\documentclass[a4paper,oneside,11pt]{article}

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\lhead{\color{black}1$^\text{er}$ Bac SEF 2 }
\chead{\textbf{\color{black} Devoir Libre $N^{\circ} 2$ }}
\rhead{\color{black} Lycée Alhidaya Al Islamiya}

\cfoot{\textbf{\color{col}\thepage}}

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\begin{tikzpicture}

\fill[fill=col] (0,0)+([shift={(0.5,-1.8)}]current page.north west) -- ([shift={(-1.4,-1.4)}]current page.north east) -- ([shift={(-1,1.7)}]current page.south east) -- ([shift={(0.9,1.3)}]current page.south west)--cycle;

\fill[line width=2pt,fill=white,draw=col] (0,0)+([shift={(0.7,-1.6)}]current page.north west) rectangle ([shift={(-1.2,1.5)}]current page.south east);

\end{tikzpicture}

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

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title={#2},#1}
\cfoot{\centering \texttt{2024-2025 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \hfill Pr: R.OUACHCHAN} }

\begin{document}


\begin{Am}{Exercice1:}
On considére les points $A(-1;2)$, $B(0;-1)$ et $C(-2;0)$, et $(C)$ l'ensemnle des points $M(x;y)$ qui vérifiant: $x^{2}+y^{2}-2x-2y-3=0$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $(C)$ est un cercle, en déduire son centre et son rayon.
\item Déterminer la position des points $A$, $B$ et $C$ par rapport au cercle $(C)$.
\item Déterminer une équation de la droite tangente au cercle $(C)$ et passant par $A$.
\item Calculer $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}$ et déduire la nature du triangle $ABC$.
\item Déterminer l'intersection du cercle $(C)$ et la droite $(D^{\prime})$ d'équation: $x-3y-3=0$.
\end{enumerate}
\end{Am}

\begin{Am}{Exercice 2:}
On considére les points suivants: $A(0;1)$, $B(\dfrac{1-\sqrt{3}}{2};\dfrac{1-\sqrt{3}}{2})$, $C(1;0)$ et $D(1;-3)$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=1$, $AB=\sqrt{2}$, $AC=\sqrt{2}$ et $det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=-\sqrt{3}$.
\item Calculer $\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ et $\sin(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$.
\item En déduire la mesure principale de l'angle orienté $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$.
\item Déterminer la nature du triangle $ABC$.
\item Calculer l'air du triangle $ABC$.
\item Déterminer une équation cartésienne de la droite $(\bigtriangleup)$ passant par $C$ et perpendiculaire à $(DA)$.
\item Montrer que la droite $(D):y=-4x+11$ est perpendiculaire à $(\bigtriangleup)$.
\item Calculer la distance entre $E(22;1)$ à la droite $(\bigtriangleup)$.
\item Déterminer l'équation cartésienne du cercle $(C_{1})$ de représentation paramétrique $
\begin{cases}
x = 3+\cos(\theta) \quad (\theta \in \mathbb{R}) \\
y = 2+\sin(\theta)
\end{cases}
$
\item Déterminer par deux méthodes l'équation cartésienne du cercle $(C_{2})$ du diamétre $[AC]$.
\item Déterminer une représentation paramétrique du cercle $(C_{2})$.
\item Déterminer $(C_{3})$ l'ensemble des points $M(x;y)$ du plan tel que: $x^{2}+y^{2}-4x-12=0$.
\end{enumerate}
\end{Am}

\begin{center}
\textbf{Bonne chance}
\end{center}

\begin{Am}{Exercice1:}
On considére les points $A(-1;2)$, $B(0;-1)$ et $C(-2;0)$, et $(C)$ l'ensemnle des points $M(x;y)$ qui vérifiant: $x^{2}+y^{2}-2x-2y-3=0$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $(C)$ est un cercle, en déduire son centre et son rayon.
\item Déterminer la position des points $A$, $B$ et $C$ par rapport au cercle $(C)$.
\item Déterminer une équation de la droite tangente au cercle $(C)$ et passant par $A$.
\item Calculer $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}$ et déduire la nature du triangle $ABC$.
\item Déterminer l'intersection du cercle $(C)$ et la droite $(D^{\prime})$ d'équation: $x-3y-3=0$.
\end{enumerate}
\end{Am}

\begin{Am}{Exercice 2:}
On considére les points suivants: $A(0;1)$, $B(\dfrac{1-\sqrt{3}}{2};\dfrac{1-\sqrt{3}}{2})$, $C(1;0)$ et $D(1;-3)$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=1$, $AB=\sqrt{2}$, $AC=\sqrt{2}$ et $det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=-\sqrt{3}$.
\item Calculer $\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ et $\sin(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$.
\item En déduire la mesure principale de l'angle orienté $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$.
\item Déterminer la nature du triangle $ABC$.
\item Calculer l'air du triangle $ABC$.
\item Déterminer une équation cartésienne de la droite $(\bigtriangleup)$ passant par $C$ et perpendiculaire à $(DA)$.
\item Montrer que la droite $(D):y=-4x+11$ est perpendiculaire à $(\bigtriangleup)$.
\item Calculer la distance entre $E(22;1)$ à la droite $(\bigtriangleup)$.
\item Déterminer l'équation cartésienne du cercle $(C_{1})$ de représentation paramétrique $
\begin{cases}
x = 3+\cos(\theta) \quad (\theta \in \mathbb{R}) \\
y = 2+\sin(\theta)
\end{cases}
$
\item Déterminer par deux méthodes l'équation cartésienne du cercle $(C_{2})$ du diamétre $[AC]$.
\item Déterminer une représentation paramétrique du cercle $(C_{2})$.
\item Déterminer $(C_{3})$ l'ensemble des points $M(x;y)$ du plan tel que: $x^{2}+y^{2}-4x-12=0$.
\end{enumerate}
\end{Am}

\begin{center}
\textbf{Bonne chance}
\end{center}
\end{document}