\documentclass[a4paper,12pt,landscape]{article}

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    colorlinks=true,
    urlcolor=magenta
}

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% French language support
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% Two-page layout (conditionally included)



% --- Colors ---
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% --- Basic Settings ---
% Language variables for French exams
\def\professor{R. MOSAID}  % Should be R. MOSAID not {{R. MOSAID}}
\def\classname{2BAC.PC/SVT}
\def\examtitle{Série Exercices: Calcul intégral et Géométrie dans l'espace}
\def\schoolname{Taghzirt}
\def\academicyear{2025/2026}
\def\subject{Mathématiques}
\def\duration{2h}
\def\secondtitle{\small{visit ~~\wsite~~ for more!}}
\def\province{Direction provinciale\newline de Beni Mellal}
\def\logo{\includegraphics[width=\linewidth]{images/logo-men.png}}
\def\wsite{\href{https://www.mosaid.xyz}{\textcolor{magenta}{\texttt{www.mosaid.xyz}}}}
\def\ddate{\hfill \number\day/\number\month/\number\year~~}


% Exam-specific settings and custom definitions
% This file is generated in the current working directory
% Edit this file to customize your exam settings



% Define column type for centered cells
\newcolumntype{Y}{>{\centering\arraybackslash}X}
\newcolumntype{M}[1]{@{}>{\centering\arraybackslash}m{#1}@{}}

\newcommand{\tb}{\tikz[baseline=-0.6ex]{\fill (0,0) circle (2pt);}~}

\newcommand{\ccc}[1]{
    \begin{tikzpicture}[overlay, remember picture]
        \node[circle, inner sep=3pt, draw=black, outer sep=0pt] at (0.5,0.2) {#1};
    \end{tikzpicture}
}


\newcommand{\circled}[1]{%
  \tikz[baseline=(char.base)]{
    \node[shape=circle,draw,inner sep=1pt, font=\bf] (char) {#1};}%
}


% --- Margin offsets for note placement ---
\def\rnotemargin{-1.5}   % distance from right edge of text block
\def\lnotemargin{0.5}   % distance from left edge of text block


% --- Note number placed 1cm from page edge (right margin) ---
\newcommand{\rnote}[1]{%
  \tikz[remember picture,overlay,baseline=(text.base)]{%
    % a tiny anchor at the current line baseline
    \node (text) at (0,0) {};%
    % coordinate 1cm left of the physical page right edge
    \coordinate (marg) at ($(current page.east)+(\rnotemargin,0)$);%
    % place the marker using x from 'marg' and y from 'text.base'
    \node[anchor=base west,
      font=\small\bfseries,
      fill=yellow!30,
      draw=black,
      circle,
      minimum width=18pt,
      minimum height=18pt,
      text width=18pt,   % force fixed width
      align=center,      % center text inside
      inner sep=0pt      % prevent expansion
    ] at (marg |- text.base) {$#1$};%
  }%
}

% --- Note number placed 1cm from page edge (left margin) ---
\newcommand{\note}[1]{%
  \tikz[remember picture,overlay,baseline=(text.base)]{%
    % a tiny anchor at the current line baseline
    \node (text) at (0,0) {};%
    % coordinate 1cm left of the physical page right edge
    \coordinate (marg) at ($(current page.west)+(\lnotemargin,0)$);%
    % place the marker using x from 'marg' and y from 'text.base'
    \node[anchor=base west,
      font=\small\bfseries,
      fill=yellow!30,
      draw=black,
      circle,
      minimum width=18pt,
      minimum height=18pt,
      text width=18pt,   % force fixed width
      align=center,      % center text inside
      inner sep=0pt      % prevent expansion
    ] at (marg |- text.base) {$#1$};%
  }%
}




% Document spacing
\setstretch{1.3}

% Math display style
\everymath{\displaystyle}

%\mathversion{bold}

%\AtBeginDocument{\fontsize{15}{17}\selectfont}

%\newcommand{\fff}[1]{\makebox[#1cm]{\dotfill}}

\newcommand{\dfp}[1]{\dotfill (\bf{#1 pt})}

\SetEnumitemKey{tight}{
    leftmargin=*,
    itemsep=0pt,
    topsep=0pt,
    parsep=0pt,
    partopsep=0pt,
    before=\vspace{-2pt},   % reduce space before
    after=\vspace{-2pt}     % reduce space after
}

\newcommand{\VMargin}[1]{%
  \begin{tikzpicture}[remember picture,overlay]
    \draw[line width=1pt]
      ([xshift=#1]current page.north west) --
      ([xshift=#1]current page.south west);
  \end{tikzpicture}%
}

\newcommand{\VMarginRight}[1]{%
  \begin{tikzpicture}[remember picture,overlay]
    \draw[line width=0.6pt]
      ([xshift=-#1]current page.north east) --
      ([xshift=-#1]current page.south east);
  \end{tikzpicture}%
}



% Custom theorem environments (uncomment if needed)
% \newtheorem{theorem}{Theorem}
% \newtheorem{lemma}{Lemma}
% \newtheorem{corollary}{Corollary}

% Custom exercise environments (uncomment if needed)
% \newenvironment{solution}{\begin{proof}[Solution]}{\end{proof}}
% \newenvironment{remark}{\begin{proof}[Remark]}{\end{proof}}

% Custom commands for this exam (add your own below)
% \newcommand{\answerline}[1]{\underline{\hspace{#1}}}
% \newcommand{\points}[1]{\hfill(\mbox{#1 points})}

% Additional packages (uncomment if needed)
% \usepackage{siunitx} % For SI units
% \usepackage{chemformula} % For chemical formulas
% \usepackage{circuitikz} % For circuit diagrams

% Page layout adjustments
% \setlength{\parindent}{0pt}
% \setlength{\parskip}{1em}

% Custom colors for this exam
% \definecolor{myblue}{RGB}{0,100,200}
% \definecolor{mygreen}{RGB}{0,150,0}

% ----------------------------------------------------------------------
% ADD YOUR CUSTOM DEFINITIONS BELOW THIS LINE
% ----------------------------------------------------------------------

% Example:
\newcommand{\dif}{\mathrm{d}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}


% Exercise Theme 1: TikZ shadow title
\newcommand{\exothemeone}[1]{%
\par\vspace{0pt}\noindent\leavevmode
\begin{tikzpicture}[baseline=(text.base)]
    \node[] (text) at (0,0) {\textbf{#1}};
    \fill[black] ([xshift=0.1cm, yshift=-0.1cm]text.south west)
                 rectangle ([xshift=0.1cm, yshift=-0.1cm]text.north east);
    \draw[fill=white] (text.south west) rectangle (text.north east);
    \node[] at (text) {\textbf{#1}};
\end{tikzpicture}\\[0.2cm]
}

\newcommand{\printexo}[3]{%
  \if\relax\detokenize{#2}\relax
    \def\fulltitle{Exercice #1}%
  \else
    \def\fulltitle{Exercice #1~#2}%
  \fi
  \exothemeone{\fulltitle}%
  \noindent #3%
  \vspace{0.2cm}%
}

% --- Header Style 9 (fr)  ---
\newcommand{\printheadnine}{%
  \arrayrulecolor{lightgray}
  \begin{tabularx}{\textwidth}{
      M{0.25\textwidth}
      M{0.48\textwidth}
      M{0.25\textwidth}
      }
      \textbf{\classname} & \textbf{\examtitle} & \ddate \\
      Par Prof RACHID & \secondtitle & \hfill \begin{tabular}{|c|}\hline\professor\end{tabular}  \\
      \hline
  \end{tabularx}
  \arrayrulecolor{black}
}

\fancyhf{}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0pt}
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\setlength{\headsep}{0pt}
\fancyhead[C]{%
  \printheadnine
}%
\pagestyle{fancy}




\begin{document}



% Two-column layout
\setlength{\columnsep}{0.5cm}
\setlength{\columnseprule}{2pt}
\renewcommand{\columnseprulecolor}{\color{black}}
\begin{multicols}{2}[\raggedcolumns]
\vspace*{-\topskip}
\section*{I - Calcul Intégral (4 exercices)}
% Exercise 1 (originally 1)
\printexo{1}{: Intégration par parties}{
On considère l'intégrale $I = \int_{1}^{e} x^2 \ln(x) dx$.
\begin{enumerate}
    \item En utilisant une intégration par parties, montrer que :
    \[ I = \frac{2e^3 + 1}{9} \]
    \item Soit $J = \int_{1}^{e} x(\ln x)^2 dx$. Calculer $J$ à l'aide d'une IPP.
\end{enumerate}
}

% Exercise 2 (originally 2)
\printexo{2}{: Changement de forme}{
Soit $f(x) = \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}$.
\begin{enumerate}
    \item Vérifier que $f(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$.
    \item En déduire la valeur exacte de l'intégrale :
    $ K = \int_{0}^{1} f(x) dx $
    \item Donner une valeur approchée de $K$ à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}
}

% Exercise 3 (originally 3)
\printexo{3}{: Calcul d'aire (Fonction Logarithme)}{
Soit $f$ la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par $f(x) = \frac{\ln x}{x}$.
\begin{enumerate}
    \item Calculer l'intégrale $L = \int_{1}^{e} f(x) dx$.
    \item Interpréter graphiquement ce résultat en calculant l'aire du domaine délimité par la courbe $(C_f)$, l'axe des abscisses et les droites $x=1$ et $x=e$ (Unité : $2cm \times 2cm = 4cm^2$).
\end{enumerate}
}

% Exercise 4 (originally 4)
\printexo{4}{: Volume de révolution (Exponentielle)}{
Soit la fonction $h(x) = e^{-x} \sqrt{x}$ définie sur $[0, 1]$.
\begin{enumerate}
    \item Calculer l'intégrale $M = \int_{0}^{1} x e^{-2x} dx$ à l'aide d'une IPP.
    \item En déduire le volume $V$ du solide engendré par la rotation de la courbe $(C_h)$ autour de l'axe des abscisses entre $x=0$ et $x=1$.
    \item Exprimer $V$ en fonction de $\pi$.
\end{enumerate}

\section*{II - Géométrie dans l'espace (4 exercices)}
}

% Exercise 5 (originally 5)
\printexo{5}{: Équation de plan et produit vectoriel}{
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé direct, on considère $A(1, 2, 1)$, $B(2, 1, 3)$ et $C(-1, 4, 2)$.
\begin{enumerate}
    \item Déterminer les coordonnées de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.
    \item Calculer $\vec{AB} \wedge \vec{AC}$ et montrer que les points $A, B$ et $C$ ne sont pas alignés.
    \item Montrer que l'équation du plan $(ABC)$ est : $x + y + z - 4 = 0$.
\end{enumerate}
}

% Exercise 6 (originally 6)
\printexo{6}{: Sphère et position relative}{
Soit $(S)$ la sphère d'équation : $x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 6z + 11 = 0$.
\begin{enumerate}
    \item Montrer que $(S)$ a pour centre $\Omega(1, -2, 3)$ et pour rayon $R = \sqrt{3}$.
    \item Calculer la distance du point $\Omega$ au plan $(P) : x - y + z + 2 = 0$.
    \item En déduire que le plan $(P)$ est extérieur à la sphère $(S)$.
\end{enumerate}
}

% Exercise 7 (originally 7)
\printexo{7}{: Intersection cercle (Vérifié)}{
Soit la sphère $(S)$ de centre $\Omega(1, 0, 1)$ et de rayon $R = 3$. Soit $(Q)$ le plan d'équation $x + y - z + 3 = 0$.
\begin{enumerate}
    \item Montrer que la distance $d(\Omega, (Q)) = \sqrt{3}$.
    \item Justifier que $(Q) \cap (S)$ est un cercle $(C)$.
    \item Calculer le rayon $r$ du cercle $(C)$.
    \item Déterminer les coordonnées de $H$, centre du cercle $(C)$ (Intersection de $(Q)$ avec la droite perpendiculaire à $(Q)$ passant par $\Omega$).
\end{enumerate}
}

% Exercise 8 (originally 8)
\printexo{8}{: Droites et distances}{
On considère les points $A(2, 1, 1)$ et $B(1, 3, 0)$.
\begin{enumerate}
    \item Donner une représentation paramétrique de la droite $(AB)$.
    \item Soit $C(1, 1, 1)$. Calculer l'aire du triangle $ABC$ en utilisant le produit vectoriel.
    \item En déduire la distance du point $C$ à la droite $(AB)$.
\end{enumerate}
\section*{I - Calcul Intégral (4 exercices)}
}

% Exercise 9 (originally 9)
\printexo{9}{}{
Soit $I = \int_{0}^{1} \frac{x^3}{x^2+1} dx$.
\begin{enumerate}
    \item Vérifier que pour tout $x$ :
    $ \frac{x^3}{x^2+1} = x - \frac{x}{x^2+1} $
    \item En déduire la valeur exacte de $I$.
    \item Calculer $J = \int_{0}^{1} x \ln(x^2+1) dx$ en utilisant une intégration par parties.
\end{enumerate}
}

% Exercise 10 (originally 10)
\printexo{10}{}{
Soit $f(x) = \frac{1}{x(1 + \ln x)}$.
\begin{enumerate}
    \item Déterminer une primitive de $f$ sur $[1, e]$.
    \item Calculer $K = \int_{1}^{e} f(x) dx$.
    \item En utilisant une IPP, calculer :
    $ L = \int_{1}^{e} \frac{\ln(1+\ln x)}{x} dx $
\end{enumerate}
}

% Exercise 11 (originally 11)
\printexo{11}{(Calcul d'aire)}{
Soit $f(x) = (x-2)e^x + 2$. Soit $(C_f)$ sa courbe.
\begin{enumerate}
    \item Montrer que $H: x \mapsto (x-3)e^x$ est une primitive de $h: x \mapsto (x-2)e^x$.
    \item Calculer l'aire du domaine délimité par $(C_f)$, l'axe des abscisses et les droites $x=0$ et $x=2$.
    \item On donne $\| \vec{i} \| = 1cm$. Exprimer le résultat en $cm^2$.
\end{enumerate}
}

% Exercise 12 (originally 12)
\printexo{12}{(Volume)}{
On considère la fonction $g(x) = \frac{1}{\cos x}$ sur $[0, \frac{\pi}{4}]$.
\begin{enumerate}
    \item Calculer le volume $V$ du solide engendré par la rotation de $(C_g)$ autour de l'axe des abscisses entre $x=0$ et $x=\frac{\pi}{4}$.
    \item Vérifier que ce volume est égal à $\pi$ unités de volume.
\end{enumerate}
\section*{II - Géométrie dans l'espace (4 exercices)}
}

% Exercise 13 (originally 13)
\printexo{13}{}{
Soient les points $A(1, -1, 1)$, $B(0, 1, 3)$ et $C(2, 0, 0)$.
\begin{enumerate}
    \item Calculer $\vec{AB} \wedge \vec{AC}$.
    \item En déduire que l'aire du triangle $ABC$ est $\frac{3\sqrt{5}}{2}$.
    \item Déterminer l'équation cartésienne du plan $(ABC)$.
\end{enumerate}
}

% Exercise 14 (originally 14)
\printexo{14}{}{
Soit $(S)$ la sphère de centre $\Omega(1, 1, 1)$ et de rayon $R=3$.
\begin{enumerate}
    \item Écrire l'équation cartésienne de $(S)$.
    \item Vérifier que le point $A(1, -2, 1)$ appartient à $(S)$.
    \item Déterminer l'équation du plan $(P)$ tangent à $(S)$ au point $A$.
\end{enumerate}
}

% Exercise 15 (originally 15)
\printexo{15}{(Intersection vérifiée)}{
Soit $(S): x^2+y^2+z^2-4x+2y-2z+2=0$.
\begin{enumerate}
    \item Montrer que $(S)$ a pour centre $\Omega(2, -1, 1)$ et pour rayon $R=2$.
    \item Soit $(Q)$ le plan d'équation $x + y + z - 1 = 0$.
    \begin{enumerate}
        \item Calculer $d(\Omega, (Q))$.
        \item Montrer que $(Q) \cap (S)$ est un cercle de rayon $r = \sqrt{\frac{11}{3}}$.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}
}

% Exercise 16 (originally 16)
\printexo{16}{}{
Soient $A(1, 2, 0)$ et $(P): 2x - y + 2z + 4 = 0$.
\begin{enumerate}
    \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(\Delta)$ passant par $A$ et perpendiculaire à $(P)$.
    \item Déterminer les coordonnées de $H$, projection orthogonale de $A$ sur $(P)$.
    \item Calculer la distance $AH$ par deux méthodes différentes.
\end{enumerate}
}




\end{multicols}


\end{document}