Solution — Devoir 01, S01 en arithmétiques et calcul vectoriel, 2026-2027 - ab
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Corrigé — Variante A · Devoir 01 (TCSF)
Exercice 1 — Arithmétique dans ℕ (12 points)
1. Les nombres \(x = 2420\) et \(y = 6930\)
a. Décomposition en produit de facteurs premiers
On divise successivement par les nombres premiers, en commençant par les plus petits :
\(2420 = 2 \times 1210\)
\(1210 = 2 \times 605\)
\(605 = 5 \times 121\)
\(121 = 11 \times 11\)
De la même manière :
\(6930 = 2 \times 3465\)
\(3465 = 3 \times 1155\)
\(1155 = 3 \times 385\)
\(385 = 5 \times 77\)
\(77 = 7 \times 11\)
b. Détermination de \(\mathrm{pgcd}(x,y)\) et \(\mathrm{ppcm}(x,y)\)
Le pgcd est le produit des facteurs communs affectés du plus petit exposant :
Le ppcm est le produit de tous les facteurs affectés du plus grand exposant :
Vérification de la formule \(\mathrm{pgcd}\times\mathrm{ppcm} = x\times y\)
\(\mathrm{pgcd}(x,y)\times \mathrm{ppcm}(x,y) = 110\times 152\,460 = 16\,770\,600\)
\(x\times y = 2420\times 6930 = 16\,770\,600\) ✔
Les deux résultats coïncident, ce qui confirme les calculs.
c. Simplification de \(\sqrt{5x}\) et de \(\sqrt{\dfrac{35y}{22}}\)
En utilisant la décomposition de \(x\) :
\[ 5x = 5\times 2^{2}\times 5\times 11^{2} = 2^{2}\times 5^{2}\times 11^{2} \]Les trois exposants sont pairs, donc :
\[ \sqrt{5x} = 2\times 5\times 11 = \boxed{110} \]On décompose le numérateur et le dénominateur :
\[ \frac{35y}{22} = \frac{(5\times 7)\times\bigl(2\times 3^{2}\times 5\times 7\times 11\bigr)}{2\times 11} \]Les facteurs \(2\) et \(11\) se simplifient :
\[ \frac{35y}{22} = 3^{2}\times 5^{2}\times 7^{2} \]D'où :
\[ \sqrt{\frac{35y}{22}} = 3\times 5\times 7 = \boxed{105} \]d. Algorithme d'Euclide pour \(\mathrm{pgcd}(x,y)\)
On effectue les divisions euclidiennes successives de \(6930\) par \(2420\) :
| Dividende | Diviseur | Quotient | Reste |
|---|---|---|---|
| 6930 | 2420 | 2 | 2090 |
| 2420 | 2090 | 1 | 330 |
| 2090 | 330 | 6 | 110 |
| 330 | 110 | 3 | 0 |
Le dernier reste non nul est \(110\), donc :
2. Le nombre \(371\) est-il premier ?
On cherche les nombres premiers \(p \le \sqrt{371}\). Or \(\sqrt{371} \approx 19{,}26\) : il suffit donc de tester \(2,\,3,\,5,\,7,\,11,\,13,\,17,\,19\).
| \(p\) | Division de 371 | Reste |
|---|---|---|
| 2 | 371 impair | ≠ 0 |
| 3 | \(3+7+1 = 11\) | ≠ 0 |
| 5 | ne finit pas par 0 ou 5 | ≠ 0 |
| 7 | \(371 = 7\times 53\) | 0 |
\(371\) admet un diviseur autre que \(1\) et lui-même : \(371\) n'est pas premier.
3. Parité du nombre \(a = n^{2}-n+1\)
On factorise partiellement :
Les entiers \(n\) et \(n-1\) sont consécutifs : l'un des deux est nécessairement pair, donc leur produit \(n(n-1)\) est pair.
Par suite \(n(n-1) = 2k\) pour un certain \(k\in\mathbb{N}\), et :
Cas 1 : \(n\) pair. Il existe \(k\in\mathbb{N}\) tel que \(n=2k\). Alors
\[ a = (2k)^2 - (2k) + 1 = 4k^2 - 2k + 1 = 2(2k^2 - k) + 1, \]donc \(a\) est impair.
Cas 2 : \(n\) impair. Il existe \(k\in\mathbb{N}\) tel que \(n=2k+1\). Alors
\[ a = (2k+1)^2 - (2k+1) + 1. \]On développe :
\[ a = (4k^2+4k+1) - 2k - 1 + 1 = 4k^2 + 2k + 1 = 2(2k^2 + k) + 1, \]donc \(a\) est impair.
Dans tous les cas, \(a\) est impair.
4. Ensemble des diviseurs de \(42\)
On décompose :
Le nombre de diviseurs positifs vaut donc \((1+1)(1+1)(1+1) = 8\).
Exercice 2 — Calcul vectoriel (8 points)
Soit \(ABC\) un triangle. Les points \(I\), \(J\) et \(K\) sont définis par :
1. Construction de la figure
- Placer \(I\), milieu de \([AB]\) (deux graduations égales sur \([AB]\)).
- Partager \([AC]\) en cinq parts égales et placer \(J\) à la deuxième graduation à partir de \(A\).
- Comme \(\overrightarrow{BK} = -2\overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{CB}\), le point \(K\) se trouve sur la demi-droite \([BC)\) au-delà de \(B\), avec \(BK = 2\,BC\).
2. Expression de \(\overrightarrow{IJ}\) et de \(\overrightarrow{IK}\)
Par la relation de Chasles :
\[ \overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AJ} = -\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AJ} \]En utilisant les définitions :
\[ \overrightarrow{IJ} = -\tfrac12\overrightarrow{AB}+\tfrac25\overrightarrow{AC} \]Ce qui est bien le résultat annoncé.
On commence par exprimer \(\overrightarrow{AK}\) :
\[ \overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BK} = \overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{BC} \]Or \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\), donc :
\[ \overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AB}-2\bigl(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\bigr) = 3\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC} \]D'où, par Chasles :
\[ \overrightarrow{IK} = \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AK} = -\tfrac12\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC} \] \[ \overrightarrow{IK} = \tfrac52\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC} \]3. Colinéarité de \(\overrightarrow{IJ}\) et de \(\overrightarrow{IK}\)
Comparons les deux expressions :
\[ \overrightarrow{IJ} = -\tfrac12\overrightarrow{AB}+\tfrac25\overrightarrow{AC} \] \[ \overrightarrow{IK} = \tfrac52\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC} \]On remarque que :
\[ -5\times\left(-\tfrac12\right) = \tfrac52 \qquad\text{et}\qquad -5\times\tfrac25 = -2 \]Par conséquent :
\[ \overrightarrow{IK} = -5\,\overrightarrow{IJ} \]4. Alignement des points \(I\), \(J\) et \(K\)
Les vecteurs \(\overrightarrow{IJ}\) et \(\overrightarrow{IK}\) sont colinéaires et possèdent le même point d'origine \(I\).
On en déduit que les points \(I\), \(J\) et \(K\) sont alignés.
Plus précisément, comme \(\overrightarrow{IK}=-5\overrightarrow{IJ}\) avec \(k<0\), le point \(I\) se trouve entre \(J\) et \(K\), ce que la figure confirme.
Corrigé — Variante B · Devoir 01 (TCSF)
Exercice 1 — Arithmétique dans ℕ (12 points)
On pose \(a = 2160\) et \(b = 4860\).
1. a) Décomposition, pgcd et ppcm
Décompositions en produits de facteurs premiers
\(2160 = 2 \times 1080\)
\(1080 = 2 \times 540\)
\(540 = 2 \times 270\)
\(270 = 2 \times 135\)
\(135 = 3 \times 45\)
\(45 = 3 \times 15\)
\(15 = 3 \times 5\)
\(4860 = 2 \times 2430\)
\(2430 = 2 \times 1215\)
\(1215 = 3 \times 405\)
\(405 = 3 \times 135\)
\(135 = 3 \times 45\)
\(45 = 3 \times 15\)
\(15 = 3 \times 5\)
Calcul du pgcd et du ppcm
Les facteurs communs sont \(2\), \(3\) et \(5\). On prend le plus petit exposant pour le pgcd :
Pour le ppcm, on prend tous les facteurs avec le plus grand exposant :
Vérification : \(\mathrm{pgcd}\times\mathrm{ppcm}=a\times b\)
\(\mathrm{pgcd}(a,b)\times\mathrm{ppcm}(a,b) = 540\times 19\,440 = 10\,497\,600\)
\(a\times b = 2160\times 4860 = 10\,497\,600\) ✔
1. b) Montrer que \(\sqrt{a\times b}\) est un entier naturel
On multiplie les deux décompositions :
\[ ab = \bigl(2^{4}\times 3^{3}\times 5\bigr)\times\bigl(2^{2}\times 3^{5}\times 5\bigr) \] \[ ab = 2^{6}\times 3^{8}\times 5^{2} \]Tous les exposants sont pairs : le produit \(ab\) est donc un carré parfait. Plus précisément :
\[ ab = \bigl(2^{3}\times 3^{4}\times 5\bigr)^{2} \]Par conséquent :
\[ \sqrt{ab} = 2^{3}\times 3^{4}\times 5 = 8\times 81\times 5 = 3240 \]qui est bien un entier naturel.
1. c) Simplification de \(\dfrac{a}{b}\) et de \(\sqrt{ab}\)
D'après la question précédente :
\[ \boxed{\sqrt{ab} = 3240} \]2. \(A = 7^{\,n+2}-7^{\,n}\) est un multiple de \(3\)
On factorise par \(7^{n}\) :
\[ A = 7^{n+2}-7^{n} = 7^{n}\bigl(7^{2}-1\bigr) = 7^{n}\times 48 \]Or \(48 = 3\times 16\), donc :
\[ A = 3\times\bigl(16\times 7^{n}\bigr) \]Le nombre \(16\times 7^{n}\) est un entier naturel, ce qui prouve que \(A\) est divisible par \(3\).
3. Le nombre \(337\) est-il premier ?
On a \(\sqrt{337}\approx 18{,}36\) : il suffit de tester les nombres premiers \(p\le 18\), c'est-à-dire \(2,\,3,\,5,\,7,\,11,\,13,\,17\).
| \(p\) | Test | Conclusion |
|---|---|---|
| 2 | 337 est impair | ne divise pas |
| 3 | \(3+3+7=13\) | ne divise pas |
| 5 | ne finit pas par 0 ou 5 | ne divise pas |
| 7 | \(7\times 48 = 336\) | reste \(1\) |
| 11 | \(11\times 30 = 330\) | reste \(7\) |
| 13 | \(13\times 25 = 325\) | reste \(12\) |
| 17 | \(17\times 19 = 323\) | reste \(14\) |
4. Parité, diviseurs de \(28\) et équation \(x^{2}-y^{2}=28\)
a) \(x+y\) et \(x-y\) ont la même parité
Calculons la différence des deux nombres :
\[ (x+y)-(x-y) = 2y \]Or \(2y\) est un entier pair. La différence de \(x+y\) et de \(x-y\) étant paire, ces deux entiers ont nécessairement la même parité.
Cas 1 : \(x\) et \(y\) pairs. \(x=2k,\ y=2l\). Alors
\[ x+y=2(k+l) \qquad\text{et}\qquad x-y=2(k-l), \]donc \(x+y\) et \(x-y\) sont pairs.
Cas 2 : \(x\) et \(y\) impairs. \(x=2k+1,\ y=2l+1\). Alors
\[ x+y=2(k+l+1) \qquad\text{et}\qquad x-y=2(k-l), \]donc \(x+y\) et \(x-y\) sont pairs.
Cas 3 : parités différentes. Par exemple \(x=2k,\ y=2l+1\). Alors
\[ x+y=2(k+l)+1 \qquad\text{et}\qquad x-y=2(k-l)-1, \]donc \(x+y\) et \(x-y\) sont impairs.
Dans tous les cas, \(x+y\) et \(x-y\) ont la même parité.
b) Diviseurs de \(28\)
Le nombre de diviseurs positifs est \((2+1)(1+1) = 6\).
c) Résolution de \(x^{2}-y^{2}=28\) dans \(\mathbb{N}\)
On factorise l'équation :
\[ x^{2}-y^{2}=28 \iff (x-y)(x+y)=28. \]D'après la question a), les entiers \(x-y\) et \(x+y\) ont la même parité. Comme leur produit \(28\) est pair, ils sont tous les deux pairs.
Les diviseurs positifs de \(28\) sont \(1,2,4,7,14,28\). Les diviseurs pairs sont \(2,4,14,28\). On forme les couples \((x+y,\;x-y)\) avec \(x+y\ge x-y>0\) :
| \(x+y\) | \(x-y\) | Même parité ? | Solution |
|---|---|---|---|
| 14 | 2 | oui | \(x=8,\ y=6\) |
| 28 | 1 | non | rejeté |
| 4 | 7 | non | rejeté |
| 2 | 14 | impossible car \(x-y>x+y\) | rejeté |
Seul le couple \((14,2)\) convient : \(x+y=14\) et \(x-y=2\), d'où \(x=8\) et \(y=6\).
Vérification : \(8^{2}-6^{2}=64-36=28\) ✔
Exercice 2 — Calcul vectoriel (8 points)
Soit \(ABC\) un triangle et \(G\), \(D\) deux points tels que :
1. Construction de la figure
En divisant la première égalité par \(3\) :
\[ \overrightarrow{AG}=\frac43\,\overrightarrow{AB}-\frac23\,\overrightarrow{AC} \]Le point \(D\) est sur le segment \([AB]\), au quatre-cinquièmes à partir de \(A\).
- Tracer le triangle \(ABC\).
- Partager \([AB]\) en cinq parts égales et placer \(D\) à la quatrième graduation à partir de \(A\).
- Tracer en rouge le vecteur \(\frac43\overrightarrow{AB}\) à partir de \(A\) : il prolonge \([AB]\) au-delà de \(B\).
- Tracer en vert le vecteur \(-\frac23\overrightarrow{AC}\) à partir de \(A\) : c'est l'opposé du vecteur \(\overrightarrow{AC}\).
- Compléter le parallélogramme : la somme de ces deux vecteurs donne \(\overrightarrow{AG}\). Le point \(G\) est le sommet opposé à \(A\).
- Constater que \(C\), \(D\) et \(G\) semblent alignés (à démontrer).
2. Alignement des points \(D\), \(C\) et \(G\)
Exprimons \(\overrightarrow{CG}\) en fonction de \(\overrightarrow{CD}\).
Étape 1 — Expression de \(\overrightarrow{CG}\) :
\[ \overrightarrow{CG} = \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AG} = -\overrightarrow{AC}+\frac43\overrightarrow{AB}-\frac23\overrightarrow{AC} = \frac43\overrightarrow{AB}-\frac53\overrightarrow{AC}. \]Étape 2 — Expression de \(\overrightarrow{CD}\) :
\[ \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD} = -\overrightarrow{AC}+\frac45\overrightarrow{AB} = \frac45\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}. \]Étape 3 — Multiplication et développement :
On calcule \(\frac53\overrightarrow{CD}\) :
\[ \frac53\overrightarrow{CD} = \frac53\left(\frac45\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right) = \frac53\cdot\frac45\overrightarrow{AB}-\frac53\overrightarrow{AC} = \frac43\overrightarrow{AB}-\frac53\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CG}. \]On a donc bien :
\[ \overrightarrow{CG}=\frac53\overrightarrow{CD}. \]Les vecteurs \(\overrightarrow{CD}\) et \(\overrightarrow{CG}\) sont colinéaires et ont la même origine \(C\) : les points \(C\), \(D\) et \(G\) sont donc alignés.
Comme \(k=\frac53>0\), les points \(D\) et \(G\) se trouvent du même côté de \(C\), et \(G\) est plus éloigné de \(C\) que ne l'est \(D\).
Les deux exercices de calcul vectoriel reposent sur le même schéma :
- Choisir une base adaptée, ici \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\).
- Exprimer les vecteurs étudiés dans cette base à l'aide de Chasles.
- Mettre en évidence un coefficient de proportionnalité \(k\).
- Conclure à la colinéarité, puis à l'alignement (même origine).
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