\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{geometry}
\usepackage{array}
\usepackage{setspace}

\geometry{left=1.00cm, right=1.00cm, top=0.50cm, bottom=1.00cm}

\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
    colorlinks=true,
    linkcolor=blue
}

\newcommand{\mydashfill}{\leavevmode\cleaders\hbox{-}\hfill\kern0pt}
\newcommand{\mylink}{\href{https://mosaid.xyz/cc}{www.mosaid.xyz}}

\everymath{\displaystyle}
\setstretch{1.4}
\begin{document}

\pagestyle{empty}
\begin{center}
    \textbf{2\textsuperscript{ème} bac PC/SVT} \hfill \textbf{Durée : 2 heures} \\
    \textbf{Devoir surveillé n°1}\\
    \vspace*{-0.3cm}
    \mylink
\end{center}

\section*{
    \textbf{\large Exercice(1)}\mydashfill \textbf{(17 points)}
}

Soit \( f \) une fonction numérique définie par :
$
f(x) = \begin{cases}
      \sqrt{x} + 1 & ; x > 0 \\
      -x^2 - 2x + 1 & ; x \leq 0
   \end{cases}
$\\

\begin{tabular}{>{\hfill}p{0.04\textwidth}|p{0.95\textwidth}}
    1& \textbf{1}~$-$ Calculer \( \lim_{x \to +\infty} f(x) \) et \( \lim_{x \to -\infty} f(x) \)\\
    2& \textbf{2}~$-$ Étudier la continuité de \( f \) sur  \( ]0, +\infty[ \) et \( ]-\infty, 0] \) puis en \( 0 \) \\
      0.5& \hspace*{0.7cm} En déduire que \( f \) est continue sur \( \mathbb{R} \) \\
    3& \textbf{3}~$-$ a) Étudier la dérivabilité de \( f \) en \( 0 \) à droite et à gauche puis interpréter géométriquement \\
    & \hspace*{1.3cm}les résultats obtenus. \\

    1& \hspace*{0.4cm}$-$ b) Étudier la dérivabilité de \( f \) sur \( ]0, +\infty[ \)
        puis vérifier que : \( \forall x \in ]0, +\infty[, f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \) \\
    1& \hspace*{0.4cm}$-$ c) Étudier la dérivabilité de \( f \) sur \( ]-\infty, 0] \)
        puis vérifier que :  \( \forall x \le 0, f'(x) = -2x - 2 \) \\
    1& \textbf{4}~$-$ a) Montrer que \( f \) est strictement croissante sur \( [0, +\infty[ \) et sur \( ]-\infty, -1] \) \\
    & \hspace*{1.3cm} et elle est strictement décroissante sur \( [-1,0] \) \\
    0.75& \hspace*{0.4cm}$-$ b) Dresser le tableau de variations de \( f \) \\

    1& \textbf{5}~$-$ Donner l'équation de la tangente (\( T \)) à la courbe de \( f \) au point d'abscisse \( -3 \) \\

    1 & \textbf{6}~$-$ a) Montrer que l'équation \( f(x) = 0 \) admet une solution unique \( \alpha \) dans \( ]-3, -2] \) \\
    1& \hspace*{0.7cm} b) En utilisant la Dichotomie donner un autre encadrement de \( \alpha \) \\

     & \textbf{7}~$-$ Soit \( g \) une fonction numérique définie sur \( ]-\infty, -1] \) par : \( g(x) = f(x) \) \\
      1.5& \hspace*{0.4cm}$-$ a) Montrer que \( g \) admet une fonction réciproque \( g^{-1} \) définie sur l'intervalle \( J \) à déterminer \\
      1.5& \hspace*{0.4cm}$-$ b) Montrer que \( g^{-1} \) est dérivable en \( -2 \) puis déterminer \( (g^{-1})'(-2) \) \\
      0.75& \hspace*{0.4cm}$-$ c) Dresser le tableau de variations de \( g^{-1} \) \\
\end{tabular}

\section*{
    \textbf{\large Exercice(2)}\mydashfill \textbf{(3 points)}
}

Soit \( h \) une fonction définie sur \( \mathbb{R}^+ \) par : \( h(x) = x^{n+1} - 3x^n + 1 \) avec \( n \in \mathbb{N}^* \) \\

\begin{tabular}{>{\hfill}p{0.04\textwidth}|p{0.95\textwidth}}
    1 & \textbf{1}~$-$ Montrer que \( h \) :\\
    & est strictement décroissante sur \( \left[ 0, \frac{3n}{n+1} \right] \)
     et elle est strictement croissante sur \( \left[ \frac{3n}{n+1}, +\infty \right[ \).\\
    0.5& \textbf{2}~$-$ Donner le tableau de variations de \( h \). \\
    0.5& \textbf{3}~$-$ En déduire que \( h\left( \frac{3n}{n+1} \right) < 0 \) (remarquer que \( h(1) = -1 \)) \\

    1& \textbf{4}~$-$ Montrer que l'équation \( h(x) = 0 \) admet une solution unique \( \alpha \) tel que
    \( \frac{3n}{n+1} < \alpha <3 \). \\
\end{tabular}

\begin{center}
    \textit{Bonne chance à tous}
\end{center}

\vfill
\begin{flushleft}
    2024-2025 \hfill \textit{\mylink} \hfill Prof : MOSAID
\end{flushleft}
\end{document}

\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{geometry}
\usepackage{array}
\usepackage{setspace}

\geometry{left=1.00cm, right=1.00cm, top=0.50cm, bottom=1.00cm}

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    colorlinks=true,
    linkcolor=blue
}

\newcommand{\mydashfill}{\leavevmode\cleaders\hbox{-}\hfill\kern0pt}
\newcommand{\mylink}{\href{https://mosaid.xyz/cc}{www.mosaid.xyz}}

\everymath{\displaystyle}
\setstretch{1.4}
\begin{document}

\pagestyle{empty}
\begin{center}
    \textbf{2\textsuperscript{ème} bac PC/SVT} \hfill \textbf{Durée : 2 heures} \\
    \textbf{Devoir surveillé n°1}\\
    \vspace*{-0.3cm}
    \mylink
\end{center}

\section*{
    \textbf{\large Exercice(1)}\mydashfill \textbf{(17 points)}
}

Soit \( f \) une fonction numérique définie par :
$
f(x) = \begin{cases}
      \sqrt{x} + 1 & ; x > 0 \\
      -x^2 - 2x + 1 & ; x \leq 0
   \end{cases}
$\\

\begin{tabular}{>{\hfill}p{0.04\textwidth}|p{0.95\textwidth}}
    1& \textbf{1}~$-$ Calculer \( \lim_{x \to +\infty} f(x) \) et \( \lim_{x \to -\infty} f(x) \)\\
    2& \textbf{2}~$-$ Étudier la continuité de \( f \) sur  \( ]0, +\infty[ \) et \( ]-\infty, 0] \) puis en \( 0 \) \\
      0.5& \hspace*{0.7cm} En déduire que \( f \) est continue sur \( \mathbb{R} \) \\
    3& \textbf{3}~$-$ a) Étudier la dérivabilité de \( f \) en \( 0 \) à droite et à gauche puis interpréter géométriquement \\
    & \hspace*{1.3cm}les résultats obtenus. \\

    1& \hspace*{0.4cm}$-$ b) Étudier la dérivabilité de \( f \) sur \( ]0, +\infty[ \)
        puis vérifier que : \( \forall x \in ]0, +\infty[, f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \) \\
    1& \hspace*{0.4cm}$-$ c) Étudier la dérivabilité de \( f \) sur \( ]-\infty, 0] \)
        puis vérifier que :  \( \forall x \le 0, f'(x) = -2x - 2 \) \\
    1& \textbf{4}~$-$ a) Montrer que \( f \) est strictement croissante sur \( [0, +\infty[ \) et sur \( ]-\infty, -1] \) \\
    & \hspace*{1.3cm} et elle est strictement décroissante sur \( [-1,0] \) \\
    0.75& \hspace*{0.4cm}$-$ b) Dresser le tableau de variations de \( f \) \\

    1& \textbf{5}~$-$ Donner l'équation de la tangente (\( T \)) à la courbe de \( f \) au point d'abscisse \( -3 \) \\

    1 & \textbf{6}~$-$ a) Montrer que l'équation \( f(x) = 0 \) admet une solution unique \( \alpha \) dans \( ]-3, -2] \) \\
    1& \hspace*{0.7cm} b) En utilisant la Dichotomie donner un autre encadrement de \( \alpha \) \\

     & \textbf{7}~$-$ Soit \( g \) une fonction numérique définie sur \( ]-\infty, -1] \) par : \( g(x) = f(x) \) \\
      1.5& \hspace*{0.4cm}$-$ a) Montrer que \( g \) admet une fonction réciproque \( g^{-1} \) définie sur l'intervalle \( J \) à déterminer \\
      1.5& \hspace*{0.4cm}$-$ b) Montrer que \( g^{-1} \) est dérivable en \( -2 \) puis déterminer \( (g^{-1})'(-2) \) \\
      0.75& \hspace*{0.4cm}$-$ c) Dresser le tableau de variations de \( g^{-1} \) \\
\end{tabular}

\section*{
    \textbf{\large Exercice(2)}\mydashfill \textbf{(3 points)}
}

Soit \( h \) une fonction définie sur \( \mathbb{R}^+ \) par : \( h(x) = x^{n+1} - 3x^n + 1 \) avec \( n \in \mathbb{N}^* \) \\

\begin{tabular}{>{\hfill}p{0.04\textwidth}|p{0.95\textwidth}}
    1 & \textbf{1}~$-$ Montrer que \( h \) :\\
    & est strictement décroissante sur \( \left[ 0, \frac{3n}{n+1} \right] \)
     et elle est strictement croissante sur \( \left[ \frac{3n}{n+1}, +\infty \right[ \).\\
    0.5& \textbf{2}~$-$ Donner le tableau de variations de \( h \). \\
    0.5& \textbf{3}~$-$ En déduire que \( h\left( \frac{3n}{n+1} \right) < 0 \) (remarquer que \( h(1) = -1 \)) \\

    1& \textbf{4}~$-$ Montrer que l'équation \( h(x) = 0 \) admet une solution unique \( \alpha \) tel que
    \( \frac{3n}{n+1} < \alpha <3 \). \\
\end{tabular}

\begin{center}
    \textit{Bonne chance à tous}
\end{center}

\vfill
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    2024-2025 \hfill \textit{\mylink} \hfill Prof : MOSAID
\end{flushleft}
\end{document}