\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath, amssymb}
\usepackage{geometry}
\geometry{top=1cm, bottom=1cm, left=1cm, right=1cm}
\usepackage{array}

\title{Devoir surveillé n°1}
\date{}
\author{}

\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{center}
    \textbf{1\textsuperscript{er} bac S.E} \hfill \textbf{Durée : 2 heures} \\
    \textbf{Devoir surveillé n°1}
\end{center}

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
    \textit{Un point de plus sur la clarté des raisonnements et la propreté de la feuille}
\end{center}


\section*{Exercice 1: \textit{5.5pts}}
\noindent
\begin{tabular}{>{\hfill}p{0.07\textwidth}|p{0.9\textwidth}}
    & \textbf{1}~$-$ On considère la proposition \( (P) : \forall (x, y) \in \mathbb{R}^2; |x - y| \leq 2\sqrt{x^2 + xy + y^2} \). \\
    1.5& \hspace*{0.7cm}(a) Montrer par des équivalences successives que la proposition \( (P) \) est vraie. \\
    0.5& \hspace*{0.7cm}(b) Nier la proposition \( P \). \\
    1.5  & \textbf{2}~$-$ Posons \( \forall n \in \mathbb{N} : S_n = 1 + 3 + 5 + \dots + (2n + 1) \). \\
    & \hspace*{0.7cm} Montrer par récurrence sur \( n \) que \( \forall n \in \mathbb{N} : S_n = (n + 1)^2 \). \\
    1&\textbf{3}~$-$ Montrer par la contre-posé que \( \forall n \in \mathbb{N} : n^2 + n \) est impair. \\
    1&\textbf{4}~$-$ En utilisant la disjonction des cas, résoudre dans \( \mathbb{R} \) l'équation \( \sqrt{x^2 + 1} = 2x \). \\
    1&\textbf{5}~$-$ Soient \( a \in \mathbb{R} \) et \( b \in \mathbb{R} \) tels que \( 2(a^2 + b^2) = 5ab \). Montrer par l'absurde que \( a \neq b \). \\
\end{tabular}

\vspace{0.2cm}

\section*{Exercice 2: \textit{14.5pts}}

\subsection*{Partie 1: \textit{4.5pts}}
Soit \( f \) la fonction définie sur \( \mathbb{R} \) par \( f(x) = \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1} \).\\[1em]
\noindent
\begin{tabular}{>{\hfill}p{0.07\textwidth}|p{0.9\textwidth}}
    1  & \textbf{a.} Vérifier que \( \forall x \in \mathbb{R} : x^2 + x + 1 > 0 \) et en déduire que \( \forall x \in \mathbb{R} : y = \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1} \in ]0, 1] \). \\
    1  & \textbf{b.} Soit \( (x, y) \in \mathbb{R}^2 \) tel que \( x \neq y \) : Montrer que \( \frac{f(x) - f(y)}{x - y} = \frac{2(xy - 1)}{(x^2 + x + 1)(y^2 + y + 1)} \). \\
    1  & \textbf{c.} Montrer que \( f \) est décroissante sur \( [-1, 1] \) et croissante sur \( [1, +\infty[ \). \\
    1.5 & \textbf{d.} Déduire le tableau de variations de \( f \) sur \( [-1, +\infty[ \). \\
\end{tabular}

\subsection*{Partie 2: \textit{7.5pts}}
\noindent
Soient \( g \) une fonction telle que \( g(x) = \sqrt{x + 1} \) et \( (C_g) \) sa courbe dans un repère orthonormé.\\
On considère la droite \( (D) \) d'équation cartésienne \( y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \).\\[1em]
\noindent
\begin{tabular}{>{\hfill}p{0.07\textwidth}|p{0.9\textwidth}}
    1   & Vérifier que \( D_g = [-1, +\infty[ \). \\
    1.5 & Montrer que \( g \) est strictement croissante sur \( [-1, +\infty[ \). \\
    1   & Calculer \( g(-1) \), \( g(3) \) puis construire dans le même repère la courbe \( (C_g) \) et la droite \( (D) \). \\
    1.5 & Déterminer graphiquement l'image de l'intervalle \( [-1, 0] \) et celle de \( [0, +\infty[ \) par \( g \). \\
    1   & Résoudre graphiquement l'équation \( \sqrt{x + 1} = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \). \\
    1.5 & Résoudre graphiquement l'inéquation \( \sqrt{x + 1} \geq \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \). \\
\end{tabular}

\subsection*{Partie 3: \textit{2.5pts}}
On considère la fonction \( h \) définie sur \( [-1, +\infty[ \) par \( h(x) = \frac{x + 2 - \sqrt{x + 1}}{x + 2 + \sqrt{x + 1}} \).\\[1em]
\noindent
\begin{tabular}{>{\hfill}p{0.07\textwidth}|p{0.9\textwidth}}
    1   & Vérifier que \( \forall x \in [-1, +\infty[ : f \circ g (x) = h(x) \). \\
    1.5 & Déterminer le sens de variations de \( h \) sur les intervalles \( ]-1, 0] \) et \( [0, +\infty[ \). \\
\end{tabular}

\vspace{1cm}
\begin{center}
    \textit{Bonne chance à tous}
\end{center}

\vfill
\begin{flushleft}
    2022-2023 \hfill \textit{C'est en forgeant qu'on devient forgeron} \hfill Prof : YYYYYYYYYY
\end{flushleft}

\end{document}

\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath, amssymb}
\usepackage{geometry}
\geometry{top=1cm, bottom=1cm, left=1cm, right=1cm}
\usepackage{array}

\title{Devoir surveillé n°1}
\date{}
\author{}

\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{center}
    \textbf{1\textsuperscript{er} bac S.E} \hfill \textbf{Durée : 2 heures} \\
    \textbf{Devoir surveillé n°1}
\end{center}

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
    \textit{Un point de plus sur la clarté des raisonnements et la propreté de la feuille}
\end{center}


\section*{Exercice 1: \textit{5.5pts}}
\noindent
\begin{tabular}{>{\hfill}p{0.07\textwidth}|p{0.9\textwidth}}
    & \textbf{1}~$-$ On considère la proposition \( (P) : \forall (x, y) \in \mathbb{R}^2; |x - y| \leq 2\sqrt{x^2 + xy + y^2} \). \\
    1.5& \hspace*{0.7cm}(a) Montrer par des équivalences successives que la proposition \( (P) \) est vraie. \\
    0.5& \hspace*{0.7cm}(b) Nier la proposition \( P \). \\
    1.5  & \textbf{2}~$-$ Posons \( \forall n \in \mathbb{N} : S_n = 1 + 3 + 5 + \dots + (2n + 1) \). \\
    & \hspace*{0.7cm} Montrer par récurrence sur \( n \) que \( \forall n \in \mathbb{N} : S_n = (n + 1)^2 \). \\
    1&\textbf{3}~$-$ Montrer par la contre-posé que \( \forall n \in \mathbb{N} : n^2 + n \) est impair. \\
    1&\textbf{4}~$-$ En utilisant la disjonction des cas, résoudre dans \( \mathbb{R} \) l'équation \( \sqrt{x^2 + 1} = 2x \). \\
    1&\textbf{5}~$-$ Soient \( a \in \mathbb{R} \) et \( b \in \mathbb{R} \) tels que \( 2(a^2 + b^2) = 5ab \). Montrer par l'absurde que \( a \neq b \). \\
\end{tabular}

\vspace{0.2cm}

\section*{Exercice 2: \textit{14.5pts}}

\subsection*{Partie 1: \textit{4.5pts}}
Soit \( f \) la fonction définie sur \( \mathbb{R} \) par \( f(x) = \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1} \).\\[1em]
\noindent
\begin{tabular}{>{\hfill}p{0.07\textwidth}|p{0.9\textwidth}}
    1  & \textbf{a.} Vérifier que \( \forall x \in \mathbb{R} : x^2 + x + 1 > 0 \) et en déduire que \( \forall x \in \mathbb{R} : y = \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1} \in ]0, 1] \). \\
    1  & \textbf{b.} Soit \( (x, y) \in \mathbb{R}^2 \) tel que \( x \neq y \) : Montrer que \( \frac{f(x) - f(y)}{x - y} = \frac{2(xy - 1)}{(x^2 + x + 1)(y^2 + y + 1)} \). \\
    1  & \textbf{c.} Montrer que \( f \) est décroissante sur \( [-1, 1] \) et croissante sur \( [1, +\infty[ \). \\
    1.5 & \textbf{d.} Déduire le tableau de variations de \( f \) sur \( [-1, +\infty[ \). \\
\end{tabular}

\subsection*{Partie 2: \textit{7.5pts}}
\noindent
Soient \( g \) une fonction telle que \( g(x) = \sqrt{x + 1} \) et \( (C_g) \) sa courbe dans un repère orthonormé.\\
On considère la droite \( (D) \) d'équation cartésienne \( y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \).\\[1em]
\noindent
\begin{tabular}{>{\hfill}p{0.07\textwidth}|p{0.9\textwidth}}
    1   & Vérifier que \( D_g = [-1, +\infty[ \). \\
    1.5 & Montrer que \( g \) est strictement croissante sur \( [-1, +\infty[ \). \\
    1   & Calculer \( g(-1) \), \( g(3) \) puis construire dans le même repère la courbe \( (C_g) \) et la droite \( (D) \). \\
    1.5 & Déterminer graphiquement l'image de l'intervalle \( [-1, 0] \) et celle de \( [0, +\infty[ \) par \( g \). \\
    1   & Résoudre graphiquement l'équation \( \sqrt{x + 1} = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \). \\
    1.5 & Résoudre graphiquement l'inéquation \( \sqrt{x + 1} \geq \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \). \\
\end{tabular}

\subsection*{Partie 3: \textit{2.5pts}}
On considère la fonction \( h \) définie sur \( [-1, +\infty[ \) par \( h(x) = \frac{x + 2 - \sqrt{x + 1}}{x + 2 + \sqrt{x + 1}} \).\\[1em]
\noindent
\begin{tabular}{>{\hfill}p{0.07\textwidth}|p{0.9\textwidth}}
    1   & Vérifier que \( \forall x \in [-1, +\infty[ : f \circ g (x) = h(x) \). \\
    1.5 & Déterminer le sens de variations de \( h \) sur les intervalles \( ]-1, 0] \) et \( [0, +\infty[ \). \\
\end{tabular}

\vspace{1cm}
\begin{center}
    \textit{Bonne chance à tous}
\end{center}

\vfill
\begin{flushleft}
    2022-2023 \hfill \textit{C'est en forgeant qu'on devient forgeron} \hfill Prof : YYYYYYYYYY
\end{flushleft}

\end{document}