Arithmétiques dans IN — version HTML
Objectifs du chapitre
- Utiliser la parité et la décomposition en produit de facteurs premiers pour résoudre des problèmes simples portant sur les entiers naturels.
- On introduira les symboles : \(\in\), \(\notin\), \(\subset\), \(\not\subset\), \(\cup\), \(\cap\).
- L'objectif de la présentation de « notions en arithmétique » est d'initier les élèves à des modes de démonstration à travers l'utilisation des nombres pairs et des nombres impairs sans excès.
- Durée du cours : 15 h.
- Contrôle continu : ce chapitre doit représenter 60 % (12 pts) du 1er devoir.
I. L'ensemble des entiers naturels
Les nombres entiers naturels forment un ensemble qu'on note \(\mathbb{N}\). Il existe une infinité d'entiers naturels.
On a : \(\mathbb{N} = \{0;\, 1;\, 2;\, \dots\}\)
L'ensemble des entiers naturels non nuls est noté \(\mathbb{N}^* = \mathbb{N} \setminus \{0\} = \{1;\, 2;\, 3;\, \dots\}\) (\(\mathbb{N}\) privé de \(0\)).
- \(3\) est un entier naturel, on dit que \(3\) appartient à l'ensemble \(\mathbb{N}\) et on écrit \(3 \in \mathbb{N}\).
- \(-5\) n'est pas un entier naturel, on dit que \(-5\) n'appartient pas à \(\mathbb{N}\) et on écrit \(-5 \notin \mathbb{N}\).
- \(4\) est un entier naturel non nul : \(4 \in \mathbb{N}^*\).
- \(\mathbb{N}^*\) est inclus dans \(\mathbb{N}\) et on écrit \(\mathbb{N}^* \subset \mathbb{N}\).
- \(\mathbb{N}\) n'est pas inclus dans \(\mathbb{N}^*\) et on écrit \(\mathbb{N} \not\subset \mathbb{N}^*\).
La soustraction et la division ne sont pas toujours possibles dans \(\mathbb{N}\) :
- Si \(a \in \mathbb{N}\) et \(b \in \mathbb{N}\), alors \((a - b) \in \mathbb{N}\) seulement si \(a \geq b\).
- Si \(a \in \mathbb{N}\) et \(b \in \mathbb{N}^*\), alors \(\dfrac{a}{b} \in \mathbb{N}\) seulement si \(b\) divise \(a\).
- \(8 - 5 = 3\), \(3 \in \mathbb{N}\) et on a bien \(8 \geq 5\).
- \(5 - 8 = -3\), \(-3 \notin \mathbb{N}\) et \(5 \leq 8\).
- \(\dfrac{12}{3} = 4\), \(4 \in \mathbb{N}\) possible car \(12 = 4 \times 3\).
- On ne peut diviser \(2\) par \(5\) dans \(\mathbb{N}\) car \(\dfrac{2}{5} \notin \mathbb{N}\).
Solution de l'application
- \(15 \in \mathbb{N}\) ; \(\dfrac{15}{3} = 5 \in \mathbb{N}^*\) ; \(\dfrac{2\pi}{3} \notin \mathbb{N}^*\) ; \(\sqrt{12} \notin \mathbb{N}\).
- \(\sqrt{25} = 5 \in \mathbb{N}\) ; \(\{0;\, 1,5;\, 18\} \subset \mathbb{N}\) ; \(\{-2;\, 1,5;\, 18\} \not\subset \mathbb{N}\) ; \(\{0;\, 1,5;\, 8\} \not\subset \mathbb{N}^*\).
II. Nombres pairs — Nombres impairs
Écris sous la forme \(2 \times \dots\) ou \((2 \times \dots) + 1\) les nombres suivants : \(68\,;\, 69\,;\, 86\,;\, 87\,;\, 92\,;\, 93\).
Solution de l'activité
- \(68 = 2 \times 34\)
- \(69 = (2 \times 34) + 1\)
- \(86 = 2 \times 43\)
- \(87 = (2 \times 43) + 1\)
- \(92 = 2 \times 46\)
- \(93 = (2 \times 46) + 1\)
Soit \(a\) un nombre entier naturel.
- On dit que \(a\) est un nombre pair s'il existe un entier naturel \(k\) tel que \(a = 2k\).
- On dit que \(a\) est un nombre impair s'il existe un entier naturel \(k\) tel que \(a = 2k + 1\).
- \(144 = 2 \times 72\), donc \(144\) est un nombre pair.
- \(161 = 2 \times 80 + 1\), donc \(161\) est un nombre impair.
- Les nombres pairs se terminent par \(0, 2, 4, 6, 8\).
- Les nombres impairs se terminent par \(1, 3, 5, 7, 9\).
- La somme de deux nombres pairs est paire.
- La somme d'un nombre pair et d'un nombre impair est impaire.
- La somme de deux nombres impairs est paire.
- Le produit d'un nombre pair et d'un nombre impair est pair.
- Le produit de deux nombres impairs est impair.
- Montrer que le produit de deux nombres consécutifs est un nombre pair.
- Soit \(n \in \mathbb{N}\). Étudier la parité des nombres suivants : \[ A = 2n + 4;\quad B = 6n + 11;\quad C = 4n^2 + 8n + 13;\quad D = n^2 + n;\quad E = 2(n+1) + 27;\quad F = 2^{2n+1} + 35. \]
III. Diviseurs et multiples
III.1 La division euclidienne
Compléter : \(17 = 5 \times 3 + 2\) et \(658 = 13 \times \dots + \dots\)
Quel que soit l'entier naturel \(a\) et quel que soit l'entier naturel non nul \(b\), il existe deux entiers naturels uniques \(q\) et \(r\) tels que :
\[ a = bq + r \quad \text{avec} \quad 0 \leq r < b. \]Cette opération est appelée la division euclidienne de l'entier naturel \(a\) par l'entier naturel \(b\). L'entier \(q\) est le quotient et l'entier \(r\) est le reste de la division euclidienne de \(a\) par \(b\).
- Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne du nombre \(1357\) par \(13\).
- Quels sont les restes possibles de la division euclidienne d'un nombre donné par \(7\) ? par \(2\) ?
Solution de l'application
On effectue la division euclidienne :
\[ 1357 = 13 \times 104 + 5 \]Le quotient est \(104\) et le reste est \(5\).
- Les restes possibles dans la division euclidienne par \(7\) sont : \(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\).
- Les restes possibles dans la division euclidienne par \(2\) sont : \(0, 1\).
III.2 Multiples d'un entier naturel — ppcm de deux entiers naturels
- Cocher les cases convenables dans le tableau ci-dessous.
- Déterminer \(M_4\), l'ensemble des multiples de \(4\).
- Déterminer \(M_6\), l'ensemble des multiples de \(6\).
- En déduire le plus petit commun multiple de \(4\) et \(6\).
| Divisible par 2 | Divisible par 3 | Divisible par 5 | Divisible par 7 | |
|---|---|---|---|---|
| 12 | ||||
| 10 | ||||
| 11 | ||||
| 42 | ||||
| 8 | ||||
| 9 | ||||
| 81 |
Soient \(a\) et \(b\) deux entiers naturels.
- On dit que \(b\) est multiple de \(a\) s'il existe un entier naturel \(k\) tel que \(b = k \times a\).
- Le plus petit commun multiple non nul de \(a\) et \(b\) s'appelle le ppcm de \(a\) et \(b\). On le note \(\mathrm{ppcm}(a, b)\) ou \(a \vee b\).
- Le nombre \(16\) est un multiple de \(8\) car \(16 = 2 \times 8\).
- Tout entier naturel \(a\) est un multiple de \(1\) et de lui-même car \(a = 1 \times a\).
- Déterminons \(\mathrm{ppcm}(6; 10)\).
Les multiples non nuls de \(6\) sont : \(6\,;\, 12\,;\, 18\,;\, 24\,;\, 30\,;\, \dots\)
Les multiples non nuls de \(10\) sont : \(10\,;\, 20\,;\, 30\,;\, 40\,;\, \dots\)
D'où \(\mathrm{ppcm}(6; 10) = 30\).
- Déterminer tous les multiples inférieurs à \(50\) de \(7\).
- Soit \(n \in \mathbb{N}\). Montrer que le nombre \(19 \times 7^{2n} - 7^{2n+1}\) est un multiple de \(3\).
- Déterminer \(\mathrm{ppcm}(12; 18)\) et \(\mathrm{ppcm}(15; 45)\).
III.3 Diviseur d'un entier naturel — pgcd de deux entiers naturels
- Cocher les cases convenables dans le tableau ci-dessous.
- Déterminer \(D_{12}\), l'ensemble des diviseurs de \(12\).
- Déterminer \(D_{42}\), l'ensemble des diviseurs de \(42\).
- En déduire le plus grand diviseur commun de \(12\) et \(42\).
| Divisible par 2 | Divisible par 3 | Divisible par 5 | Divisible par 7 | |
|---|---|---|---|---|
| 12 | ||||
| 10 | ||||
| 11 | ||||
| 42 | ||||
| 8 | ||||
| 9 | ||||
| 81 |
Soient \(a\) et \(b\) deux entiers naturels.
- On dit que \(b\) est diviseur de \(a\) s'il existe un entier naturel \(k\) tel que \(a = k \times b\).
- Le plus grand diviseur commun de \(a\) et \(b\) s'appelle le pgcd de \(a\) et \(b\). On le note \(\mathrm{pgcd}(a, b)\) ou \(a \wedge b\).
- \(1\) est un diviseur de tous les nombres entiers naturels.
- Les diviseurs de \(16\) sont : \(1\,;\, 2\,;\, 4\,;\, 8\,;\, 16\).
- Les diviseurs de \(24\) sont : \(1\,;\, 2\,;\, 3\,;\, 4\,;\, 6\,;\, 8\,;\, 12\,;\, 24\).
- Déterminons \(\mathrm{pgcd}(16, 24)\) : on a \(D_{16} = \{1; 2; 4; 8; 16\}\) et \(D_{24} = \{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24\}\), d'où \(\mathrm{pgcd}(16, 24) = 8\).
- Déterminer les diviseurs de \(96\) et \(111\).
- Soit \(n \in \mathbb{N}\). Montrer que le nombre \(2 \times 3^{2n+3} + 9 \times 3^{2n}\) est divisible par \(7\).
- Déterminer \(\mathrm{pgcd}(36, 9)\) et \(\mathrm{pgcd}(84, 63)\).
III.4 Critères de divisibilité
Soit \(n\) un entier naturel. On dit que \(n\) est divisible par :
- \(2\) si son chiffre des unités est \(0\), \(2\), \(4\), \(6\) ou \(8\) ;
- \(5\) si son chiffre des unités est \(0\) ou \(5\) ;
- \(3\) ou \(9\) si la somme de ses chiffres forme un multiple de \(3\) ou de \(9\) ;
- \(4\) si son chiffre des unités et son chiffre des dizaines forment un multiple de \(4\).
- \(4725\) est divisible par \(5\) car son chiffre des unités est \(5\).
- \(4725\) est divisible par \(3\) et par \(9\) car \(4 + 7 + 2 + 5 = 18\) est un multiple de \(3\) et de \(9\).
- \(1628\) est divisible par \(4\) car \(28\) est un multiple de \(4\).
Déterminer les chiffres \(a, b, c\) et \(d\) pour que :
- Le nombre \(5a74\) soit divisible par \(3\).
- Le nombre \(532b\) soit divisible à la fois par \(2\) et par \(9\).
- Le nombre \(92bc\) soit divisible par \(3\) et non par \(9\).
- Le nombre \(d15d\) soit divisible par \(2\), \(3\), \(4\) et \(9\).
>>> n = 36
>>> divisors = [i for i in range(1, n + 1) if n % i == 0]
>>> print(divisors)
[1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36]
IV. Les nombres premiers
Déterminer \(D_2\), \(D_3\), \(D_7\), \(D_{11}\), \(D_{13}\). Que remarque-t-on ?
Un entier naturel supérieur ou égal à \(2\) est dit premier s'il possède exactement deux diviseurs : \(1\) et lui-même.
- Les nombres \(2\,;\, 3\,;\, 5\,;\, 7\) et \(11\) sont des nombres premiers car ils ont exactement deux diviseurs.
- Le nombre \(8\) n'est pas premier car il possède \(4\) diviseurs : \(1\,;\, 2\,;\, 4\,;\, 8\).
- \(1\) n'est pas un nombre premier car il ne possède qu'un seul diviseur.
- \(2\) est le seul nombre pair qui est premier.
Pour étudier la primalité d'un entier naturel \(n\), on cherche tous les nombres premiers \(p\) qui vérifient \(p \leq \sqrt{n}\). Si \(n\) est divisible par l'un de ces nombres, alors \(n\) n'est pas premier ; sinon \(n\) est premier.
On a \(\sqrt{37} \approx 6{,}08\) et les nombres premiers inférieurs ou égaux à \(\sqrt{37}\) sont \(2, 3\) et \(5\). Or \(37\) n'est divisible par aucun des nombres \(2\,;\, 3\) et \(5\), donc \(37\) est un nombre premier.
- Déterminer tous les nombres premiers entre \(0\) et \(100\).
- Parmi les nombres de la liste suivante, déterminer ceux qui sont des nombres premiers : \(101\,;\, 239\,;\, 387\,;\, 700\,107\).
V. Décomposition d'un entier naturel en produit de facteurs premiers
Écrire les nombres suivants sous forme de produit de nombres premiers : \(14\,;\, 16\,;\, 25\,;\, 75\).
Tout nombre entier naturel supérieur ou égal à \(2\) est un nombre premier ou admet une décomposition en produit de facteurs premiers.
- \(30 = 2 \times 3 \times 5\) est une décomposition de \(30\) en produit de facteurs premiers.
- \(90 = 2 \times 3^2 \times 5\) est une décomposition de \(90\) en produit de facteurs premiers.
Décomposer les nombres suivants en produit de facteurs premiers : \(48\,;\, 612\,;\, 1530\,;\, 3240\).
Solution de l'application
Décomposition de 48 :
\[ 48 = 2^4 \times 3 \]Décomposition de 612 :
\[ 612 = 2^2 \times 3^2 \times 17 \]Décomposition de 1530 :
\[ 1530 = 2 \times 3^2 \times 5 \times 17 \]Décomposition de 3240 :
\[ 3240 = 2^3 \times 3^4 \times 5 \]Soient \(a\) et \(b\) deux nombres entiers naturels.
- Le \(\mathrm{pgcd}(a,b)\) est le produit des facteurs premiers communs apparaissant à la fois dans la décomposition de \(a\) et de \(b\), affectés à la plus petite puissance.
- Le \(\mathrm{ppcm}(a,b)\) est le produit des facteurs premiers communs et non communs apparaissant dans la décomposition de \(a\) et de \(b\), affectés à la plus grande puissance.
Soient \(a = 132\) et \(b = 120\).
On a \(132 = 2^2 \times 3 \times 11\) et \(120 = 2^3 \times 3 \times 5\).
Par conséquent :
\[ \mathrm{pgcd}(132, 120) = 2^2 \times 3 = 12 \] \[ \mathrm{ppcm}(132, 120) = 2^3 \times 3 \times 5 \times 11 = 1320. \]Soient \(a\) et \(b\) deux nombres entiers naturels. On dit que \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux si et seulement si \(\mathrm{pgcd}(a, b) = 1\).
- \(\mathrm{pgcd}(7; 9) = 1\), donc les deux nombres \(7\) et \(9\) sont premiers entre eux.
- \(\mathrm{pgcd}(15; 30) = 15\), donc les deux nombres \(15\) et \(30\) ne sont pas premiers entre eux.
VI. Algorithme d'Euclide
Pour deux entiers naturels \(a\) et \(b\) avec \(a \geq b > 0\), si l'on effectue la division euclidienne \(a = bq + r\) (\(0 \leq r < b\)), alors :
\[ \mathrm{pgcd}(a, b) = \mathrm{pgcd}(b, r). \]En répétant cette opération jusqu'à obtenir un reste nul, le dernier reste non nul est le \(\mathrm{pgcd}(a, b)\).
Écrivons les divisions euclidiennes successives :
\[ \begin{aligned} 15648 &= 657 \times 23 + 537 \\ 657 &= 537 \times 1 + 120 \\ 537 &= 120 \times 4 + 57 \\ 120 &= 57 \times 2 + 6 \\ 57 &= 6 \times 9 + 3 \quad \text{(dernier reste non nul)} \\ 6 &= 3 \times 2 + 0 \end{aligned} \]Donc \(\mathrm{pgcd}(15648; 657) = 3\).
Soient \(a\) et \(b\) deux entiers naturels non nuls.
- \(\mathrm{pgcd}(a; b)\) divise \(\mathrm{ppcm}(a; b)\).
- \(\mathrm{pgcd}(a; b) \times \mathrm{ppcm}(a; b) = a \times b\).
- Si \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux, alors \(\mathrm{ppcm}(a; b) = a \times b\).
- Si \(k\) est un entier non nul, alors \(\mathrm{ppcm}(ka; kb) = k \times \mathrm{ppcm}(a; b)\).
- L'ensemble des multiples communs à \(a\) et à \(b\) est l'ensemble des multiples de leur ppcm.
VII. Exercices
Soit \(n\) un entier naturel impair. On pose \(x = n^2 + 1\) et \(y = n^2 - 1\).
- Étudier la parité de \(x\) et \(y\).
- Simplifier le nombre \((6n + 11)(-1)^x - (2n + 4)(-1)^y\).
- Montrer que \(8\) divise \(n^2 - 1\).
- En déduire que \(n^4 - 1\) est un multiple de \(16\).
On considère les nombres suivants : \(a = 1100\) et \(b = 3465\).
- Décomposer les deux nombres \(a\) et \(b\) en produit de facteurs premiers.
- En déduire \(\mathrm{pgcd}(a; b)\) et \(\mathrm{ppcm}(a; b)\).
- Est-ce que \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux ? Justifier votre réponse.
- Décomposer en produit de facteurs premiers les nombres suivants : \(156\,;\, 495\,;\, 2160\,;\, 4860\).
- En déduire \(\mathrm{pgcd}(2160; 4860)\), \(\mathrm{pgcd}(156; 495)\), \(\mathrm{ppcm}(2160; 4860)\), \(\mathrm{ppcm}(156; 495)\).
- Simplifier \(\sqrt{2160}\), \(\sqrt{4860}\) et \(\dfrac{2160}{4860}\).
- Montrer que \(\sqrt{2160 \times 4860} \in \mathbb{N}\).
Soit \(n \in \mathbb{N}\). On pose \(a = 5^{n+2} - 5^n\) et \(b = 7 \times 5^n + 5^{n+1}\).
- Montrer que \(a\) est un multiple de \(3\) et que \(12\) divise \(b\).
- Décomposer, en fonction de \(n\), \(a\) et \(b\) en produit de facteurs premiers.
- Déterminer \(\mathrm{pgcd}(a; b)\) et \(\mathrm{ppcm}(a; b)\) en fonction de \(n\).
On pose \(a = 6n + 11\), \(b = 2n + 4\), \(n \in \mathbb{N}\).
- Étudier la parité de \(a\) et \(b\).
- En déduire la parité de \(c = (6n + 11)(-1)^b + (2n + 4)(-1)^a\).
- Montrer que \((a + 1)^2 + b^2\) est un multiple de \(40\).
- Étudier la parité de \(n^2 + 3n + 4\).
- Développer et réduire \((n^2 + n)(n^2 + 3n + 4)\).
- En déduire que \(n^4 + 4n^3 + 7n^2 + 4n\) est un multiple de \(4\).
- Montrer que \(n(n + 1)(n + 2)(n + 3)\) est multiple de \(4\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
- Existe-t-il \(n \in \mathbb{N}\) tel que \(n(n+1)(n+2)(n+3) = 2010\) ?
Soit \(n\) un entier naturel impair.
- Montrer que \(n^2 - 1\) est divisible par \(8\).
- En déduire que \(16\) divise \(n^4 - 1\).
- Soient \(a, b\) deux entiers naturels impairs. Montrer que \(16\) divise \(a^4 + b^4 - 2\).
- Vérifier que \(337\) est premier.
- Décomposer \(a = 240\) et \(b = 2022\) en facteurs premiers.
- En déduire \(\mathrm{pgcd}(a, b)\) et \(\mathrm{ppcm}(a, b)\).
- Simplifier \(\sqrt{240 \times 2022}\).
On pose \(a = 2160\), \(b = 4860\).
- Décomposer \(a\) et \(b\) en facteurs premiers.
- En déduire \(\mathrm{pgcd}(a, b)\) et \(\mathrm{ppcm}(a, b)\).
- Donner la décomposition en facteurs premiers de \(a^3 \times b^2\).
- Montrer que \(\sqrt{a \times b}\) est un entier naturel.
Pour \(n \in \mathbb{N}\), on pose \(a = 7^{n+2} - 7^n\), \(b = 3 \times 7^{n+1} + 5 \times 7^n\).
- Montrer que \(a\) est multiple de \(3\) et \(b\) multiple de \(13\).
- Décomposer \(a\) et \(b\) en facteurs premiers.
- En déduire \(\mathrm{pgcd}(a, b)\) et \(\mathrm{ppcm}(a, b)\).
- Vérifier que \(n + 7 = 1 + \dfrac{6}{n + 1}\) pour \(n \neq -1\).
- Déterminer les valeurs de \(n\) pour lesquelles \(\dfrac{n + 7}{n + 1} \in \mathbb{N}\).
- Déterminer les valeurs de \(n\) pour lesquelles \(\dfrac{3n + 28}{n + 4} \in \mathbb{N}\).
- Montrer que pour \(x, y \in \mathbb{N}\), \(x + y\) et \(x - y\) sont de même parité.
- Déterminer les diviseurs de \(28\).
- Résoudre \(x^2 - y^2 = 28\) en entiers naturels.
- Résoudre \(mn + 3m + 2n = 28\) en entiers naturels.
- Résoudre \(x^2 - y^2 = 51\) en entiers naturels.
- Déterminer tous les couples \((a, b)\) tels que \(a^2 - b^2 = 7344\) et \(\mathrm{pgcd}(a, b) = 12\).
1. Soient \(a = 2520\) et \(b = 1750\).
- Décomposer \(a\) et \(b\) en produit de facteurs premiers puis calculer \(\mathrm{pgcd}(a, b)\) et \(\mathrm{ppcm}(a, b)\).
- Calculer le nombre de diviseurs de \(a\).
- Déterminer le plus petit entier naturel \(m\) pour que le nombre \(ma\) soit un carré parfait.
- En déduire la simplification des nombres \(\dfrac{a}{b}\) et \(\sqrt{ab}\).
2. Soit \(n \in \mathbb{N}\). On pose \(x = n^2 + n + 117\) et \(y = (2n + 1)^{2025} + 2\).
- Étudier la parité de \(x\) et \(y\).
3. Soit \(n \in \mathbb{N}\). Montrer que le nombre \(A = 5^{n+2} - 5^n\) est multiple de \(6\).
4. On considère le nombre \(B = \dfrac{n^2 + 5n + 14}{n + 3}\).
- Montrer que \(B = n + 2 + \dfrac{8}{n + 3}\).
- Déterminer toutes les valeurs de l'entier naturel \(n\) pour que \(B\) soit un entier naturel.
5. Le nombre \(437\) est-il premier ?
6. Soit \(a\) un nombre premier tel que \(a \geq 3\) et \(b\) un entier naturel multiple de \(3\).
- Montrer que \(6\) divise le nombre \(3a + 2b + 3\).
Soit \(n \in \mathbb{N}\). Montrer que \(\mathrm{pgcd}(n, n + 1) = 1\).
À retenir
- Un entier naturel est pair s'il s'écrit \(2k\), impair s'il s'écrit \(2k+1\) (\(k \in \mathbb{N}\)).
- La division euclidienne de \(a\) par \(b \neq 0\) s'écrit de façon unique \(a = bq + r\) avec \(0 \leq r < b\).
- Le pgcd et le ppcm se calculent efficacement à partir de la décomposition en produit de facteurs premiers.
- Deux entiers sont premiers entre eux si et seulement si leur pgcd vaut \(1\).
- L'algorithme d'Euclide fournit le pgcd par divisions euclidiennes successives : le dernier reste non nul est le pgcd cherché.
- Les critères de divisibilité (par \(2, 3, 4, 5, 9\)) permettent de tester rapidement la divisibilité d'un entier.
- La relation fondamentale \(\mathrm{pgcd}(a, b) \times \mathrm{ppcm}(a, b) = a \times b\) relie pgcd et ppcm.
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