\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\usepackage{fontspec}
\usepackage{libertinus}

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\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{shadows}
\usepackage{tabularx, array}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{setspace}

% Define column type for centered cells
\newcolumntype{Y}{>{\centering\arraybackslash}X}
\newcolumntype{M}[1]{@{}>{\centering\arraybackslash}m{\#1}@{}}

\newcommand{\tb}{\tikz[baseline=-0.6ex]{\fill (0,0) circle (2pt);}~}

\newcommand{\ccc}[1]{
    \begin{tikzpicture}[overlay, remember picture]
        \node[circle, inner sep=3pt, draw=black, outer sep=0pt] at (0.5,0.2) {\#1};
    \end{tikzpicture}
}

\usepackage{bidi}

\newfontfamily\arabicfont[Script=Arabic,Scale=1.1]{Amiri}


% --- Colors ---
\definecolor{maroon}{cmyk}{0,0.87,0.68,0.32}
\definecolor{pBlue}{RGB}{102, 53, 153}

\definecolor{myblue}{HTML}{1D2A6E}
\definecolor{myred}{HTML}{A97E77}
\definecolor{mybrown}{HTML}{B35823}
\definecolor{gold}{HTML}{B48920}
\definecolor{myorange}{HTML}{ED8C2B}
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\definecolor{myblue3}{RGB}{36, 57, 126}
\definecolor{mygray}{RGB}{112,121,139}
\definecolor{LemonGlacier}{RGB}{253,255,0}
\colorlet{myblue3}{red!75!black}


% --- Basic Settings ---
\def\professor{R. MOSAID}
\def\classname{TCSF}
\def\examtitle{Devoir 01 - S01}
\def\schoolname{\textbf{Lycée :} Taghzirt}
\def\academicyear{2025/2026}
\def\subject{Mathématiques}
\def\duration{2h}
\def\secondtitle{\small(Arithmétiques \& Calcul vectoriel)}
\def\province{Direction provinciale de\\ Beni Mellal}
\def\logo{\includegraphics[width=\linewidth]{images/logo-men.png}}
\def\bottommsg{Bonne chance!}
\setstretch{1.3}
\everymath{\displaystyle}

% --- Exercise Theme 1 ---
% Exercise Theme 1: TikZ shadow title
\newcommand{\exothemeone}[1]{%
\par\vspace{0pt}\noindent\leavevmode
\begin{tikzpicture}[baseline=(text.base)]
    \node[] (text) at (0,0) {\textbf{\#1}};
    \fill[black] ([xshift=0.1cm, yshift=-0.1cm]text.south west)
                 rectangle ([xshift=0.1cm, yshift=-0.1cm]text.north east);
    \draw[fill=white] (text.south west) rectangle (text.north east);
    \node[] at (text) {\textbf{\#1}};
\end{tikzpicture}%
\vspace{0.3em}\noindent
}

\newcommand{\printexo}[3]{%
  \if\relax\detokenize{\#2}\relax
    \def\fulltitle{Exercice #1}%
  \else
    \def\fulltitle{Exercice #1~#2}%
  \fi
  \exothemeone{\fulltitle}%
  \noindent #3%
  \vspace{0.2cm}%
}
% --- Header Style 3 ---
% Head Style 3: Another variant
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{14.5pt}
\setlength{\headsep}{0pt}
\fancyhead[L]{\professor}
\fancyhead[C]{\examtitle}
\fancyhead[R]{\duration}
\fancyfoot[C]{}
\pagestyle{fancy}
\begin{document}

% Exercise 1
\printexo{1}{(17 points)}{

\noindent
Soit \( f \) une fonction numérique définie par :
~$
\begin{cases}
f(x) = x - 2\sqrt{x} + 2, & x > 0 \\
f(0) = 2 \\
f(x) = x^3 + 2x + 2, & x \leq 0
\end{cases}
$~

\begin{enumerate}
\item Calculer
~$
\lim_{x \to +\infty} f(x) \quad \text{et} \quad \lim_{x \to -\infty} f(x)
$~

\item Étudier la continuité de \( f \) en 0.

\item
  \begin{enumerate}
  \item Étudier la dérivabilité de \( f \) en 0 à droite et interpréter géométriquement le résultat obtenu.
  \item Étudier la dérivabilité de \( f \) en 0 à gauche et interpréter géométriquement le résultat obtenu.
  \end{enumerate}

\item
  \begin{enumerate}
  \item Étudier la dérivabilité de \( f \) sur \( ]0, +\infty[ \) puis vérifier que :
        ~$
        (\forall x \in ]0, +\infty[);\quad f'(x) = \frac{x-1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}
        $~
  \item Étudier la dérivabilité de \( f \) sur \( ]-\infty, 0] \) puis vérifier que :
        ~$
        (\forall x \in ]-\infty, 0] );\quad f'(x) = 3x^2 + 2
        $~
  \item Montrer que \( f \) est strictement croissante sur \( [1, +\infty[ \) et sur \( ]-\infty, 0] \) et elle est strictement décroissante sur \( [0, 1] \).
  \item Donner le tableau de variations de \( f \).
  \end{enumerate}

\item Donner l’équation de la tangente (\( T \)) à la courbe de \( f \) au point d’abscisse \(-1\).

\item
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que l’équation \( f(x) = 0 \) admet une solution unique \( \alpha \) dans \( ]-1, 0[ \).
  \item Calculer \( f\left(-\frac{1}{2}\right) \) en déduire un autre encadrement de la solution \( \alpha \).
  \end{enumerate}

\item
  \begin{enumerate}
  \item Étudier le signe de \( f(x) \) pour tout \( x \) de \( \mathbb{R} \).
  \item En déduire que \( \forall x \in [0, +\infty[;\quad 2\sqrt{x} \leq x + 2 \).
  \end{enumerate}

\item Soit \( g \) une fonction numérique définie sur \( ]-\infty, 0] \) par :
      ~$
      g(x) = f(x)
      $~
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que \( g \) admet une fonction réciproque \( g^{-1} \) définie sur l’intervalle \( I \) à déterminer.
  \item Montrer que \( g^{-1} \) est dérivable en \(-1\).
  \item Déterminer \( (g^{-1})'(-1) \).
  \item Donner le tableau de variations de \( g^{-1} \).
  \end{enumerate}

\item On considère la fonction numérique \( h \) définie sur \( \mathbb{R} \) par :
      ~$
      \begin{cases}
      h(x) = \frac{x^3+2x+2}{x-\alpha}, & x \neq \alpha \\
      h(\alpha) = 3 \alpha^2 + 2
      \end{cases}
      $~\\
      Montrer que \( h \) est continue en \( \alpha \) (où \( \alpha \) est le réel donné dans la question 6).
\end{enumerate}
}

% Exercise 2
\printexo{2}{(3 points)}{

\noindent
Calculer \( f'(x) \) pour tout \( x \in I \). On donnera \( f'(x) \) sous la forme réduite dans les cas suivants :

\begin{enumerate}
\item \( f(x) = (\sin(x) + 3)^5, \quad I = \mathbb{R} \)
\item \( f(x) = x - 7 + \frac{2}{2x+1}, \quad I = \left]\frac{-1}{2}, +\infty\right[ \)
\item \( f(x) = x\sqrt{2x + 3}, \quad I = \left[\frac{-3}{2}, +\infty\right[ \)
\end{enumerate}
}

\end{document}