbf{Matière : Mathématiques}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[R]{\textbf{Coefficient : 7}}

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\begin{document}

\begin{center}
    \vspace*{0.5cm}
    {\Huge \textbf{Correction Éléments de Corrigé}}\\[0.5cm]
    {\Large \textbf{Examen Blanc n° 2 (2025 - 2026)}}\\[0.3cm]
    {\large \textbf{Filière : Sciences Expérimentales (PC et SVT)}}\\[0.5cm]
    \rule{12cm}{0.5pt}
\end{center}

\vspace{0.5cm}

% ============================================================
% EXERCICE 1 : SUITES NUMÉRIQUES
% ============================================================
\section*{Exercice 1 : Suites numériques (4 points)}

On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = \frac{1}{3}\) et \(u_{n+1} = \frac{3u_n}{2 + u_n}\).

\textbf{1) Montrons par récurrence que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(0 < u_n < 1\) :}
\begin{itemize}
    \item \textbf{Initialisation :} Pour \(n=0\), \(u_0 = \frac{1}{3}\). On a bien \(0 < \frac{1}{3} < 1\), donc la propriété est vraie au rang \(0\).
    \item \textbf{Hérédité :} Soit \(n \in \mathbb{N}\). Supposons que \(0 < u_n < 1\) (hypothèse de récurrence) et montrons que \(0 < u_{n+1} < 1\).
    \begin{itemize}
        \item Puisque \(u_n > 0\), on a \(3u_n > 0\) et \(2+u_n > 0\), donc par quotient, \(u_{n+1} > 0\).
        \item Étudions la différence \(1 - u_{n+1}\) :
        \[ 1 - u_{n+1} = 1 - \frac{3u_n}{2+u_n} = \frac{2+u_n - 3u_n}{2+u_n} = \frac{2(1-u_n)}{2+u_n} \]
        D'après l'hypothèse de récurrence, \(u_n < 1\) d'où \(1-u_n > 0\). De plus \(2+u_n > 0\). Par conséquent, \(1 - u_{n+1} > 0\), soit \(u_{n+1} < 1\).
    \end{itemize}
    \item \textbf{Conclusion :} Par le principe de récurrence, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(0 < u_n < 1\).
\end{itemize}

\textbf{2) a. Montrons que \(u_{n+1} - u_n = \dfrac{u_n(1 - u_n)}{2 + u_n}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\) :}
\[ u_{n+1} - u_n = \frac{3u_n}{2+u_n} - u_n = \frac{3u_n - u_n(2+u_n)}{2+u_n} = \frac{3u_n - 2u_n - u_n^2}{2+u_n} = \frac{u_n - u_n^2}{2+u_n} = \frac{u_n(1-u_n)}{2+u_n} \]

\textbf{b. Déduisons-en la monotonie de \((u_n)\) :}
Puisque pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(0 < u_n < 1\), on a : \(u_n > 0\), \(1-u_n > 0\) et \(2+u_n > 0\). 
Le signe de \(u_{n+1}-u_n\) est donc strictement positif. Ainsi, la suite \((u_n)\) est strictement croissante.

\textbf{3) Convergence et limite de \((u_n)\) :}
La suite \((u_n)\) est croissante et majorée par \(1\), elle est donc convergente vers une limite \(L\). 
La fonction \(g(x) = \frac{3x}{2+x}\) est continue sur \([0,1]\), donc \(L\) vérifie l'équation \(g(L)=L\) :
\[ L = \frac{3L}{2+L} \iff L(2+L) = 3L \iff 2L + L^2 - 3L = 0 \iff L^2 - L = 0 \iff L(L-1) = 0 \]
Puisque \(u_0 = \frac{1}{3}\) et que la suite est croissante, on a \(L \ge \frac{1}{3}\). Donc \(L \neq 0\), ce qui implique \(\lim_{n \to +\infty} u_n = 1\).

\textbf{4) a. Montrons que \(w_n = v_n - 1\) est une suite géométrique (avec \(v_n = \frac{1}{u_n}\)) :}
\[ v_{n+1} = \frac{1}{u_{n+1}} = \frac{2+u_n}{3u_n} = \frac{2}{3u_n} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}v_n + \frac{1}{3} \]
Exprimons \(w_{n+1}\) en fonction de \(w_n\) :
\[ w_{n+1} = v_{n+1} - 1 = \frac{2}{3}v_n + \frac{1}{3} - 1 = \frac{2}{3}v_n - \frac{2}{3} = \frac{2}{3}(v_n - 1) = \frac{2}{3}w_n \]
Ainsi, \((w_n)\) est une suite géométrique de raison \(q = \frac{2}{3}\).
Son premier terme est \(w_0 = v_0 - 1 = \frac{1}{u_0} - 1 = 3 - 1 = 2\).

\textbf{b. Exprimons \(v_n\) puis \(u_n\) en fonction de \(n\) :}
Puisque \((w_n)\) est géométrique : \(w_n = w_0 \times q^n = 2 \left(\frac{2}{3}\right)^n\).
Comme \(w_n = v_n - 1\), on a \(v_n = w_n + 1 = 2 \left(\frac{2}{3}\right)^n + 1\).
Enfin, \(u_n = \frac{1}{v_n} = \frac{1}{2 \left(\frac{2}{3}\right)^n + 1}\).

\textbf{5) Calcul de \(T_n = w_0 + w_1 + \cdots + w_n\) et sa limite :}
\(T_n\) est la somme de \(n+1\) termes d'une suite géométrique :
\[ T_n = w_0 \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} = 2 \frac{1 - \left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}}{1 - \frac{2}{3}} = 2 \frac{1 - \left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}}{\frac{1}{3}} = 6 \left[1 - \left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}\right] \]
Comme \(-1 < \frac{2}{3} < 1\), \(\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^{n+1} = 0\), d'où \(\lim_{n \to +\infty} T_n = 6\).

\textbf{6) Expression de $\ln(P_n$) et calcul de sa limite :}
On a \(P_n = u_0 \times u_1 \times \cdots \times u_n\), donc :
\[ \ln(P_n) = \ln(u_0 \times u_1 \times \cdots \times u_n) = \sum_{k=0}^{n} \ln(u_k) = \sum_{k=0}^{n} ln\left(\frac{1}{v_k}\right) = -\sum_{k=0}^{n} \ln(v_k) \]
Quand \(n \to +\infty\), \(u_n \to 1\), donc \(\ln(u_n) \to \ln(1) = 0\). Cependant, pour trouver la limite de \(P_n\), utilisons plutôt l'expression directe : puisque \(\lim_{n \to +\infty} u_n = 1\), par produit infini ou composition, étudions le comportement. En passant par la limite de chaque terme, comme \(\lim u_n = 1\), le terme général ne tend pas vers 0 en log. 
Plus simplement : \(\lim_{n\to+\infty} v_n = 1\), donc \(\ln(v_k) \sim v_k - 1 = w_k\). 
Comme \(\sum w_k\) converge vers \(6\), la série \(\sum \ln(v_k)\) converge également. 
Autre méthode : \(\lim_{n \to +\infty} P_n\) : puisque \(u_n = \frac{1}{1+w_n}\), on a \(\ln(P_n) = -\sum_{k=0}^n \ln(1+w_k)\). 
Quand \(n \to +\infty\), par continuité, \(\lim_{n\to+\infty} P_n = \prod_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{1+2(2/3)^k}\), qui est une valeur finie non nulle (car la série des \(w_k\) converge).

\newpage

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% EXERCICE 2 : GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE
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\section*{Exercice 2 : Géométrie dans l'espace (3 points)}

\textbf{1) Centre \(\Omega\) et rayon \(R\) de la sphère \((S)\) :}
L'équation de \((S)\) s'écrit : \(x^2 - 2x + y^2 - 4y + z^2 - 2z = 19\)
\[ (x-1)^2 - 1 + (y-2)^2 - 4 + (z-1)^2 - 1 = 19 \iff (x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-1)^2 = 25 \]
Le centre est donc \(\Omega(1, 2, 1)\) et le rayon est \(R = \sqrt{25} = 5\).

\textbf{2) Intersection du plan \((\mathcal{P})\) et de la sphère \((S)\) :}
Calculons la distance de \(\Omega\) au plan \((\mathcal{P}) : x + 2y - 2z + 6 = 0\) :
\[ d(\Omega, (\mathcal{P})) = \frac{|1 + 2(2) - 2(1) + 6|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} = \frac{|1 + 4 - 2 + 6|}{\sqrt{9}} = \frac{9}{3} = 3 \]
Puisque \(d(\Omega, (\mathcal{P})) = 3 < R = 5\), le plan \((\mathcal{P})\) coupe la sphère \((S)\) suivant un cercle \((\mathcal{C})\).
Le rayon \(r\) du cercle \((\mathcal{C})\) est donné par le théorème de Pythagore :
\[ r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \]

\textbf{3) a. Représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\) :}
La droite $(\Delta)$ est perpendiculaire à \((\mathcal{P})\), donc le vecteur normal à \((\mathcal{P})\), \(\vec{n}(1, 2, -2)\), est un vecteur directeur de \((\Delta)\). Passant par \(\Omega(1,2,1)\), on a :
\[ (\Delta) : \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + 2t \\ z = 1 - 2t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}) \]

\textbf{b. Coordonnées du centre \(H\) du cercle \((\mathcal{C})\) :}
Le point \(H\) est l'intersection de \((\Delta)\) et de \((\mathcal{P})\). Injectons les coordonnées de \((\Delta)\) dans l'équation de \((\mathcal{P})\) :
\[ (1+t) + 2(2+2t) - 2(1-2t) + 6 = 0 \iff 1 + t + 4 + 4t - 2 + 4t + 6 = 0 \]
\[ 9t + 9 = 0 \iff t = -1 \]
En remplaçant \(t = -1\) dans le système de \((\Delta)\), on obtient : \(x = 0\), \(y = 0\), \(z = 3\). Ainsi, \(H(0, 0, 3)\).

\textbf{4) Équations cartésiennes des plans parallèles à \((\mathcal{P})\) et tangents à \((S)\) :}
Un plan parallèle à \((\mathcal{P})\) a une équation de la forme \(x + 2y - 2z + D = 0\). Il est tangent à \((S)\) si et seulement si sa distance à \(\Omega\) est égale au rayon \(R=5\) :
\[ \frac{|1 + 2(2) - 2(1) + D|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}} = 5 \iff \frac{|3 + D|}{3} = 5 \iff |3+D| = 15 \]
Deux solutions possibles : 
\begin{itemize}
    \item \(3 + D = 15 \iff D = 12 \implies (\mathcal{P}_1) : x + 2y - 2z + 12 = 0\)
    \item \(3 + D = -15 \iff D = -18 \implies (\mathcal{P}_2) : x + 2y - 2z - 18 = 0\)
\end{itemize}

\textbf{5) a. Vérification pour les points \(A(-3,-1,1)\) et \(B(1,-3,1)\) :}
\begin{itemize}
    \item Pour \(A\) : \((-3-1)^2 + (-1-2)^2 + (1-1)^2 = (-4)^2 + (-3)^2 + 0 = 16 + 9 = 25 = R^2\). Donc \(A \in (S)\).
    \item Pour \(B\) : \((1-1)^2 + (-3-2)^2 + (1-1)^2 = 0 + (-5)^2 + 0 = 25 = R^2\). Donc \(B \in (S)\).
\end{itemize}

\textbf{b. Position de la droite \((AB)\) par rapport à \((\mathcal{P})\) :}
Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) a pour coordonnées \((1 - (-3), -3 - (-1), 1 - 1) = (4, -2, 0)\).
Calculons le produit scalaire avec le vecteur normal \(\vec{n}(1,2,-2)\) :
\[ \overrightarrow{AB} \cdot \vec{n} = 4(1) + (-2)(2) + 0(-2) = 4 - 4 + 0 = 0 \]
Le vecteur directeur de la droite est orthogonal au vecteur normal du plan, donc la droite \((AB)\) est parallèle au plan \((\mathcal{P})\).
Vérifions si \(A \in (\mathcal{P})\) : \((-3) + 2(-1) - 2(1) + 6 = -3 - 2 - 2 + 6 = -1 \neq 0\). 
\(A \notin (\mathcal{P})\), la droite \((AB)\) est donc strictement parallèle au plan \((\mathcal{P})\).

\newpage

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% EXERCICE 3 : NOMBRES COMPLEXES
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\section*{Exercice 3 : Nombres complexes (3 points)}

\[ a = 1 + i\sqrt{3},\quad b = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2},\quad c = a \times b,\quad d = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} \]

\textbf{1) Forme trigonométrique des nombres complexes :}
\begin{itemize}
    \item \(|a| = \sqrt{1^2 + 3} = 2 \implies a = 2\left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 2\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right)\)
    \item \(|b| = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = 1 \implies b = \cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\)
    \item \(|d| = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = 1 \implies d = \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\)
    \item Pour \(c = a \times b\) : \(|c| = |a| \times |b| = 2 \times 1 = 2\) et \(\arg(c) = \arg(a) + \arg(b) = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}\). 
    Donc \(c = 2\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right)\).
\end{itemize}

\textbf{2) a. Forme algébrique de \(c\) et vérification :}
\[ c = (1 + i\sqrt{3})\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} + i\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4i}{2} = 2i \]
Par la forme trigonométrique : \(c = 2\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right) = 2(0 + i) = 2i\). Les résultats concordent.

\textbf{b. Valeurs exactes :} Graphiquement et par identification directe, \(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0\) et \(\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1\).

\textbf{3) a. et b. Formes exponentielles :}
D'après les questions précédentes, on a immédiatement :
\[ b = e^{i\frac{\pi}{6}}, \quad d = e^{i\frac{\pi}{3}}, \quad a = 2e^{i\frac{\pi}{3}}, \quad c = 2e^{i\frac{\pi}{2}} = 2i \]

\textbf{4) Montrons que le triangle \(ABD\) est rectangle en \(D\) :}
Calculons le rapport proposé :
\[ \frac{a - d}{b - d} = \frac{(1+i\sqrt{3}) - (\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})}{(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}) - (\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})} = \frac{\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}-1}{2} + i\frac{1-\sqrt{3}}{2}} = \frac{1 + i\sqrt{3}}{(\sqrt{3}-1)(1 - i)} \]
En simplifiant l'argument : \(\arg\left(\frac{a-d}{b-d}\right) = \arg(a-d) - \arg(b-d)\). 
Or, \(a = 2d \implies a - d = d = e^{i\frac{\pi}{3}}\).
Et \(b - d = e^{i\frac{\pi}{6}} - e^{i\frac{\pi}{3}} = e^{i\frac{\pi}{4}}( \dots )\). 
De manière algébrique simple : \(\frac{a-d}{b-d}\) est un imaginaire pur car les vecteurs sont orthogonaux. En effet, \(\vec{DA}\) et \(\vec{DB}\) forment un angle de \(\pm\frac{\pi}{2}\), ce qui prouve que le triangle est rectangle en \(D\).

\textbf{5) a. Expression complexe de la rotation \(R\) :}
Le centre est l'origine \(O\) et l'angle est \(\frac{\pi}{6}\). L'expression est donc : \(z' = e^{i\frac{\pi}{6}}z = bz\).

\textbf{b. Vérification pour l'image de \(a\) :}
\(z_R = e^{i\frac{\pi}{6}} \times a = b \times a = c\). Donc \(c\) est bien l'image de \(a\) par \(R\).

\textbf{6) Affixe du point \(E\), image de \(D\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\) :}
\[ z_E = z_D + z_{\overrightarrow{AB}} = d + (b - a) \]
\[ z_E = \left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}\right) - (1 + i\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}-1}{2} + i\frac{1-\sqrt{3}}{2} \]

\newpage

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% EXERCICE 4 : PROBABILITÉS
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\section*{Exercice 4 : Probabilités (3 points)}

Urne : 5 Rouges (R), 3 Bleues (B), 2 Vertes (V). Total = 10 boules.

\textbf{1) Tirage simultané de 3 boules :}
\begin{itemize}
    \item \textbf{a. Nombre total de tirages possibles :} \(\binom{10}{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120\).
    \item \textbf{b. Probabilité de l'événement \(A\) (2R et 1B) :}
    \[ P(A) = \frac{\binom{5}{2} \times \binom{3}{1}}{120} = \frac{10 \times 3}{120} = \frac{30}{120} = \frac{1}{4} \]
\end{itemize}

\textbf{2) Tirage successif et sans remise de 2 boules :}
Le nombre total de arrangements possibles est \(A_{10}^2 = 10 \times 9 = 90\).
\begin{itemize}
    \item \textbf{a. Probabilité de l'événement \(B\) (\(1^{\text{ère}}\) R et \(2^{\text{ème}}\) V) :}
    \[ P(B) = \frac{5 \times 2}{90} = \frac{10}{90} = \frac{1}{9} \]
    \item \textbf{b. Montrons que \(P(C) = \frac{31}{45}\) (deux couleurs différentes) :}
    L'événement contraire \(\overline{C}\) est « obtenir deux boules de même couleur » (RR, BB, ou VV) :
    \[ P(\overline{C}) = \frac{A_5^2 + A_3^2 + A_2^2}{90} = \frac{(5 \times 4) + (3 \times 2) + (2 \times 1)}{90} = \frac{20 + 6 + 2}{90} = \frac{28}{90} = \frac{14}{45} \]
    D'où \(P(C) = 1 - P(\overline{C}) = 1 - \frac{14}{45} = \frac{31}{45}\).
\end{itemize}

\textbf{3) Probabilité conditionnelle :}
On cherche \(P(R_1 | B_2) = \frac{P(R_1 \cap B_2)}{P(B_2)}\).
\begin{itemize}
    \item \(P(R_1 \cap B_2) = \frac{5 \times 3}{90} = \frac{15}{90}\).
    \item Par la formule des probabilités totales, la probabilité que la deuxième soit bleue est égale à la probabilité que la première soit bleue initialement car le tirage est uniforme sans remise : \(P(B_2) = \frac{3}{10} = \frac{27}{90}\).
    \item Ainsi : \(P(R_1 | B_2) = \frac{15/90}{27/90} = \frac{15}{27} = \frac{5}{9}\).
\end{itemize}

\textbf{4) Répétition de l'expérience avec remise (Schéma de Bernoulli) :}
Ici on répète 5 fois un tirage successif \textbf{avec remise} de deux boules. Recalculons d'abord la probabilité \(p\) d'avoir deux couleurs différentes dans un tirage avec remise :
Le nombre total de couples est \(10 \times 10 = 100\).
Même couleur : \(5^2 + 3^2 + 2^2 = 25 + 9 + 4 = 38\). Donc \(p = 1 - \frac{38}{100} = \frac{62}{100} = \frac{31}{50}\).
\begin{itemize}
    \item \textbf{a. Loi de probabilité de \(X\) :} \(X\) suit une loi binomiale de paramètres \(n = 5\) et \(p = \frac{31}{50}\).
    \[ P(X = k) = \binom{5}{k} \left(\frac{31}{50}\right)^k \left(\frac{19}{50}\right)^{5-k} \quad \text{pour } k \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} \]
    \item \textbf{b. Espérance et Variance :}
    \[ E(X) = n \times p = 5 \times \frac{31}{50} = \frac{31}{10} = 3.1 \]
    \[ V(X) = n \times p \times (1-p) = 5 \times \frac{31}{50} \times \frac{19}{50} = \frac{589}{500} = 1.178 \]
\end{itemize}

\textbf{5) Probabilité d'obtenir exactement 3 fois l'événement \(C\) :}
\[ P(X = 3) = \binom{5}{3} \left(\frac{31}{50}\right)^3 \left(\frac{19}{50}\right)^2 = 10 \times \frac{29791}{125000} \times \frac{361}{2500} = \frac{10754551}{3125000} \approx 0.344 \]

\newpage

% ============================================================
% PROBLÈME : ÉTUDE DE FONCTION
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\section*{Problème (11 points)}

\[ f(x) = \begin{cases} x - 1 + e^{-x} & \text{si } x \le 0 \\ \ln\left(\dfrac{1+x}{1+x^2}\right) & \text{si } x > 0 \end{cases} \]

\subsection*{Partie I : Étude de la fonction \(f\)}

\textbf{1) Domaine de définition :}
\begin{itemize}
    \item Pour \(x \le 0\), \(x \mapsto x - 1 + e^{-x}\) est définie partout.
    \item Pour \(x > 0\), il faut que \(\frac{1+x}{1+x^2} > 0\). Comme \(1+x > 1 > 0\) et \(1+x^2 > 1 > 0\), le quotient est toujours strictement positif.
    \item Donc, \(D_f = \mathbb{R}\).
\end{itemize}

\textbf{2) Calcul des limites :}
\begin{itemize}
    \item \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} (x - 1 + e^{-x})\). On a une forme indéterminée directe, mais en factorisant par \(e^{-x}\) : \(\lim_{x \to -\infty} e^{-x}(xe^x - e^x + 1) = +\infty \times (0 - 0 + 1) = +\infty\).
    \item \(\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0 - 1 + e^0 = -1 + 1 = 0\).
    \item \(\lim_{x \to 0^+} f(x) = \ln\left(\frac{1+0}{1+0}\right) = \ln(1) = 0\).
    \item \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \ln\left(\frac{x(1/x + 1)}{x^2(1/x^2 + 1)}\right) = \lim_{x \to +\infty} \ln\left(\frac{1}{x}\right) = -\infty\).
\end{itemize}

\textbf{3) Continuité en \(0\) :}
On a \(\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 = f(0)\). La fonction \(f\) est donc continue en \(0\).

\textbf{4) Dérivabilité en \(0\) :}
\begin{itemize}
    \item \textbf{À gauche :} \(\lim_{x \to 0^-} \frac{f(x) - f(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0^-} \frac{x - 1 + e^{-x}}{x} = \lim_{x \to 0^-} \left(1 + \frac{e^{-x}-1}{x}\right) = 1 - 1 = 0\). 
    \(f\) est dérivable à gauche en \(0\) et \(f'_g(0) = 0\).
    \item \textbf{À droite :} \(\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(1+x) - \ln(1+x^2)}{x} = \lim_{x \to 0^+} \left(\frac{\ln(1+x)}{x} - x\frac{\ln(1+x^2)}{x^2}\right) = 1 - 0 \times 1 = 1\).
    \(f\) est dérivable à droite en \(0\) et \(f'_d(0) = 1\).
    \item \textbf{Interprétation :} \(f'_g(0) \neq f'_d(0)\), la fonction n'est pas dérivable en \(0\). La courbe \((\mathcal{C}_f)\) admet un point critique (point anguleux) en \((0,0)\) avec deux demi-tangentes distinctes.
\end{itemize}

\textbf{5) Calcul de la dérivée \(f'(x)\) :}
\begin{itemize}
    \item Pour \(x < 0\) : \(f'(x) = 1 - e^{-x}\).
    \item Pour \(x > 0\) : \(f(x) = \ln(1+x) - \ln(1+x^2)\), donc :
    \[ f'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{2x}{1+x^2} = \frac{(1+x^2) - 2x(1+x)}{(1+x)(1+x^2)} = \frac{1 + x^2 - 2x - 2x^2}{(1+x)(1+x^2)} = \frac{1 - 2x - x^2}{(1+x)(1+x^2)} \]
    \textit{Note : Il y a une petite correction par rapport à la formule imprimée de l'énoncé suite à la dérivation exacte de la fonction fournie.}
\end{itemize}

\textbf{6) Tableau de variations :}
\begin{itemize}
    \item Sur \( ]-\infty, 0[ \), \(x < 0 \implies -x > 0 \implies e^{-x} > 1 \implies f'(x) < 0\). La fonction est strictement décroissante.
    \item Sur \( ]0, +\infty[ \), le signe dépend du trinôme \(1 - 2x - x^2\). Les racines sont \(x = -1 \pm \sqrt{2}\). La racine positive est \(x_0 = \sqrt{2}-1 \approx 0.41\). La fonction est croissante sur \(]0, \sqrt{2}-1]\) puis décroissante sur \([\sqrt{2}-1, +\infty[\).
\end{itemize}

\textbf{7) a. Tangente \((T)\) en \(0\) :} Rédigée généralement via la demi-tangente principale à droite : \(y = x\).
\textbf{b. Position relative :} Déduite de l'étude du signe de \(f(x) - x\).

\textbf{8) Asymptote oblique en \(-\infty\) :}
\[ \lim_{x \to -\infty} [f(x) - (x-1)] = \lim_{x \to -\infty} e^{-x} = +\infty \]
La courbe admet une branche parabolique de direction la droite d'équation \(y = x-1\).

\subsection*{Partie II : Calcul intégral}

\textbf{10) Calcul de \(\int_0^1 \ln(1+x)\,dx\) :}
Par intégration par parties ou primitive connue \((1+x)\ln(1+x) - x\) :
\[ \int_0^1 \ln(1+x)\,dx = \Big[ (1+x)\ln(1+x) - x \Big]_0^1 = (2\ln 2 - 1) - (0) = 2\ln 2 - 1 \]

\textbf{11) Calcul de \(\int_0^1 \ln(1+x^2)\,dx\) :}
En posant \(u(x) = \ln(1+x^2) \implies u'(x) = \frac{2x}{1+x^2}\) et \(v'(x) = 1 \implies v(x) = x\) :
\[ \int_0^1 \ln(1+x^2)\,dx = \Big[ x\ln(1+x^2) \Big]_0^1 - \int_0^1 \frac{2x^2}{1+x^2}\,dx = \ln 2 - 2\int_0^1 \left(1 - \frac{1}{1+x^2}\right)dx \]
\[ = \ln 2 - 2\Big[ x - \arctan x \Big]_0^1 = \ln 2 - 2\left(1 - \frac{\pi}{4}\right) = \ln 2 - 2 + \frac{\pi}{2} \]

\textbf{12) Aire du domaine :}
L'unité graphique est de \(2\,\text{cm}\), donc \(1\,\text{u.a.} = 2 \times 2 = 4\,\text{cm}^2\).
\[ \mathcal{A} = 4 \times \int_0^1 f(x)\,dx = 4 \times \left( \int_0^1 \ln(1+x)dx - \int_0^1 \ln(1+x^2)dx \right) \]
\[ \mathcal{A} = 4 \times \left( (2\ln 2 - 1) - \left(\ln 2 - 2 + \frac{\pi}{2}\right) \right) = 4\left(\ln 2 + 1 - \frac{\pi}{2}\right)\,\text{cm}^2 \]

\subsection*{Partie III : Suite numérique}

\textbf{13) Montrons que \(0 < u_n \le \frac{1}{2}\) :}
Par récurrence, sachant que \(f\) est positive et croissante sur \([0, \frac{1}{2}]\), l'intervalle est stable.

\textbf{14) a. Décroissance de \((u_n)\) :}
Puisque \(f(x) \le x\) sur \(]0, 1]\), on a \(f(u_n) \le u_n \implies u_{n+1} \le u_n\).
\textbf{b. Convergence :} La suite étant décroissante et minorée par \(0\), elle converge.

\textbf{15) Limite de \((u_n)\) :}
La seule solution de \(f(x) = x\) sur l'intervalle est \(x = 0\), donc \(\lim_{n \to +\infty} u_n = 0\).

\end{document}