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\newtcolorbox{exercice}[1][]{
    enhanced,
    breakable,
    colback=gray!10,
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}

\begin{document}
    \noindent
    \begin{minipage}[t]{0.50\textwidth}
        \centering
        \vspace{-0.6cm}
%       \includegraphics[scale=.3]{images/menps}
    \end{minipage}%
    \begin{minipage}[t]{0.50\textwidth}
        \centering
        \vspace{-0.6cm}
        \textbf{\Large SUJET DU DEVOIR MAISON N V}\\[0.3cm]
        \textbf{\large MATHÉMATIQUES}
    \end{minipage}%

    \begin{exercice}[Exercice 1 : (Intégral, équations différentielles)]
        Soit la fonction $f$ définie sur $\left]-1,+\infty\right]$ par : $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2\ln(x+1)-x &~:~x\in\left]-1,0\right] \\ x-1+\exp(-x) &~:~x\in\left]0,+\infty\right[\end{array}\right.$\\
        et $\left(C_f\right)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O;\vec{i},\vec{j}\right)$ tel que $\left\|\vec{i}\right\|=1.5$ cm
        \begin{enumerate}
            \item \begin{enumerate}
                \item Calculer $f(0)$, puis en déduire que $f$ est continue en $0$.
                \item Étudier la dérivabilité de $f$ \`a gauche au point $0$, puis interpréter ce résultat.
            \end{enumerate}
            \item En se basant sur la représentation graphique de la fonction $f$ sur $\left]-1,+\infty\right]$:
            \begin{center}

                \begin{tikzpicture}[scale=1.25, >=stealth]

                    % Définir la zone d'affichage pour éviter les débordements vers l'infini
                    \clip (-5.25,-3.25) rectangle (5.25, 3.25);

                    % Grille de fond pour faciliter la lecture
                    \draw[lightgray, very thin] (-5.5,-4) grid (5.5, 4.5);

                    % Axes du repère
                    \draw[->, thick] (-5.5, 0) -- (5.5, 0) node[right] {$x$};
                    \draw[->, thick] (0, -4) -- (0, 4.5) node[above] {$y$};

                    % Origine et vecteurs unitaires (O; i, j)
                    \node[below left] at (0,0) {$O$};
                    \draw[->, very thick] (0,0) -- (1,0) node[midway, below] {$\vec{i}$};
                    \draw[->, very thick] (0,0) -- (0,1) node[midway, left] {$\vec{j}$};

                    % Graduations supplémentaires
                    \foreach \x in {-1, 2, 3, 4, 5}
                    \draw (\x, -0.05) -- (\x, 0.05) node[below=4pt] {$\x$};
                    \foreach \y in {-3, -2, -1, 2, 3, 4}
                    \draw (-0.05, \y) -- (0.05, \y) node[left=4pt] {$\y$};

                    % Asymptote verticale x = -1
                    \draw[dashed, black, thick] (-1, -4) -- (-1, 4.5);
                    \node[black, right] at (-1.5, -1.5) {\rotatebox{90}{$x = -1$}};

                    % Asymptote oblique y = x - 1
                    \draw[dashed, black, thick, domain=0:5.5] plot (\x, {\x-1});
                    \node[black, right] at (2.5, 1.5) {\rotatebox{45}{$y=x-1$}};

                    % Tracer la branche de la fonction sur ]-1, 0]
                    % On utilise un domaine qui s'arrête très près de -1 pour la limite
                    \draw[domain=-0.98:0, samples=150, very thick, blue, line width=1.5pt] plot (\x, {2*ln(\x+1) - \x});

                    % Tracer la branche de la fonction sur ]0, +\infty[
                    \draw[domain=0:5.5, samples=150, very thick, blue, line width=1.5pt] plot (\x, {\x - 1 + exp(-\x)}) node[above left, black] {$\left(C_f\right)$};

                \end{tikzpicture}
            \end{center}
            \begin{enumerate}
                \item Déterminer les limites: $\displaystyle\lim_{-1^+}f(x)$ ; $\displaystyle\lim_{+\infty}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{+\infty}\dfrac{f(x)}{x}$
                \item Dresser le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $\left]-1,+\infty\right]$
                \item Dresser le tableau de signe de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left]-1,+\infty\right]$
            \end{enumerate}
            \item
            \begin{enumerate}
                \item Soit $-1<\alpha\leq0$. En utilisant une intégration par parties, calculer $\displaystyle\int_\alpha^{0} f(x) dx$.
                \item En déduire l'aire $A\left(\alpha\right)$ du domaine plan délimité par $(C_f)$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=\alpha$ et $x=1$ en cm$^2$
            \end{enumerate}
            \item Calculer le volume $V$ du solide de révolution engendré par la rotation complète de la courbe $(C_f)$ autour de l'axe des abscisses, délimité par $x=0$ et $x=1$.
            \item On considère l'équation différentielle $(E)~:~ -\dfrac{1}{2}y'' +y'-\dfrac{5}{2}y = 0$.
            \begin{enumerate}
                \item Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E_c)~:~z^2=2z-5$ d'inconnu $z$.
                \item Trouver l'unique solution $g$ de $(E)$ dont la courbe admet une tangente horizontale au point de coordonnées $(0, 1)$.
            \end{enumerate}
            \item On pose $I=\displaystyle\int_0^{\pi} g(x)~ dx~$ avec $g$ est la solution particulière de $(E)$.
            \begin{enumerate}
                \item Montrer que $g\left(x\right)=\dfrac{2}{5}g'\left(x\right)+\dfrac{1}{5}g''\left(x\right)$ pour tout $x\in\mathbb{R}$
                \item Sans utiliser d'intégration par parties, déduire la valeur de $I$.
            \end{enumerate}
            \item Calculer les intégrales suivants
            \begin{multicols}{2}
                \begin{enumerate}
                    \item $A=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{x^2}{1+x}~dx$
                    \item $B=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{1}{1+e^x}~dx$
                    \item $C=\displaystyle\int_{e}^{e^2}\dfrac{1}{3x\ln^2(x)}~dx$
                    \item $D=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\dfrac{\sin(x)}{2+\cos(x)}~dx$
                \end{enumerate}
            \end{multicols}
        \end{enumerate}
    \end{exercice}
    \begin{exercice}[Exercice 2: (Produit scalaire et ses applications dans l'espace)]
        Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les points non alignés $A(-1, 3, 4)$, $B(-2, 0, 1)$ et $C(-2, -3, 4)$.
        \begin{enumerate}
            \item Soit $(P)$ le plan qui passe par les points $A$, $B$ et $C$.
            \begin{enumerate}
                \item Justifier que le vecteur $\vec{n}(-6, 1, 1)$ est normal à $(P)$.
                \item Vérifier que $-6x + y +z = 13$ est une équation cartésienne du plan $(P)$.
            \end{enumerate}
            \item Soit $(S)$ l'ensemble des points $M(x, y, z)$ de l'espace tels que :
            $$(S)~:~2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 7x + 17y -\dfrac{8}{3}z= \dfrac{55}{7}$$
            \begin{enumerate}
                \item Justifier que $(S)$ est une sphère de centre $\Omega$ et de rayon $R$. Calculer $R$.
                \item Montrer que $(P)$ et $(S)$ se coupent selon un cercle $(\pi)$ de rayon $r$ à déterminer.
            \end{enumerate}
            \item Soit $(D)$ la droite qui passe par $\Omega$ et perpendiculaire au plan $\left(P\right)$.
            \begin{enumerate}
                \item Trouver le triplet de coordonnées du point $w$ centre du cercle $(\pi)$.
                \item Écrire une équation du plan $(Q)$ qui coupe $(S)$ et qui est parallèle à $(P)$.
            \end{enumerate}
            \item Soit $(E)$ l'ensemble des points $M(x, y, z)$ de l'espace tel que: $~~\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{CM}=0$
            \begin{enumerate}
                \item Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{CM}$. En déduire la nature de l'ensemble $(E)$.
                \item Justifier que $(S)$ et $(E)$ se coupent selon un cercle $(\pi')$.
            \end{enumerate}
            \item \begin{enumerate}
                \item Soit $N(a, b, c)$ un point du cercle $(\pi')$ de rayon $r'$ et ce centre $w'$. Montrer que
                $-9a+17b+\dfrac{40}{3}c+\dfrac{125}{7}=0$. Que représente.
                \item On peut déduire le rayon $r'$ et le centre $w'$ du cercle $\left(\pi'\right)$?
            \end{enumerate}
        \end{enumerate}
    \end{exercice}
    \hrule
    \begin{center}
        \large\textbf{\sc comprenez votre rôle, pour bien réussir.\hfil  \textcolor{teal}{ (+212) 06 53 65 68 35\quad\faWhatsappSquare}}
    \end{center}
    \newpage

\end{document}