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\fancyhead[L]{\textbf{\large Examen Blanc n° 1}}
\fancyhead[C]{\textbf{\large 2025-2026}}
\fancyhead[R]{\textbf{\large Durée : 3h}}
\fancyfoot[L]{\textbf{Matière : Mathématiques}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[R]{\textbf{Coefficient : 7}}

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\setlength{\parskip}{4pt}

\begin{document}

\begin{center}
    \vspace*{0.5cm}
    {\Huge \textbf{Examen Blanc n° 1}}\\[0.5cm]
    {\Large \textbf{2025 - 2026}}\\[0.3cm]
    {\large \textbf{Matière : Mathématiques}}\\[0.3cm]
    {\large \textbf{Filière : Sciences Expérimentales (PC et SVT)}}\\[0.3cm]
    {\large \textbf{Durée : 3h}}\\[0.3cm]
    {\large \textbf{Coefficient : 7}}\\[0.5cm]
    \rule{12cm}{0.5pt}\\[0.3cm]
    {\small \textit{«~La rigueur et la précision sont les clés de la réussite~»}}
\end{center}

\vspace{0.5cm}

\section*{Instructions Générales}
\begin{itemize}
    \item L'utilisation de la calculatrice non programmable est autorisée.
    \item Le candidat peut traiter les exercices de l'épreuve suivant l'ordre qui lui convient.
    \item L'utilisation de la couleur rouge lors de la rédaction des solutions est à éviter.
\end{itemize}

\vspace{0.3cm}

\section*{Composantes du sujet}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
\textbf{Domaine} & \textbf{Exercice} & \textbf{Barème} \\
\hline
Suites numériques & Exercice 1 & 4 points \\
Géométrie dans l'espace & Exercice 2 & 3 points \\
Nombres complexes & Exercice 3 & 3 points \\
Probabilités & Exercice 4 & 3 points \\
Étude de fonction, calcul intégral et suite & Problème & 11 points \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\newpage

% ============================================================
% EXERCICE 1 : SUITES NUMÉRIQUES
% ============================================================
\section*{\underline{Exercice 1} (4 points)}

On considère la suite numérique \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par :
\[
u_0 = \frac{1}{2} \quad \text{et} \quad \forall n \in \mathbb{N},\; u_{n+1} = \frac{2u_n}{1+u_n}.
\]

\begin{enumerate}[label=\arabic*., leftmargin=*]
    \item[(0.5)] \textbf{1)} Montrer par récurrence que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(0 < u_n < 1\).
    \item[(0.75)] \textbf{2)} 
    \begin{enumerate}[label=\alph*., leftmargin=*]
        \item Montrer que \(u_{n+1} - u_n = \dfrac{u_n(1-u_n)}{1+u_n}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
        \item En déduire que la suite \((u_n)\) est croissante.
    \end{enumerate}
    \item[(0.5)] \textbf{3)} Montrer que la suite \((u_n)\) est convergente et déterminer sa limite.
    %------------------------------------------------------------------
    % CORRECTION ERREUR 1 : (v_n) n'est pas arithmétique mais (v_n - 1)
    % est géométrique de raison 1/2.
    % Ancienne version (FAUSSE) :
    %   4a) Montrer que (v_n) est une suite arithmétique dont on précisera la raison.
    %------------------------------------------------------------------
    \item[(0.75)] \textbf{4)} On considère la suite \((v_n)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par : \(v_n = \dfrac{1}{u_n}\).
    \begin{enumerate}[label=\alph*., leftmargin=*]
        \item Montrer que \((v_n)\) vérifie la relation \(v_{n+1} = \dfrac{v_n + 1}{2}\), puis en déduire que la suite \((w_n)\) définie par \(w_n = v_n - 1\) est une suite géométrique dont on précisera la raison.
        \item Exprimer \(v_n\) puis \(u_n\) en fonction de \(n\).
    \end{enumerate}
    \item[(0.75)] \textbf{5)} Calculer \(S_n = v_0 + v_1 + \cdots + v_n\) en fonction de \(n\), puis déterminer \(\lim\limits_{n \to +\infty} S_n\).
    \item[(0.75)] \textbf{6)} Calculer \(P_n = u_0 \times u_1 \times \cdots \times u_n\) en fonction de \(n\), puis déterminer \(\lim\limits_{n \to +\infty} P_n\).
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

% ============================================================
% EXERCICE 2 : GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE
% ============================================================
\section*{\underline{Exercice 2} (3 points)}

L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\).

On considère la sphère \((S)\) d'équation : \(x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y - 6z + 10 = 0\) et le plan \((\mathcal{P})\) d'équation : \(x + 2y - z + 1 = 0\).

\begin{enumerate}[label=\arabic*., leftmargin=*]
    \item[(0.5)] \textbf{1)} Déterminer le centre \(\Omega\) et le rayon \(R\) de la sphère \((S)\).
    \item[(0.5)] \textbf{2)} Montrer que le plan \((\mathcal{P})\) coupe la sphère \((S)\) suivant un cercle \((\mathcal{C})\). Déterminer le rayon \(r\) du cercle \((\mathcal{C})\).
    \item[(0.75)] \textbf{3)} Soit \((\Delta)\) la droite passant par \(\Omega\) et perpendiculaire au plan \((\mathcal{P})\).
    \begin{enumerate}[label=\alph*., leftmargin=*]
        \item Donner une représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\).
        \item Déterminer les coordonnées du centre \(H\) du cercle \((\mathcal{C})\).
    \end{enumerate}
    \item[(0.5)] \textbf{4)} Donner une équation cartésienne du plan \((\mathcal{Q})\) parallèle à \((\mathcal{P})\) et tangent à la sphère \((S)\).
    %------------------------------------------------------------------
    % CORRECTION ERREUR 2 : A(1,2,1) et B(1,0,3) sont bien sur la sphère,
    % mais la droite (AB) n'est PAS parallèle au plan (P).
    % On remplace 5b par une question correcte : montrer que (AB) est
    % perpendiculaire à l'axe (Oz), ou calculer l'angle de (AB) avec (P).
    % Ici on choisit de remplacer B par B'(1,4,3) de sorte que
    % AB' = (0,2,2) et AB'.n = 0 - 2 + 2 + (-1)*2 ... recalculons.
    % Cherchons B sur la sphère et tel que AB soit // à (P).
    % On a A(1,2,1) sur (S). On cherche B(x,y,z) sur (S) avec AB // (P).
    % AB // (P) <=> AB.n = 0 : (x-1) + 2(y-2) - (z-1) = 0
    %           => x + 2y - z = 4.
    % B sur (S) : (x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=4.
    % Choix simple : x=1 => 2y-z=3 et (y-2)^2+(z-3)^2=4.
    % Posons y=2+t, z=3+s avec 2t-s=0 => s=2t.
    % t^2+4t^2=4 => t=2/sqrt(5). Pas propre.
    % Essayons z=3 => 2y=6 => y=3 => B(1,3,3).
    % Vérification sphère : (0)^2+(1)^2+(0)^2=1 ≠ 4. Non.
    % Essayons y=0 => -z=4-2*0=4 => z=-4. Pas élégant.
    % Meilleure approche : changer (P) ou choisir d'autres points.
    % On garde A(1,2,1) et on remplace B(1,0,3) par B(3,2,3).
    % AB = (2,0,2). AB.n = 2 + 0 - 2 = 0. ✓ parallèle.
    % B sur (S) ? (3-1)^2+(2-2)^2+(3-3)^2 = 4+0+0 = 4. ✓
    % Donc B(3,2,3) convient parfaitement.
    %------------------------------------------------------------------
    \item[(0.75)] \textbf{5)} On considère les points \(A(1,2,1)\) et \(B(3,2,3)\).
    \begin{enumerate}[label=\alph*., leftmargin=*]
        \item Vérifier que les points \(A\) et \(B\) appartiennent à la sphère \((S)\).
        \item Montrer que la droite \((AB)\) est parallèle au plan \((\mathcal{P})\).
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

% ============================================================
% EXERCICE 3 : NOMBRES COMPLEXES
% ============================================================
\section*{\underline{Exercice 3} (3 points)}

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{u}, \vec{v})\), on considère les points \(A, B, C\) et \(D\) d'affixes respectives :
\[
a = 1 + i\sqrt{3},\quad b = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2},\quad c = a \times b,\quad d = \frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac12.
\]

\begin{enumerate}[label=\arabic*., leftmargin=*]
    \item[(0.5)] \textbf{1)} Écrire les nombres complexes \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) sous forme trigonométrique (module et argument).
    \item[(0.5)] \textbf{2)} 
    \begin{enumerate}[label=\alph*., leftmargin=*]
        \item Vérifier que \(c = a \times b\).
        \item En déduire la forme trigonométrique de \(c\).
    \end{enumerate}
    \item[(0.75)] \textbf{3)} 
    \begin{enumerate}[label=\alph*., leftmargin=*]
        \item Montrer que \(d = e^{i\frac{\pi}{6}}\).
        \item Vérifier que \(a = 2d^2\) et que \(b = e^{i\frac{\pi}{3}}\).
    \end{enumerate}
    \item[(0.5)] \textbf{4)} Donner l'écriture exponentielle de \(\dfrac{b-a}{d-a}\) et en déduire la nature du triangle \(ABD\).
    \item[(0.75)] \textbf{5)} Soit \(R\) la rotation de centre \(O\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{3}\).
    \begin{enumerate}[label=\alph*., leftmargin=*]
        \item Déterminer l'expression complexe de \(R\).
        \item Vérifier que \(c\) est l'image de \(a\) par la rotation \(R\).
    \end{enumerate}
    \item[(0.5)] \textbf{6)} Déterminer l'affixe du point \(E\) image du point \(D\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\).
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

% ============================================================
% EXERCICE 4 : PROBABILITÉS
% ============================================================
\section*{\underline{Exercice 4} (3 points)}

Une urne contient 5 boules blanches, 3 boules noires et 2 boules rouges. Toutes les boules sont indiscernables au toucher.

\begin{enumerate}[label=\arabic*., leftmargin=*]
    \item[(0.5)] \textbf{1)} On tire au hasard simultanément 3 boules de l'urne.
    \begin{enumerate}[label=\alph*., leftmargin=*]
        \item Déterminer le nombre total de tirages possibles.
        \item Calculer la probabilité de l'événement \(A\) : « obtenir 2 boules blanches et 1 boule noire ».
    \end{enumerate}
    \item[(0.75)] \textbf{2)} On tire au hasard successivement et sans remise deux boules de l'urne.
    \begin{enumerate}[label=\alph*., leftmargin=*]
        \item Calculer la probabilité de l'événement \(B\) : « la première boule est blanche et la seconde est rouge ».
        \item Montrer que la probabilité de l'événement \(C\) : « obtenir deux boules de couleurs différentes » est \(\dfrac{31}{45}\).
    \end{enumerate}
    \item[(0.5)] \textbf{3)} Sachant que la deuxième boule tirée est rouge, calculer la probabilité que la première boule soit blanche.
    \item[(0.75)] \textbf{4)} On répète l'expérience du tirage successif avec remise de deux boules, 5 fois de suite. Soit \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de fois où l'on obtient deux boules de couleurs différentes.
    \begin{enumerate}[label=\alph*., leftmargin=*]
        \item Déterminer la loi de probabilité de \(X\).
        \item Calculer l'espérance mathématique \(E(X)\) et la variance \(V(X)\).
    \end{enumerate}
    \item[(0.5)] \textbf{5)} Calculer la probabilité d'obtenir exactement 3 fois l'événement \(C\).
\end{enumerate}

\newpage

% ============================================================
% PROBLÈME : ÉTUDE DE FONCTION + CALCUL INTÉGRAL + SUITE
% ============================================================
\section*{\underline{Problème} (11 points)}

On considère la fonction numérique \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[
f(x) = 
\begin{cases}
\dfrac{x}{1 + e^{1/x}} & \text{si } x < 0 \\[1em]
\ln\left(\dfrac{1+x}{1+x^2}\right) & \text{si } x \ge 0
\end{cases}
\]
Soit \((\mathcal{C}_f)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\) d'unité graphique \(2\,\text{cm}\).

\subsection*{Partie I : Étude de la fonction \(f\)}
\begin{enumerate}[label=\arabic*., leftmargin=*]
    \item[(0.5)] \textbf{1)} Déterminer le domaine de définition de \(f\).
    \item[(1)] \textbf{2)} Calculer :
    \begin{enumerate}[label=\alph*., leftmargin=*]
        \item \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)\) et \(\displaystyle \lim_{x \to 0^-} f(x)\).
        \item \(\displaystyle \lim_{x \to 0^+} f(x)\) et \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)\).
    \end{enumerate}
    \item[(0.5)] \textbf{3)} \(f\) est-elle continue en \(0\) ? Justifier.
    \item[(1)] \textbf{4)} Étudier la dérivabilité de \(f\) en \(0\) à gauche et à droite. Interpréter.
    \item[(1)] \textbf{5)} Calculer \(f'(x)\) pour \(x < 0\) et pour \(x > 0\).
    \item[(0.5)] \textbf{6)} Étudier le signe de \(f'(x)\) pour \(x < 0\) et pour \(x > 0\). Dresser le tableau de variations de \(f\).
    \item[(0.75)] \textbf{7)} 
    \begin{enumerate}[label=\alph*., leftmargin=*]
        \item Déterminer l'équation de la tangente \((T)\) à \((\mathcal{C}_f)\) au point d'abscisse \(x=0\).
        \item Étudier la position relative de \((\mathcal{C}_f)\) par rapport à \((T)\) sur \(\mathbb{R}\).
    \end{enumerate}
    \item[(0.75)] \textbf{8)} Calculer \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x}\) et interpréter graphiquement le résultat.
    \item[(0.5)] \textbf{9)} Tracer \((\mathcal{C}_f)\), \((T)\) et la droite asymptotique (unité \(2\,\text{cm}\)).
\end{enumerate}

\subsection*{Partie II : Fonction réciproque et calcul intégral}
\begin{enumerate}[label=\arabic*., leftmargin=*]
    \item[(0.75)] \textbf{10)} Soit \(g\) la restriction de \(f\) à \(I = ]-\infty, 0]\).
    \begin{enumerate}[label=\alph*., leftmargin=*]
        \item Montrer que \(g\) réalise une bijection de \(I\) sur \(J\) (déterminer \(J\)).
        \item Donner le tableau de variations de \(g^{-1}\) sur \(J\).
    \end{enumerate}
    \item[(0.5)] \textbf{11)} Calculer \(\displaystyle \int_0^1 \ln(1+x)\,dx\) et \(\displaystyle \int_0^1 \ln(1+x^2)\,dx\).
    \item[(0.75)] \textbf{12)} En déduire l'aire, en \(\text{cm}^2\), du domaine délimité par \((\mathcal{C}_f)\), l'axe des abscisses et les droites \(x=0\) et \(x=1\).
\end{enumerate}

\subsection*{Partie III : Suite numérique}
\begin{enumerate}[label=\arabic*., leftmargin=*]
    \item[(0.5)] \textbf{13)} Montrer par récurrence que pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(0 \le u_n \le 1\) pour \((u_n)\) définie par \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=f(u_n)\).
    \item[(0.75)] \textbf{14)} 
    \begin{enumerate}[label=\alph*., leftmargin=*]
        \item Montrer que \((u_n)\) est décroissante.
        \item En déduire qu'elle est convergente.
    \end{enumerate}
    \item[(0.5)] \textbf{15)} Déterminer \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty} u_n\).
\end{enumerate}

\end{document}