1. Décomposition, pgcd et ppcm

\[ 216=2^3\times 3^3,\qquad 312=2^3\times 3\times 13. \]

Donc \[ \operatorname{pgcd}(216,312)=2^3\times 3=24, \] et \[ \operatorname{ppcm}(216,312) =2^3\times 3^3\times 13=2808. \]

Ensuite, \[ \sqrt{ab}=\sqrt{216\times 312} =\sqrt{2^6\times 3^4\times 13} =2^3\times 3^2\sqrt{13} =72\sqrt{13}, \] et \[ \frac{a}{b}=\frac{216}{312}=\frac{9}{13}. \]

2. Le nombre \(317\) est-il premier ?

On a \(17^2=289\) et \(18^2=324\), donc il suffit de tester les nombres premiers \(2,3,5,7,11,13,17\).

Aucune division ne donne un reste nul, donc \(317\) est premier.

3. Algorithme d’Euclide pour \(\operatorname{pgcd}(1344,4500)\)

\[ \begin{aligned} 4500&=3\times 1344+468,\\ 1344&=2\times 468+408,\\ 468&=1\times 408+60,\\ 408&=6\times 60+48,\\ 60&=1\times 48+12,\\ 48&=4\times 12+0. \end{aligned} \] Le dernier reste non nul est \(12\), donc \[ \operatorname{pgcd}(1344,4500)=12. \]

4. Parité de \(A=n^3+n^2+n+1\)

On factorise : \[ A=n^3+n^2+n+1=(n+1)(n^2+1). \]

• Si \(n\) est pair, alors \(n+1\) est impair et \(n^2+1\) est impair. Donc \(A\) est impair.
• Si \(n\) est impair, alors \(n+1\) est pair et \(n^2+1\) est pair. Donc \(A\) est pair.

Conclusion : \(A\) est pair lorsque \(n\) est impair, et \(A\) est impair lorsque \(n\) est pair.

5. Résolution de \((x-4)(y+7)=26\) dans \(\mathbb N\times\mathbb N\)

Il y a bien une erreur de frappe dans l’énoncé : l’équation est \[ (x-4)(y+7)=26. \] On commence par la méthode avec une seule inconnue, puis on l’applique à deux inconnues.

a. Méthode avec une seule inconnue : \((x-4)(x+7)=26\)

Posons \[ A=x-4,\qquad B=x+7. \] Alors \[ B-A=(x+7)-(x-4)=11. \] Les diviseurs positifs de \(26\) sont \[ 1,\ 2,\ 13,\ 26. \] On teste les couples \((A,B)\) dont le produit vaut \(26\) :

\[ \begin{cases} A=1\\ B=26 \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} x-4=1\\ x+7=26 \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} x=5\\ x=19 \end{cases} \quad\text{impossible} \]

\[ \begin{cases} A=2\\ B=13 \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} x-4=2\\ x+7=13 \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} x=6\\ x=6 \end{cases} \quad\text{donc } x=6 \]

\[ \begin{cases} A=13\\ B=2 \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} x-4=13\\ x+7=2 \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} x=17\\ x=-5 \end{cases} \quad\text{impossible} \]

\[ \begin{cases} A=26\\ B=1 \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} x-4=26\\ x+7=1 \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} x=30\\ x=-6 \end{cases} \quad\text{impossible} \]

Dans \(\mathbb N\), la seule solution est donc \[ \boxed{x=6}. \]

b. Résolution de \((x-4)(y+7)=26\) dans \(\mathbb N\times\mathbb N\)

Posons \[ A=x-4,\qquad B=y+7. \] Alors \[ AB=26. \] Les diviseurs positifs de \(26\) sont \[ 1,\ 2,\ 13,\ 26. \] On teste toutes les combinaisons possibles :

\[ \begin{cases} x-4=1\\ y+7=26 \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} x=5\\ y=19 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} x-4=2\\ y+7=13 \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} x=6\\ y=6 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} x-4=13\\ y+7=2 \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} x=17\\ y=-5 \end{cases} \quad\text{impossible car } y\notin\mathbb N \]

\[ \begin{cases} x-4=26\\ y+7=1 \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} x=30\\ y=-6 \end{cases} \quad\text{impossible car } y\notin\mathbb N \]

Finalement, les solutions dans \(\mathbb N\times\mathbb N\) sont \[ \boxed{(x,y)=(5,19)\ \text{ou}\ (x,y)=(6,6)}. \]

2. Calculs vectoriels

On part de \[ \overrightarrow{BD}=\frac23\overrightarrow{BC}. \] Donc \[ \overrightarrow{AD} =\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD} =\overrightarrow{AB}+\frac23\overrightarrow{BC}. \] Comme \(\overrightarrow{AE}=-2\overrightarrow{AD}\), on a \[ \overrightarrow{EA} =-\overrightarrow{AE} =2\overrightarrow{AD} =2\overrightarrow{AB}+\frac43\overrightarrow{BC}. \]

Ensuite, \[ \overrightarrow{BE} =\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE} =-\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AD} =-3\overrightarrow{AB}-\frac43\overrightarrow{BC}. \] Or \(\overrightarrow{BF}=\frac35\overrightarrow{BE}\), donc \[ \overrightarrow{BF} =-\frac95\overrightarrow{AB}-\frac45\overrightarrow{BC}. \] Ainsi, \[ \overrightarrow{FB} =-\overrightarrow{BF} =\frac95\overrightarrow{AB}+\frac45\overrightarrow{BC}. \]

3. Alignement de \(A,F,C\)

\[ \begin{aligned} \overrightarrow{AF} &=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}\\ &=\overrightarrow{AB}-\frac95\overrightarrow{AB}-\frac45\overrightarrow{BC}\\ &=-\frac45\overrightarrow{AB}-\frac45\overrightarrow{BC}\\ &=-\frac45\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)\\ &=-\frac45\overrightarrow{AC}. \end{aligned} \] Les vecteurs \(\overrightarrow{AF}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires, donc les points \(A,F,C\) sont alignés.

1. Position de \(J\)

La relation donnée est \[ 3\overrightarrow{AJ}-2\overrightarrow{JB}=\overrightarrow{0}. \] On en déduit \[ 3\overrightarrow{AJ}=2\overrightarrow{JB}. \] Écrivons la relation de Chasles en addition, avec le point \(J\) intermédiaire entre \(A\) et \(B\) : \[ \overrightarrow{AJ}+\overrightarrow{JB}=\overrightarrow{AB}. \] En passant \(\overrightarrow{AJ}\) de l'autre côté, on obtient : \[ \overrightarrow{JB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AJ}. \] En remplaçant dans l'égalité \(3\overrightarrow{AJ}=2\overrightarrow{JB}\) : \[ 3\overrightarrow{AJ} =2\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AJ}\right) =2\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AJ}. \] Donc \[ 5\overrightarrow{AJ}=2\overrightarrow{AB}, \qquad\text{c'est-à-dire}\qquad \overrightarrow{AJ}=\frac25\overrightarrow{AB}. \] Puis, en utilisant à nouveau \(\overrightarrow{JB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AJ}\) : \[ \overrightarrow{JB} =\overrightarrow{AB}-\frac25\overrightarrow{AB} =\frac35\overrightarrow{AB}. \] Comme \(0<\dfrac25<1\), le point \(J\) appartient au segment \([AB]\), avec \[ AJ=\frac25\,AB,\qquad JB=\frac35\,AB. \]

2. Calcul de \(\dfrac{KC}{KB}\)

Dans le triangle \(ABC\), on a \(J\in[AB]\), la parallèle à \((AC)\) passant par \(J\) coupe \((BC)\) en \(K\), donc \((JK)\parallel(AC)\). D'après le théorème de Thalès : \[ \frac{BJ}{BA}=\frac{BK}{BC}. \] Or d'après la question 1, \(BJ=\dfrac35\,AB=\dfrac35\,BA\). Donc \[ \frac{BK}{BC}=\frac35, \qquad\text{d'où}\qquad BK=\frac35\,BC. \] Comme \(0<\dfrac35<1\), le point \(K\) appartient au segment \([BC]\), et \[ KC=BC-BK=BC-\frac35\,BC=\frac25\,BC. \] Par suite, \[ \frac{KC}{KB} =\frac{\frac25\,BC}{\frac35\,BC} =\frac23. \]

3. Montrer que \(3\overrightarrow{KC}=-2\overrightarrow{KB}\)

D'après la question 2, \(K\in[BC]\) avec \(BK=\dfrac35\,BC\) et \(KC=\dfrac25\,BC\). Comme \(B,K,C\) sont alignés dans cet ordre, les vecteurs \(\overrightarrow{KC}\) et \(\overrightarrow{BC}\) ont le même sens, tandis que \(\overrightarrow{KB}\) et \(\overrightarrow{BC}\) ont des sens opposés. D'où \[ \overrightarrow{KC}=\frac25\overrightarrow{BC}, \qquad \overrightarrow{KB}=-\frac35\overrightarrow{BC}. \] On calcule alors \[ 3\overrightarrow{KC} =3\times\frac25\overrightarrow{BC} =\frac65\overrightarrow{BC}, \] et \[ -2\overrightarrow{KB} =-2\times\left(-\frac35\overrightarrow{BC}\right) =\frac65\overrightarrow{BC}. \] Les deux vecteurs sont égaux : \[ \boxed{3\overrightarrow{KC}=-2\overrightarrow{KB}}. \]

4. Montrer que \(\overrightarrow{AK}=\dfrac25\overrightarrow{AB}+\dfrac35\overrightarrow{AC}\)

Écrivons la relation de Chasles en addition, avec le point \(B\) intermédiaire entre \(A\) et \(C\) : \[ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}. \] En passant \(\overrightarrow{AB}\) de l'autre côté, on obtient : \[ \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}. \] D'autre part, en utilisant la relation de Chasles en addition avec le point \(K\) intermédiaire entre \(A\) et \(B\) : \[ \overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BK}. \] Or d'après la question 2, \(\overrightarrow{BK}=\dfrac35\overrightarrow{BC}\). Donc \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AK} &=\overrightarrow{AB}+\frac35\overrightarrow{BC}\\ &=\overrightarrow{AB}+\frac35\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)\\ &=\overrightarrow{AB}+\frac35\overrightarrow{AC}-\frac35\overrightarrow{AB}\\ &=\frac25\overrightarrow{AB}+\frac35\overrightarrow{AC}. \end{aligned} \] \[ \boxed{\overrightarrow{AK}=\frac25\overrightarrow{AB}+\frac35\overrightarrow{AC}}. \]

5. Montrer que \(I,K,H\) sont alignés

On a \(I\) milieu de \([AB]\), donc \[ \overrightarrow{AI}=\frac12\overrightarrow{AB}, \] et on a \[ \overrightarrow{AH}=3\overrightarrow{AC}. \]

Pour calculer \(\overrightarrow{IK}\), écrivons la relation de Chasles en addition avec le point \(K\) intermédiaire entre \(A\) et \(I\) (ou plutôt entre \(I\) et \(A\)) : \[ \overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IK}=\overrightarrow{AK}. \] En passant \(\overrightarrow{AI}\) de l'autre côté : \[ \overrightarrow{IK}=\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AI}. \] Donc \[ \begin{aligned} \overrightarrow{IK} &=\left(\frac25\overrightarrow{AB}+\frac35\overrightarrow{AC}\right) -\frac12\overrightarrow{AB}\\ &=\left(\frac25-\frac12\right)\overrightarrow{AB} +\frac35\overrightarrow{AC}\\ &=-\frac1{10}\overrightarrow{AB}+\frac35\overrightarrow{AC}. \end{aligned} \]

De même, pour calculer \(\overrightarrow{IH}\), écrivons la relation de Chasles en addition avec le point \(H\) intermédiaire entre \(A\) et \(I\) : \[ \overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IH}=\overrightarrow{AH}. \] En passant \(\overrightarrow{AI}\) de l'autre côté : \[ \overrightarrow{IH}=\overrightarrow{AH}-\overrightarrow{AI}. \] Donc \[ \begin{aligned} \overrightarrow{IH} &=3\overrightarrow{AC}-\frac12\overrightarrow{AB}\\ &=-\frac12\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}. \end{aligned} \]

On remarque que \[ 5\overrightarrow{IK} =5\left(-\frac1{10}\overrightarrow{AB}+\frac35\overrightarrow{AC}\right) =-\frac12\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC} =\overrightarrow{IH}. \] Donc \[ \boxed{\overrightarrow{IH}=5\overrightarrow{IK}}. \] Les vecteurs \(\overrightarrow{IH}\) et \(\overrightarrow{IK}\) sont colinéaires et partagent le point \(I\) : les points \(I,K,H\) sont alignés.

1. Construction de la figure

2. Montrer que \(\overrightarrow{BJ}=\dfrac45\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{BI}=\dfrac45\overrightarrow{BA}\)

Le centre \(O\) du parallélogramme est le milieu de \([AC]\) et de \([BD]\), donc \( BO=\frac12 BD.\)
Et on a \(\overrightarrow{BM}=\dfrac25\overrightarrow{BD}\) Donc \(BM=\frac25 BD.\)
Ainsi \[ \frac{BM}{BO} =\frac{\frac25 BD}{\frac12 BD} =\frac45. \]

a) Dans le triangle \(BOC\)

On a \(M\in[BO]\), \(J\in[BC]\) (par définition, \(J\) est l'intersection de \((\Delta)\) avec \((BC)\)), et \[ (MJ)\parallel(AC). \] On a \((MJ)\parallel(OC)\). D'après le théorème de Thalès dans le triangle \(BOC\) : \[ \frac{BJ}{BC}=\frac{BM}{BO}=\frac45. \] Donc \(BJ=\dfrac45 BC\). Comme \(J\in[BC]\), les vecteurs \(\overrightarrow{BJ}\) et \(\overrightarrow{BC}\) ont le même sens, d'où \[ \boxed{\overrightarrow{BJ}=\frac45\overrightarrow{BC}}. \]

b) Dans le triangle \(BOA\)

On a \(M\in[BO]\), \(I\in[BA]\), et \[ (MI)\parallel(AC)=(OA). \] D'après le théorème de Thalès dans le triangle \(BOA\) : \[ \frac{BI}{BA}=\frac{BM}{BO}=\frac45. \] Donc \(BI=\dfrac45 BA\). Comme \(I\in[BA]\), les vecteurs \(\overrightarrow{BI}\) et \(\overrightarrow{BA}\) ont le même sens, d'où \[ \boxed{\overrightarrow{BI}=\frac45\overrightarrow{BA}}. \]

3. Déterminer \(\overrightarrow{DK}\) en fonction de \(\overrightarrow{DC}\)

Méthode 1 — Théorème de Thalès dans le triangle \(BCD\)

Dans le triangle \(BCD\), on a \(J\in[BC]\), \(K\in[CD]\) et \((JK)\parallel(BD)\) par construction. D’après le théorème de Thalès : \[ \frac{CJ}{CB}=\frac{CK}{CD}. \] Or, d’après la question 2, \(BJ=\dfrac45 BC\), donc \[ CJ=BC-BJ=BC-\frac45 BC=\frac15 BC, \] c’est-à-dire \(\dfrac{CJ}{CB}=\dfrac15\). On en déduit \[ \frac{CK}{CD}=\frac15 \quad\Longrightarrow\quad CK=\frac15 CD. \] Comme \(K\in[CD]\), on a \[ \overrightarrow{DK} =\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CK} =\overrightarrow{DC}-\frac15\overrightarrow{DC} =\frac45\overrightarrow{DC}. \] \[ \boxed{\overrightarrow{DK}=\frac45\overrightarrow{DC}}. \]

Méthode 2 — Projection sur \((DC)\) parallèlement à \((BD)\)

Soit \(P\) la projection sur \((DC)\) parallèlement à \((BD)\). Par définition de \(K\), \(K\) est le projeté de \(J\) sur \((DC)\) parallèlement à \((BD)\), donc \[ P(J)=K. \] Déterminons les projetés de \(B\) et de \(C\) :

• \(P(C)=C\), car \(C\in(DC)\).
• \(P(B)=D\), car la parallèle à \((BD)\) passant par \(B\) est la droite \((BD)\) elle-même, et elle coupe \((DC)\) en \(D\).

La projection \(P\) conserve les rapports vectoriels. En projetant la relation \[ \overrightarrow{BJ}=\frac45\overrightarrow{BC}, \] on obtient donc \[ \overrightarrow{P(B)P(J)} =\frac45\,\overrightarrow{P(B)P(C)}. \] Or \(P(B)=D\), \(P(J)=K\) et \(P(C)=C\), donc \[ \overrightarrow{DK} =\frac45\overrightarrow{DC}. \] \[ \boxed{\overrightarrow{DK}=\frac45\overrightarrow{DC}}. \]