\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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    colorlinks=true,
    urlcolor=magenta
}

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\newfontfamily\arabicfont[Script=Arabic,Scale=1.1]{Amiri}


% --- Colors ---

\definecolor{lightgray}{gray}{0.6}



% --- Basic Settings ---
\def\professor{R. MOSAID}
\def\classname{1BAC.SE}
\def\examtitle{Devoir Libre 02 - S01, par Prof : TABRART Abdelaziz}
\def\schoolname{\textbf{Lycée :} Taghzirt}
\def\academicyear{2025/2026}
\def\subject{Mathématiques}
\def\duration{2h}
\def\secondtitle{\small visit {\wsite} for more!}
\def\province{Direction provinciale de\\ Beni Mellal}
\def\logo{\includegraphics[width=\linewidth]{images/logo-men.png}}
\def\wsite{\href{https://www.mosaid.xyz}{\textcolor{magenta}{\texttt{www.mosaid.xyz}}}}
\def\ddate{\hfill \number\day/\number\month/\number\year~~}
\def\bottommsg{Bonne chance!}
\setstretch{1.3}
\everymath{\displaystyle}

% --- Exercise Theme 1 ---
% Exercise Theme 1: TikZ shadow title
\newcommand{\exothemeone}[1]{%
\par\vspace{0pt}\noindent\leavevmode
\begin{tikzpicture}[baseline=(text.base)]
    \node[] (text) at (0,0) {\textbf{\#1}};
    \fill[black] ([xshift=0.1cm, yshift=-0.1cm]text.south west)
                 rectangle ([xshift=0.1cm, yshift=-0.1cm]text.north east);
    \draw[fill=white] (text.south west) rectangle (text.north east);
    \node[] at (text) {\textbf{\#1}};
\end{tikzpicture}\\[0.2cm]
}

\newcommand{\printexo}[3]{%
  \if\relax\detokenize{\#2}\relax
    \def\fulltitle{Exercice #1}%
  \else
    \def\fulltitle{Exercice #1~#2}%
  \fi
  \exothemeone{\fulltitle}%
  \noindent #3%
  \vspace{0.2cm}%
}
% --- Header Style 9 ---
\newcommand{\printheadnine}{%

  \arrayrulecolor{lightgray}

  \begin{tabular}{m{0.21\textwidth} m{0.54\textwidth} m{0.21\textwidth}}
      \textbf{\classname} & \centering \textbf{\examtitle}
      & \ddate \\
      \wsite & \centering \large\textbf{\secondtitle}
      &\hfill
        \begin{tabular}{|c}
          \hline
          \textbf{~~\professor}
        \end{tabular}\\
      \hline
  \end{tabular}

  \arrayrulecolor{black} % restore default if needed
}

\fancyhf{}%
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%
\renewcommand{\footrulewidth}{0pt}%
\setlength{\headheight}{47pt}%
\setlength{\headsep}{0pt}%
\fancyhead[C]{%
    \printheadnine
}%
\pagestyle{fancy}%
\begin{document}
\begin{center}
\textbf{\underline{Le plan est rapporté à un repère ~$ (O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}) $~}}
\end{center}
% Exercise 1
\printexo{1}{}{
On considère les points :
~$
A \left( \sqrt{3} - 1; \sqrt{3} + 1 \right), \quad B(-2; 2), \quad C(1; -1)
$~

\begin{enumerate}
    \item
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que ~$ OA = 2\sqrt{2} $~ et calculer la distance ~$ OB $~.
        \item Déduire la nature du triangle ~$ OAB $~.
    \end{enumerate}

    \item
    \begin{enumerate}
        \item Calculer ~$ \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} $~ et ~$ \det(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}) $~.
        \item Déduire ~$ \cos(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}) $~ et ~$ \sin(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}) $~.
        \item Déterminer la mesure de l'angle orienté ~$ (\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}) $~.
    \end{enumerate}

    \item Déterminer l’équation cartésienne de la hauteur du triangle ~$ ABC $~ qui passe par ~$ A $~.
\end{enumerate}
}

% Exercise 2
\printexo{2}{}{
Soit ~$ ABC $~ un triangle et ~$ J $~ un point tel que ~$ \overrightarrow{BI} = 2\overrightarrow{BC} $~. \\
Soit ~$ G $~ le barycentre des points pondérés ~$ \{(A; 1), (B; -1), (C; 2)\} $~.
\begin{enumerate}
    \item Montrer que ~$ J = \text{Bary}\{(B; -1), (C; 2)\} $~.
    \item Construire le point ~$ K = \text{Bary}\{(A; 1), (C; 2)\} $~.
    \item Montrer que ~$ G $~ est le milieu du segment ~$[AJ]$~, puis construire le point ~$ G $~.
    \item Montrer que les points ~$ G, B $~ et ~$ K $~ sont alignés.
    \item Montrer que le point ~$ K $~ est le centre de gravité du triangle ~$ ABJ $~.
    \item Sachant que ~$ A(1; 2) $~, ~$ B(-1; 3) $~ et ~$ C(-1; 0) $~, déterminer les coordonnées de ~$ G $~.
    \item Déterminer l'ensemble des points ~$ M $~ du plan tels que :
    ~$ \| \overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} \| = 2 \times \| -\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} \| $~.
\end{enumerate}
}

% Exercise 3
\printexo{3}{}{
On considère ~$ A(1; 3) $~ et ~$ B(3; 1) $~ deux points du plan, et on considère ~$ (\mathcal C) $~ l’ensemble des points ~$ M(x; y) $~ tel que : ~$ \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 3 $~.

\begin{enumerate}
    \item
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que l’équation de l’ensemble ~$ (\mathcal C) $~ s’écrit sous la forme : \\
        ~$ x^2 + y^2 - 4x - 4y + 3 = 0 $~.
        \item Vérifier que ~$ (\mathcal C) $~ est un cercle de centre ~$ \Omega $~ et de rayon ~$ R $~ à déterminer.
    \end{enumerate}

    \item
    \begin{enumerate}
        \item Vérifier que ~$ H(1; 4) \in (\mathcal C) $~.
        \item Déterminer une équation de la droite ~$ (D) $~ tangente au cercle ~$ (\mathcal C) $~ en ~$ H $~.
    \end{enumerate}

    \item Soit ~$ (\Delta) $~ la droite passant par ~$ C(0; 1) $~ et de vecteur normal ~$ \overrightarrow{n}(1; 3) $~.
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que l’équation cartésienne de ~$ (\Delta) $~ est ~$ x + 3y - 3 = 0 $~.
        \item Calculer ~$ d(\Omega; (\Delta)) $~ puis déduire que ~$ (\Delta) $~ coupe le cercle ~$ (\mathcal C) $~ en deux points ~$ E $~ et ~$ F $~.
        \item Déterminer les coordonnées de ~$ E $~ et ~$ F $~.
        \item Résoudre graphiquement le système :
        ~$
        \begin{cases}
            x + 3y - 3 > 0 \\
            x^2 + y^2 - 4x - 4y + 3 \leq 0
        \end{cases}
        $~
    \end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\end{document}