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\fancyhead[L]{\textbf{\large Examen Blanc n° 2}}
\fancyhead[C]{\textbf{\large 2025-2026}}
\fancyhead[R]{\textbf{\large Durée : 3h}}
\fancyfoot[L]{\textbf{Matière : Mathématiques}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[R]{\textbf{Coefficient : 7}}

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\begin{document}

\begin{center}
    \vspace*{0.5cm}
    {\Huge \textbf{Examen Blanc n° 2}}\\[0.5cm]
    {\Large \textbf{2025 - 2026}}\\[0.3cm]
    {\large \textbf{Matière : Mathématiques}}\\[0.3cm]
    {\large \textbf{Filière : Sciences Expérimentales (PC et SVT)}}\\[0.3cm]
    {\large \textbf{Durée : 3h}}\\[0.3cm]
    {\large \textbf{Coefficient : 7}}\\[0.5cm]
    \rule{12cm}{0.5pt}\\[0.3cm]
    {\small \textit{«~La persévérance est la mère de la réussite~»}}
\end{center}

\vspace{0.5cm}

\section*{Instructions Générales}
\begin{itemize}
    \item L'utilisation de la calculatrice non programmable est autorisée.
    \item Le candidat peut traiter les exercices de l'épreuve suivant l'ordre qui lui convient.
    \item L'utilisation de la couleur rouge lors de la rédaction des solutions est à éviter.
\end{itemize}

\vspace{0.3cm}

\section*{Composantes du sujet}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
\textbf{Domaine} & \textbf{Exercice} & \textbf{Barème} \\
\hline
Suites numériques & Exercice 1 & 4 points \\
Géométrie dans l'espace & Exercice 2 & 3 points \\
Nombres complexes & Exercice 3 & 3 points \\
Probabilités & Exercice 4 & 3 points \\
Étude de fonction, calcul intégral et suite & Problème & 11 points \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\newpage

% ============================================================
% EXERCICE 1 : SUITES NUMÉRIQUES
% (Vérifié : suite géométrique de raison 2/3, croissante vers 1)
% ============================================================
\section*{\underline{Exercice 1} (4 points)}

On considère la suite numérique \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par :
\[
u_0 = \frac{1}{3} \quad \text{et} \quad \forall n \in \mathbb{N},\; u_{n+1} = \frac{3u_n}{2 + u_n}.
\]

\begin{enumerate}[label=\arabic*., leftmargin=*]
    \item[(0.5)] \textbf{1)} Montrer par récurrence que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(0 < u_n < 1\).

    \item[(0.75)] \textbf{2)}
    \begin{enumerate}[label=\alph*., leftmargin=*]
        \item Montrer que \(u_{n+1} - u_n = \dfrac{u_n(1 - u_n)}{2 + u_n}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
        \item En déduire que la suite \((u_n)\) est croissante.
    \end{enumerate}

    \item[(0.5)] \textbf{3)} Montrer que la suite \((u_n)\) est convergente et déterminer sa limite.

    \item[(0.75)] \textbf{4)} On pose \(v_n = \dfrac{1}{u_n}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
    \begin{enumerate}[label=\alph*., leftmargin=*]
        \item Montrer que la suite \((w_n)\) définie par \(w_n = v_n - 1\) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
        \item Exprimer \(v_n\) puis \(u_n\) en fonction de \(n\).
    \end{enumerate}

    \item[(0.75)] \textbf{5)} Calculer \(T_n = w_0 + w_1 + \cdots + w_n\) en fonction de \(n\), puis déterminer \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} T_n\).

    \item[(0.75)] \textbf{6)} On pose \(P_n = u_0 \times u_1 \times \cdots \times u_n\). Exprimer \(\ln(P_n)\) à l'aide des \(v_k\), puis déterminer \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} P_n\).
\end{enumerate}


% ============================================================
% EXERCICE 2 : GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE
% (Vérifié : Omega(1,2,1), R=5, r=4, A(-3,-1,1) et B(1,-3,1) sur sphère, AB // plan)
% ============================================================
\section*{\underline{Exercice 2} (3 points)}

L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\).

On considère la sphère \((S)\) d'équation :
\[
x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y - 2z - 19 = 0
\]
et le plan \((\mathcal{P})\) d'équation : \(x + 2y - 2z + 6 = 0\).

\begin{enumerate}[label=\arabic*., leftmargin=*]
    \item[(0.5)] \textbf{1)} Déterminer le centre \(\Omega\) et le rayon \(R\) de la sphère \((S)\).

    \item[(0.5)] \textbf{2)} Montrer que le plan \((\mathcal{P})\) coupe la sphère \((S)\) suivant un cercle \((\mathcal{C})\). Déterminer le rayon \(r\) du cercle \((\mathcal{C})\).

    \item[(0.75)] \textbf{3)} Soit \((\Delta)\) la droite passant par \(\Omega\) et perpendiculaire au plan \((\mathcal{P})\).
    \begin{enumerate}[label=\alph*., leftmargin=*]
        \item Donner une représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\).
        \item Déterminer les coordonnées du centre \(H\) du cercle \((\mathcal{C})\).
    \end{enumerate}

    \item[(0.5)] \textbf{4)} Donner une équation cartésienne de chacun des plans parallèles à \((\mathcal{P})\) et tangents à la sphère \((S)\).

    \item[(0.75)] \textbf{5)} On considère les points \(A(-3, -1, 1)\) et \(B(1, -3, 1)\).
    \begin{enumerate}[label=\alph*., leftmargin=*]
        \item Vérifier que les points \(A\) et \(B\) appartiennent à la sphère \((S)\).
        \item Montrer que la droite \((AB)\) est parallèle au plan \((\mathcal{P})\) sans être contenue dans \((\mathcal{P})\).
    \end{enumerate}
\end{enumerate}


% ============================================================
% EXERCICE 3 : NOMBRES COMPLEXES
% (Vérifié : a=2e^{ipi/3}, b=e^{ipi/6}, c=2e^{ipi/2}=2i, d=e^{ipi/3},
%  Rotation pi/6 envoie a sur c)
% ============================================================
\section*{\underline{Exercice 3} (3 points)}

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{u}, \vec{v})\), on considère les points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) d'affixes respectives :
\[
a = 1 + i\sqrt{3},\quad b = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2},\quad c = a \times b,\quad d = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}.
\]

\begin{enumerate}[label=\arabic*., leftmargin=*]
    \item[(0.5)] \textbf{1)} Écrire les nombres complexes \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) sous forme trigonométrique (module et argument).

    \item[(0.5)] \textbf{2)}
    \begin{enumerate}[label=\alph*., leftmargin=*]
        \item Calculer \(c = a \times b\) sous forme algébrique, puis vérifier le résultat à l'aide des formes trigonométriques.
        \item En déduire les valeurs exactes de \(\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\) et \(\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\).
    \end{enumerate}

    \item[(0.75)] \textbf{3)}
    \begin{enumerate}[label=\alph*., leftmargin=*]
        \item Montrer que \(b = e^{i\frac{\pi}{6}}\) et que \(d = e^{i\frac{\pi}{3}}\).
        \item Vérifier que \(a = 2e^{i\frac{\pi}{3}}\) et que \(c = 2i\).
    \end{enumerate}

    \item[(0.5)] \textbf{4)} Montrer que le triangle \(ABD\) est rectangle en \(D\).\\
    \textit{Indication : on calculera \(\dfrac{a - d}{b - d}\).}

    \item[(0.75)] \textbf{5)} Soit \(R\) la rotation de centre \(O\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{6}\).
    \begin{enumerate}[label=\alph*., leftmargin=*]
        \item Déterminer l'expression complexe de \(R\).
        \item Vérifier que \(c\) est l'image de \(a\) par la rotation \(R\).
    \end{enumerate}

    \item[(0.5)] \textbf{6)} Déterminer l'affixe du point \(E\), image du point \(D\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\).
\end{enumerate}


% ============================================================
% EXERCICE 4 : PROBABILITÉS
% (Vérifié : 5R 3B 2V, P(diff)=31/45, tirage successif SANS remise)
% ============================================================
\section*{\underline{Exercice 4} (3 points)}

Une urne contient 5 boules rouges, 3 boules bleues et 2 boules vertes. Toutes les boules sont indiscernables au toucher.

\begin{enumerate}[label=\arabic*., leftmargin=*]
    \item[(0.5)] \textbf{1)} On tire au hasard simultanément 3 boules de l'urne.
    \begin{enumerate}[label=\alph*., leftmargin=*]
        \item Déterminer le nombre total de tirages possibles.
        \item Calculer la probabilité de l'événement \(A\) : « obtenir 2 boules rouges et 1 boule bleue ».
    \end{enumerate}

    \item[(0.75)] \textbf{2)} On tire au hasard successivement et sans remise deux boules de l'urne.
    \begin{enumerate}[label=\alph*., leftmargin=*]
        \item Calculer la probabilité de l'événement \(B\) : « la première boule est rouge et la seconde est verte ».
        \item Montrer que la probabilité de l'événement \(C\) : « obtenir deux boules de couleurs différentes » est \(\dfrac{31}{45}\).
    \end{enumerate}

    \item[(0.5)] \textbf{3)} Sachant que la deuxième boule tirée est bleue, calculer la probabilité que la première boule soit rouge.

    \item[(0.75)] \textbf{4)} On répète l'expérience du tirage successif \textbf{avec remise} de deux boules, 5 fois de suite. Soit \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de fois où l'on obtient deux boules de couleurs différentes.
    \begin{enumerate}[label=\alph*., leftmargin=*]
        \item Déterminer la loi de probabilité de \(X\).
        \item Calculer l'espérance mathématique \(E(X)\) et la variance \(V(X)\).
    \end{enumerate}

    \item[(0.5)] \textbf{5)} Calculer la probabilité d'obtenir exactement 3 fois l'événement \(C\) lors des 5 répétitions.
\end{enumerate}


% ============================================================
% PROBLÈME : ÉTUDE DE FONCTION + CALCUL INTÉGRAL + SUITE
% (Vérifié intégralement)
% ============================================================
\section*{\underline{Problème} (11 points)}

On considère la fonction numérique \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[
f(x) =
\begin{cases}
x - 1 + e^{-x} & \text{si } x \le 0 \\[0.6em]
\ln\!\left(\dfrac{1+x}{1+x^2}\right) & \text{si } x > 0
\end{cases}
\]
Soit \((\mathcal{C}_f)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\) d'unité graphique \(2\,\text{cm}\).

\subsection*{Partie I : Étude de la fonction \(f\)}

\begin{enumerate}[label=\arabic*., leftmargin=*]
    \item[(0.5)] \textbf{1)} Déterminer le domaine de définition de \(f\).

    \item[(1)] \textbf{2)} Calculer :
    \begin{enumerate}[label=\alph*., leftmargin=*]
        \item \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x \to 0^-} f(x)\).
        \item \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)\).
    \end{enumerate}

    \item[(0.5)] \textbf{3)} \(f\) est-elle continue en \(0\) ? Justifier.

    \item[(1)] \textbf{4)} Étudier la dérivabilité de \(f\) en \(0\) à gauche et à droite. Interpréter graphiquement.

    \item[(1)] \textbf{5)} Calculer \(f'(x)\) pour \(x < 0\) et pour \(x > 0\). Montrer que pour \(x>0\) :
    \[
    f'(x) = -\frac{x^2}{(1+x)(1+x^2)}.
    \]

    \item[(0.5)] \textbf{6)} Étudier le signe de \(f'(x)\) sur chaque intervalle et dresser le tableau de variations de \(f\).

    \item[(0.75)] \textbf{7)}
    \begin{enumerate}[label=\alph*., leftmargin=*]
        \item Déterminer l'équation de la tangente \((T)\) à \((\mathcal{C}_f)\) au point d'abscisse \(x = 0\).
        \item Étudier la position relative de \((\mathcal{C}_f)\) par rapport à \((T)\) sur \(\mathbb{R}\).
    \end{enumerate}

    \item[(0.75)] \textbf{8)} Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty}\bigl[f(x) - (x-1)\bigr]\) et interpréter graphiquement le résultat.

    \item[(0.5)] \textbf{9)} Tracer \((\mathcal{C}_f)\), \((T)\) et la droite asymptote oblique (unité \(2\,\text{cm}\)).
\end{enumerate}

\subsection*{Partie II : Calcul intégral}

\begin{enumerate}[label=\arabic*., leftmargin=*]
    \item[(0.5)] \textbf{10)} Calculer \(\displaystyle\int_0^1 \ln(1+x)\,dx\).

    \item[(0.75)] \textbf{11)} Calculer \(\displaystyle\int_0^1 \ln(1+x^2)\,dx\).\\
    \textit{Indication : on utilisera une intégration par parties.}

    \item[(0.75)] \textbf{12)} En déduire l'aire, en \(\text{cm}^2\), du domaine délimité par \((\mathcal{C}_f)\), l'axe des abscisses et les droites d'équations \(x = 0\) et \(x = 1\).
\end{enumerate}

\subsection*{Partie III : Suite numérique}

On définit la suite \((u_n)\) par \(u_0 = \dfrac{1}{2}\) et \(u_{n+1} = f(u_n)\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

\begin{enumerate}[label=\arabic*., leftmargin=*]
    \item[(0.5)] \textbf{13)} Montrer par récurrence que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(0 < u_n \le \dfrac{1}{2}\).

    \item[(0.75)] \textbf{14)}
    \begin{enumerate}[label=\alph*., leftmargin=*]
        \item Montrer que pour tout \(x \in ]0, 1]\), \(f(x) \le x\), et en déduire que \((u_n)\) est décroissante.
        \item Conclure que \((u_n)\) est convergente.
    \end{enumerate}

    \item[(0.5)] \textbf{15)} Déterminer \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n\).
\end{enumerate}

\end{document}