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\title{\bfseries\color{primary}Recueil d'Exercices de Mathématiques\\ \Large Enoncés Type Examen National (Baccalauréat Marocain)}
\author{\textbf{Niveau :} 2\textsuperscript{ème} BAC Sciences Expérimentales (PC/SVT)}
\date{}




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\begin{document}

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\raggedcolumns 

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\subsection*{Exercice 1 : Suite homographique}
Soit la suite numérique $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :
$u_0 = 0 \quad \text{et} \quad u_{n+1} = \frac{2u_n + 1}{u_n + 2} \quad (\forall n \in \mathbb{N}) $
\begin{enumerate}
    \item Calculer $u_1$ et $u_2$.
    \item Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $0 < u_n < 1$.
    \item Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
    $ u_{n+1} - u_n = \frac{(1 - u_n)(u_n + 1)}{u_n + 2}. $
    \item En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$ et prouver sa convergence.
    \item On considère la suite auxiliaire $(v_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par :
    $ v_n = \frac{u_n - 1}{u_n + 2}. $
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison $q$ et le premier terme $v_0$.
        \item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
    \end{enumerate}
    \item En déduire que pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
    $ u_n = \frac{1 + 2v_n}{1 - v_n}. $
    \item Déterminer $\lim_{n \to +\infty} u_n$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 2 : Suite avec expression sous radical}
Soit la suite numérique $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :
\[ u_0 = 1 \quad \text{et} \quad u_{n+1} = \sqrt{\frac{u_n^2}{2u_n^2 + 1}} \quad (\forall n \in \mathbb{N}) \]
\begin{enumerate}
    \item Calculer le terme $u_1$.
    \item Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $u_n > 0$.
    \item Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $u_{n+1}^2 - u_n^2 = \frac{-2u_n^4}{2u_n^2 + 1}$.
    \item En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$ et prouver sa convergence.
    \item On pose pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $v_n = \frac{1}{u_n^2}$.
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que $(v_n)$ est une suite arithmétique dont on précisera la raison $r$ et le premier terme $v_0$.
        \item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
    \end{enumerate}
    \item En déduire que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $u_n = \frac{1}{\sqrt{2n+1}}$.
    \item Calculer $\lim_{n \to +\infty} u_n$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 3 : Suite homographique}
Soit la suite numérique $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :
\[ u_0 = 3 \quad \text{et} \quad u_{n+1} = \frac{2u_n + 2}{u_n + 3} \quad (\forall n \in \mathbb{N}) \]
\begin{enumerate}
    \item Calculer $u_1$ et $u_2$.
    \item Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $u_n > 1$.
    \item Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $u_{n+1} - u_n = \frac{-(u_n - 1)(u_n + 2)}{u_n + 3}$.
    \item En déduire que la suite $(u_n)$ est strictement décroissante et qu'elle converge.
    \item On considère la suite $(v_n)$ définie par $v_n = \frac{u_n - 1}{u_n + 2}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q = \frac{1}{4}$.
        \item Calculer $v_0$ puis exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
    \end{enumerate}
    \item Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $u_n = \frac{1 + 2v_n}{1 - v_n}$.
    \item En déduire la limite de la suite $(u_n)$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 4 : Suite avec logarithme et exponentielle}
Soit la suite numérique $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :
\[ u_0 = e^2 \quad \text{et} \quad u_{n+1} = \sqrt{e \cdot u_n} \quad (\forall n \in \mathbb{N}) \]
\begin{enumerate}
    \item Calculer $u_1$ et $u_2$ en fonction de $e$.
    \item Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $u_n > e$.
    \item Montrer que la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.
    \item En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.
    \item On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par : $v_n = \ln(u_n) - 1$.
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q = \frac{1}{2}$ et calculer $v_0$.
        \item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
    \end{enumerate}
    \item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ et déterminer $\lim_{n \to +\infty} u_n$.
\end{enumerate}



\subsection*{Exercice 5 : Équation de plan, Distance et Intersection Sphère-Plan}
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les points $A(2, 1, 1)$, $B(1, -1, 3)$ et $C(0, 1, 3)$, ainsi que la sphère $(S)$ d'équation générale :
\[ x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y + 2z - 3 = 0 \]
\begin{enumerate}
    \item Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.
    \item Calculer le produit vectoriel $\vec{AB} \wedge \vec{AC}$.
    \item En déduire que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés, et montrer qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est : $2x - y - z - 2 = 0$.
    \item Déterminer le centre $\Omega$ et le rayon $R$ de la sphère $(S)$.
    \item Calculer la distance $d(\Omega, (ABC))$ du point $\Omega$ au plan $(ABC)$.
    \item Montrer que le plan $(ABC)$ coupe la sphère $(S)$ selon un cercle $(\Gamma)$.
    \item Déterminer le rayon $r$ du cercle $(\Gamma)$ et donner une représentation paramétrique de la droite $(\Delta)$ passant par $\Omega$ et orthogonale au plan $(ABC)$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 6 : Positions relatives, Tangence et Équations paramétriques}
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère la droite $(D)$ définie par la représentation paramétrique :
$ (D) : \begin{cases} x = 1 + t \\ y = -1 - 2t \\ z = 2t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}) $
et la sphère $(S)$ de centre $\Omega(1, 2, 0)$ et de rayon $R = 3$.
\begin{enumerate}
    \item Donner un point $A$ appartenant à $(D)$ et un vecteur directeur $\vec{u}$ de $(D)$.
    \item Déterminer l'équation cartésienne de la sphère $(S)$.
    \item Calculer le produit vectoriel $\vec{\Omega A} \wedge \vec{u}$.
    \item En déduire la distance $d(\Omega, (D))$ entre le centre de la sphère et la droite $(D)$.
    \item Justifier la position relative de la droite $(D)$ par rapport à la sphère $(S)$.
    \item Déterminer les coordonnées des points d'intersection de $(D)$ et $(S)$.
    \item Trouver l'équation cartésienne du plan $(P)$ passant par $\Omega$ et orthogonal à la droite $(D)$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 7 : Plans parallèles et Projection orthogonale}
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on donne la sphère $(S)$ de centre $\Omega(0, 1, -2)$ et de rayon $R = 3$, et le plan $(P)$ d'équation cartésienne : $x + 2y - 2z + 2 = 0$.
\begin{enumerate}
    \item Vérifier que le point $M(2, -1, 1)$ appartient au plan $(P)$.
    \item Calculer la distance $d(\Omega, (P))$.
    \item En déduire la position relative du plan $(P)$ et de la sphère $(S)$.
    \item Soit $(\Delta)$ la droite passant par $\Omega$ et perpendiculaire à $(P)$.
    \begin{enumerate}
        \item Donner un vecteur directeur de $(\Delta)$.
        \item Établir une représentation paramétrique de $(\Delta)$.
    \end{enumerate}
    \item Déterminer les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal de $\Omega$ sur le plan $(P)$.
    \item Déterminer les équations cartésiennes des deux plans $(P_1)$ et $(P_2)$ parallèles à $(P)$ et tangents à la sphère $(S)$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 8 : Diamètre d'une sphère et orthogonalité}
On considère les points $A(1, 1, 1)$, $B(3, 3, -1)$ et $C(0, 2, 3)$ dans un repère orthonormé direct.
\begin{enumerate}
    \item Déterminer les coordonnées du point $I$, milieu du segment $[AB]$.
    \item Calculer la distance $AB$, puis en déduire le rayon de la sphère $(S)$ de diamètre $[AB]$.
    \item Montrer que l'équation cartésienne de la sphère $(S)$ est : $x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 4y + 5 = 0$.
    \item Calculer le produit scalaire $\vec{CA} \cdot \vec{CB}$.
    \item En déduire la position du point $C$ par rapport à la sphère $(S)$ (intérieur, extérieur ou sur la sphère).
    \item Donner une représentation paramétrique de la droite $(BC)$.
    \item Déterminer les points d'intersection de la droite $(BC)$ avec la sphère $(S)$.
\end{enumerate}



\subsection*{Exercice 9 : Tirage simultané et Variable aléatoire}
Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher répartie de la façon suivante :
\begin{itemize}
    \item 4 boules rouges portant les numéros : 1, 2, 2, 3.
    \item 6 boules noires portant les numéros : 1, 1, 2, 2, 3, 3.
\end{itemize}
On tire simultanément et au hasard 3 boules de l'urne.
\begin{enumerate}
    \item Déterminer le nombre de tirages possibles (cardinal de l'univers $\Omega$).
    \item Calculer la probabilité d'obtenir 3 boules de la même couleur.
    \item Calculer la probabilité d'obtenir 3 boules portant des numéros pairs.
    \item Soit $X$ la variable aléatoire qui égale au nombre de boules rouges tirées.
    \begin{enumerate}
        \item Déterminer l'ensemble des valeurs prises par $X$.
        \item Montrer que $P(X=1) = \frac{1}{2}$.
        \item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ (présenter le résultat sous forme de tableau).
    \end{enumerate}
    \item Calculer l'espérance mathématique $E(X)$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 10 : Tirage successif sans remise et probabilité conditionnelle}
Un sac contient 8 jetons indiscernables au toucher :
\begin{itemize}
    \item 3 jetons blancs portant la lettre ``A''.
    \item 2 jetons blancs portant la lettre ``B''.
    \item 3 jetons rouges portant la lettre ``A''.
\end{itemize}
On tire successivement et sans remise 2 jetons du sac.
\begin{enumerate}
    \item Quel est le nombre total de choix possibles ?
    \item Calculer la probabilité de l'événement $W$ : ``Obtenir deux jetons blancs''.
    \item Calculer la probabilité de l'événement $M$ : ``Obtenir deux jetons portant la même lettre''.
    \item Calculer la probabilité de l'événement $W \cap M$.
    \item Les événements $W$ et $M$ sont-ils indépendants ? Justifier.
    \item Calculer la probabilité conditionnelle $P_M(W)$.
    \item Calculer la probabilité d'obtenir au moins un jeton rouge.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 11 : Tirage successif avec remise et produit de numéros}
Une boîte contient 6 cartes indiscernables portant les nombres suivants :
\[ -1, \ -1, \ 0, \ 0, \ 0, \ 2 \]
On tire au hasard et successivement avec remise 2 cartes de la boîte.
\begin{enumerate}
    \item Déterminer le nombre de tirages possibles.
    \item Calculer la probabilité d'obtenir deux cartes portant le même nombre.
    \item Calculer la probabilité que la première carte tirée porte un nombre strictement négatif.
    \item Soit $Y$ la variable aléatoire égale au produit des nombres inscrits sur les deux cartes tirées.
    \begin{enumerate}
        \item Déterminer $Y(\Omega)$.
        \item Montrer que $P(Y=0) = \frac{3}{4}$.
        \item Déterminer la loi de probabilité de $Y$.
    \end{enumerate}
    \item Calculer l'espérance mathématique $E(Y)$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 12 : Schéma de Bernoulli et Loi Binomiale}

On lance un dé truqué à 6 faces. La probabilité d'obtenir la face numéro 6 lors d'un lancer est égale à $p = \frac{1}{3}$. On répète cette expérience 4 fois de manière indépendante.

\begin{enumerate}
    \item Quelle est la probabilité d'échouer (ne pas obtenir la face 6) à un lancer ?
    \item Calculer la probabilité d'obtenir la face 6 exactement deux fois.
    \item Calculer la probabilité d'obtenir la face 6 au moins une fois.
    \item Soit $Z$ la variable aléatoire désignant le nombre de fois où la face 6 est apparue.
    \begin{enumerate}
        \item Reconnaitre la loi de la variable aléatoire $Z$ en donnant ses paramètres.
        \item Donner l'expression générale de $P(Z=k)$ pour $k \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$.
        \item Calculer $P(Z \le 3)$.
    \end{enumerate}
    \item Calculer l'espérance mathématique $E(Z)$.
\end{enumerate}


\subsection*{Exercice 13 : Résolution, forme exponentielle et puissance complexe}
\begin{enumerate}
    \item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$ l'équation :
    \[ z^2 - 2\sqrt{2}z + 4 = 0 \]
    \item On pose $a = \sqrt{2} + \sqrt{2}i$.
    \begin{enumerate}
        \item Calculer le module $|a|$ et déterminer un argument de $a$.
        \item Écrire le nombre $a$ sous sa forme exponentielle.
        \item Soit $b = \bar{a}$ le conjugué de $a$. Donner la forme exponentielle de $b$.
    \end{enumerate}
    \item Calculer la valeur complexe du rapport $\frac{a}{b}$, puis en déduire sous forme algébrique la valeur de la puissance :
    \[ \left(\frac{a}{b}\right)^{2026} \]
    \item Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$, on considère les points $A, B$ et $C$ d'affixes respectives $a$, $b$ et $c = 2\sqrt{2}$.
    \begin{enumerate}
        \item Écrire le rapport $\frac{c-a}{b-a}$ sous forme algébrique.
        \item Déterminer le module et un argument de ce rapport, puis en déduire la nature du triangle $ABC$.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 14 : Homothétie, Rotation et Alignement}
\begin{enumerate}
    \item Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $z^2 - 4z + 8 = 0$.
    \item On considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives : $a = 2+2i$, $b = 2-2i$ et $c = 4$.
    \begin{enumerate}
        \item Placer les points dans le plan complexe.
        \item Écrire le nombre $\frac{a}{c}$ sous forme trigonométrique.
    \end{enumerate}
    \item Soit $R$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$, et soit $h$ l'homothétie de centre $A$ et de rapport $k = 3$.
    \begin{enumerate}
        \item Donner l'expression complexe de la rotation $R$.
        \item Soit $D$ l'image du point $B$ par la rotation $R$. Déterminer l'affixe $d$ du point $D$.
        \item Soit $E$ l'image du point $C$ par l'homothétie $h$. Déterminer l'affixe $e$ du point $E$.
    \end{enumerate}
    \item Étudier l'alignement des points $A$, $D$ et $E$.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 15 : Transformations complexes et configurations géométriques}
Dans le plan complexe, on considère les points $A, B, C$ et $D$ d'affixes respectives :
\[ a = i, \quad b = 1 + 2i, \quad c = 2 + i \quad \text{et} \quad d = 1 \]
\begin{enumerate}
    \item Calculer les distances $AB$ et $CD$.
    \item Déterminer l'affixe des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{DC}$. En déduire la nature du quadrilatère $ABCD$.
    \item Calculer le rapport $\frac{c-a}{b-d}$ sous sa forme algébrique.
    \item En déduire que les droites $(AC)$ et $(BD)$ sont perpendiculaires. Que peut-on conclure pour $ABCD$ ?

\end{enumerate}


\end{multicols}

\end{document}


\item Soit la transformation $T$ du plan qui associe à chaque point $M(z)$ le point $M'(z')$ tel que : $z' = \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)z$.
    \begin{enumerate}
        \item Caractériser géométriquement la transformation $T$.
        \item Déterminer l'affixe du point $A'$, image de $A$ par la transformation $T$.
    \end{enumerate}
    \item Déterminer l'ensemble des points $M(z)$ vérifiant la relation : $|z - a| = |z - c|$.



\subsection*{Exercice 16 : Équation de degré 3, Géométrie et Trigonométrie}
On considère dans $\mathbb{C}$ l'équation : $(E) : z^3 - 8 = 0$.
\begin{enumerate}
    \item Vérifier que $z_0 = 2$ est une solution évidente de l'équation $(E)$.
    \item Déterminer les réels $\alpha, \beta$ et $\gamma$ tels que : $z^3 - 8 = (z - 2)(\alpha z^2 + \beta z + \gamma)$.
    \item Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $z^2 + 2z + 4 = 0$.
    \item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation $(E)$ sous leur forme exponentielle.
    \item Soient $A$ et $B$ les points d'affixes respectives $z_1 = -1 + \sqrt{3}i$ et $z_2 = -1 - \sqrt{3}i$.
    \begin{enumerate}
        \item Démontrer que le triangle $OAB$ est isocèle en $O$.
        \item Soit $I$ le milieu du segment $[AB]$. Déterminer l'affixe du point $I$.
    \end{enumerate}
    \item En utilisant la forme trigonométrique de $z_1$, expliciter l'égalité trigonométrique reliant sa forme géométrique et algébrique.
\end{enumerate}