Solution — Devoir 01, S01, artihmétiques et calcul vectoriel , 2026 A
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Exercice 1 — Arithmétique (12 points)
Rappel de l'énoncé
Soient \(x=2420\) et \(y=6930\).
- Décomposer \(x\) et \(y\) en produits de facteurs premiers.
- Déterminer \(\mathrm{pgcd}(x,y)\) et \(\mathrm{ppcm}(x,y)\).
- Simplifier \(\sqrt{5x}\) et \(\sqrt{\dfrac{35y}{22}}\).
- Retrouver \(\mathrm{pgcd}(x,y)\) par l'algorithme d'Euclide.
2. Le nombre \(371\) est-il premier ? Justifier.
3. Étudier la parité de \(a=n^2-n+1\) pour \(n\in\mathbb{N}\).
4. Déterminer l'ensemble des diviseurs de \(42\).
1.a — Décomposition en produit de facteurs premiers
On divise successivement chaque nombre par les nombres premiers \(2,\,3,\,5,\,7,\,11,\dots\) jusqu'à obtenir un quotient égal à \(1\).
Décomposition de \(x = 2420\)
En effet \(605 = 5\times 121\) et \(121 = 11^{2}\).
Décomposition de \(y = 6930\)
En effet \(3465 = 3\times 1155\), \(1155 = 3\times 385\), \(385 = 5\times 77\) et \(77 = 7\times 11\).
Résultat
1.b — \(\mathrm{pgcd}(x,y)\) et \(\mathrm{ppcm}(x,y)\)
Le pgcd est le produit des facteurs premiers communs affectés du plus petit exposant ; le ppcm est le produit des facteurs premiers communs ou non affectés du plus grand exposant.
Vérification
On sait que \(\mathrm{pgcd}(x,y)\times \mathrm{ppcm}(x,y) = x\times y\). Or
\[ 110 \times 152\,460 = 16\,770\,600 \quad\text{et}\quad 2420\times 6930 = 16\,770\,600. \]Le résultat est donc cohérent.
Résultat
1.c — Simplification de \(\sqrt{5x}\) et de \(\sqrt{\dfrac{35y}{22}}\)
On utilise la décomposition en facteurs premiers :
Premier radical
\[ 5x = 5\times 2^{2}\times 5\times 11^{2} = 2^{2}\times 5^{2}\times 11^{2} = (2\times 5\times 11)^{2} = 110^{2}. \] \[ \boxed{\;\sqrt{5x} = \sqrt{12\,100} = 110.\;} \]Second radical
On simplifie d'abord la fraction à l'aide des décompositions :
\[ \frac{35y}{22} = \frac{(5\times 7)\times (2\times 3^{2}\times 5\times 7\times 11)}{2\times 11} = 3^{2}\times 5^{2}\times 7^{2} = (3\times 5\times 7)^{2} = 105^{2}. \] \[ \boxed{\;\sqrt{\frac{35y}{22}} = \sqrt{11\,025} = 105.\;} \]Conseil
Ne jamais développer \(35\times 6930\) « à la main » : la décomposition en facteurs premiers permet de simplifier la fraction avant tout calcul, ce qui évite les erreurs et fait apparaître un carré parfait.
1.d — Algorithme d'Euclide
On effectue les divisions euclidiennes successives : le pgcd est le dernier reste non nul.
- \(6930 = 2420\times 2 + 2090\)
- \(2420 = 2090\times 1 + 330\)
- \(2090 = 330\times 6 + 110\)
- \(330 = 110\times 3 + 0\)
Le dernier reste non nul est \(110\), donc :
\[ \boxed{\;\mathrm{pgcd}(2420,6930) = 110.\;} \]Cohérence avec la question 1.b
Les deux méthodes donnent bien \(110\), ce qui confirme le résultat.
2 — Le nombre \(371\) est-il premier ?
Nombre premier
Un entier naturel \(n \geqslant 2\) est premier lorsqu'il admet exactement deux diviseurs : \(1\) et lui-même.
Test pratique : si \(n\) est composé, il possède un diviseur premier \(p\) tel que \(p \leqslant \sqrt{n}\). Il suffit donc de tester les nombres premiers \(p \leqslant \sqrt{n}\).
On a \(\sqrt{371} \approx 19{,}26\). Il suffit donc de tester les nombres premiers \(2,\,3,\,5,\,7,\,11,\,13,\,17,\,19\).
| \(p\) | 2 | 3 | 5 | 7 |
|---|---|---|---|---|
| Reste de \(371\) par \(p\) | 1 | 2 | 1 | 0 |
On s'arrête dès qu'un diviseur premier est trouvé :
\[ 371 = 7 \times 53. \]Attention
Comme \(371\) admet un diviseur autre que \(1\) et lui-même, \(371\) n'est pas un nombre premier. (En revanche \(53\) est premier : aucun nombre premier \(\leqslant \sqrt{53}\approx 7{,}28\), c'est-à-dire \(2,3,5,7\), ne le divise.)
Conclusion
\(\boxed{371 = 7\times 53}\) : le nombre \(371\) n'est pas premier.
3 — Parité de \(a = n^{2} - n + 1\), \(n\in\mathbb{N}\)
On factorise partiellement :
\[ a = n^{2}-n+1 = n(n-1)+1. \]Produit de deux entiers consécutifs
Pour tout entier \(n\), le produit \(n(n-1)\) est pair.
Démonstration
Les entiers \(n-1\) et \(n\) sont consécutifs : l'un des deux est donc pair. Le produit d'un entier pair par un entier quelconque étant pair, \(n(n-1)\) est pair.
Ainsi \(n(n-1) = 2k\) pour un certain \(k\in\mathbb{N}\), d'où :
\[ a = 2k + 1, \]c'est-à-dire que \(a\) est impair.
Autre méthode : disjonction de cas
- \(n\) pair : \(n=2k\), alors \(n^{2}=4k^{2}\) est pair et \(n\) est pair, donc \(a = \underbrace{n^{2}}_{\text{pair}} - \underbrace{n}_{\text{pair}} + 1\) est impair.
- \(n\) impair : \(n=2k+1\), alors \(n^{2}\) est impair et \(n\) est impair, donc \(a = \underbrace{n^{2}}_{\text{impair}} - \underbrace{n}_{\text{impair}} + 1\) est impair (impair − impair = pair, puis pair + 1 = impair).
Conclusion
Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(a = n^{2}-n+1\) est un entier impair : il n'est donc jamais divisible par \(2\).
4 — Diviseurs de \(42\)
| 1 | 2 | 3 | 6 |
| 42 | 21 | 14 | 7 |
D'où l'ensemble des diviseurs positifs :
\[ \mathcal{D}_{42} = \{\,1,\;2,\;3,\;6,\;7,\;14,\;21,\;42\,\}. \]Exercice 2 — Calcul vectoriel (8 points)
Rappel de l'énoncé
Soit \(ABC\) un triangle. Les points \(I\), \(J\) et \(K\) sont définis par
\[ \overrightarrow{AI}=\frac12\overrightarrow{AB},\qquad \overrightarrow{AJ}=\frac25\overrightarrow{AC},\qquad \overrightarrow{BK}=-2\,\overrightarrow{BC}. \]- Construire une figure.
- Montrer que \(\overrightarrow{IJ}=-\frac12\overrightarrow{AB}+\frac25\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{IK}=\frac52\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}\).
- Montrer que \(\overrightarrow{IJ}\) et \(\overrightarrow{IK}\) sont colinéaires.
- Montrer que \(I\), \(J\) et \(K\) sont alignés.
1 — Construction de la figure
On place \(A\), \(B\), \(C\) puis :
- \(I\) est le milieu de \([AB]\) (car \(\overrightarrow{AI}=\frac12\overrightarrow{AB}\)) ;
- \(J\) est situé sur \([AC]\) tel que \(\overrightarrow{AJ}=\frac25\overrightarrow{AC}\) ;
- \(K\) vérifie \(\overrightarrow{BK}=-2\overrightarrow{BC}\) : le vecteur \(\overrightarrow{BK}\) est colinéaire à \(\overrightarrow{BC}\), de sens opposé, et deux fois plus long. Le point \(K\) se trouve donc sur la droite \((BC)\), du côté de \(B\) opposé à \(C\).
2 — Expressions de \(\overrightarrow{IJ}\) et \(\overrightarrow{IK}\)
Méthode — partir toujours de la forme additive
La relation de Chasles s'écrit d'abord sous sa forme additive :
\[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}. \]Si l'on cherche l'un des trois vecteurs, on le déduit par soustraction — jamais on ne « retourne » un vecteur directement sans avoir posé l'égalité additive dont il provient :
\[ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} \qquad\text{ou}\qquad \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BC}. \]Cette discipline de rédaction supprime les erreurs de signe : le signe « − » n'apparaît qu'après une soustraction explicite, pas comme une transformation cachée de \(\overrightarrow{IA}\) en \(-\overrightarrow{AI}\).
Calcul de \(\overrightarrow{IJ}\)
Étape 1 — forme additive de Chasles. On passe par le point \(A\) :
\[ \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{AJ}. \]Étape 2 — on isole \(\overrightarrow{IJ}\) par soustraction.
\[ \overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{AJ} - \overrightarrow{AI}. \]Étape 3 — on remplace par les données de l'énoncé. On a \(\overrightarrow{AI} = \tfrac12\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AJ} = \tfrac25\overrightarrow{AC}\), donc :
Calcul de \(\overrightarrow{IK}\)
Étape 1 — exprimer \(\overrightarrow{AK}\).
On commence par Chasles, forme additive :
\[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}. \]D'où, par soustraction :
\[ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}. \]On écrit ensuite, en forme additive, en passant par \(B\) :
\[ \overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BK}. \]L'énoncé donne \(\overrightarrow{BK} = -2\overrightarrow{BC}\) ; en remplaçant \(\overrightarrow{BC}\) par l'expression ci-dessus :
\[ \overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} - 2\left(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\right) = 3\overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{AC}. \]Étape 2 — exprimer \(\overrightarrow{IK}\). On repart de la forme additive de Chasles, en passant par \(A\) :
\[ \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IK} = \overrightarrow{AK}. \]D'où, par soustraction :
\[ \overrightarrow{IK} = \overrightarrow{AK} - \overrightarrow{AI}. \]Étape 3 — on remplace. On a \(\overrightarrow{AI} = \tfrac12\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AK} = 3\overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{AC}\) :
Résultat
3 — Colinéarité de \(\overrightarrow{IJ}\) et \(\overrightarrow{IK}\)
On cherche un réel \(k\) tel que \(\overrightarrow{IK}=k\,\overrightarrow{IJ}\). En comparant les coefficients :
- sur \(\overrightarrow{AB}\) : \(k\times\left(-\frac12\right)=\frac52\) donne \(k=-5\) ;
- sur \(\overrightarrow{AC}\) : \(k\times\frac25=-2\) donne également \(k=-5\).
Les deux coefficients coïncident, ce qui se vérifie directement :
On a donc \(\overrightarrow{IK}=-5\,\overrightarrow{IJ}\), c'est-à-dire que \(\overrightarrow{IK}\) est un multiple de \(\overrightarrow{IJ}\) :
\[ \boxed{\;\overrightarrow{IK}=-5\,\overrightarrow{IJ} \;\Longrightarrow\; \overrightarrow{IJ}\ \text{et}\ \overrightarrow{IK}\ \text{sont colinéaires.}\;} \]4 — Alignement de \(I\), \(J\) et \(K\)
Les vecteurs \(\overrightarrow{IJ}\) et \(\overrightarrow{IK}\) sont colinéaires et possèdent la même origine \(I\). Les points \(I\), \(J\) et \(K\) sont donc situés sur une même droite :
\[ \boxed{\;I,\;J\ \text{et}\ K\ \text{sont alignés.}\;} \]
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