Exercice résolu: équation cartésienne d'une droite

📅 November 29, 2024 | 👁️ Views: 369

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maths Exercise for tronc-commun-sciences PDF preview

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\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{booktabs}
\usepackage{ragged2e}
\usepackage[left=1.00cm, right=1.00cm, top=1.50cm, bottom=1.50cm]{geometry}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb}
\usepackage{setspace}
\usepackage{multirow}
\usepackage{xcolor}
\usepackage[most]{tcolorbox}
\usepackage[ddmmyyyy]{datetime}

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,shapes,decorations.text}

\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
    colorlinks=true,
    linkcolor=blue
}

\newcommand{\mylink}{\href{https://mosaid.xyz/cc}{www.mosaid.xyz}}

\definecolor{PaleTurquoise}{HTML}{AFEEEE} % Pale Turquoise
\definecolor{DarkGreen}{HTML}{006400} % Dark Green
\definecolor{RoyalBlue}{HTML}{4169E1} % Royal Blue
\definecolor{SeaGreen}{HTML}{2E8B57} % Sea Green


\newcolumntype{C}{>{\Centering\arraybackslash}X}

\newcommand{\tb}{\tikz[baseline=-0.6ex] \fill (0,0) circle (2pt);}

\newcommand{\caa}[2][magenta]{%
    \noindent\hspace*{0.2cm}
    \begin{tikzpicture}[scale=1, transform shape]
        \node[font=\bfseries\large\color{#1},inner sep=1pt] (title) at (0,0) {\textbf{#2}};
        \fill[#1]
            ($(title.south west) + (0,-0.1)$) --
            ($(title.south east) + (0.3,-0.1)$) coordinate (AA) --
            ($(title.south east) + (0,-0.2)$) --
            ($(title.south west) + (0.3,-0.2)$) -- cycle;
    \end{tikzpicture}\\[-0.1cm]
}


\newcommand{\stamp}[2]{
\begin{tikzpicture}[remember picture, overlay]
\coordinate (A) at (#1,#2);
\draw[red!50] (A) circle (1.9cm);
% Draw the inner circle
\draw[red!50] (A) circle (1.4cm);
% Draw the curved line
\draw[red!50, decorate, decoration={text along path,
    text={|\fontspec{DejaVu Sans}\color{red!75}\bfseries|★MOSAID RADOUAN★},
    text align={align=center}, raise=-3pt}] (A) ++ (180:1.6cm) arc (180:0:1.6cm);
\draw[decorate, decoration={text along path,
    text={|\fontspec{DejaVu Sans}\color{red!75}\bfseries|∞★~mosaid.xyz~★∞ },
    text align={align=center}, raise=-6.5pt}] (A) ++ (180:1.53cm) arc (-180:0:1.53cm);
\node[red!75,font=\fontsize{48}{48}\fontspec{DejaVu Sans}\bfseries\selectfont] at (A) {✷};
\end{tikzpicture}
}


\newtcolorbox[auto counter, number within=section]{tcexe}[2][]{
    colframe=PaleTurquoise,                % Frame color
    colback=PaleTurquoise!40,              % Background color
    coltitle=black,                % Title text color
    colbacktitle=PaleTurquoise!80,         % Title background color
    fonttitle=\bfseries,           % Title font style
    enhanced,
    boxrule=0.8mm,                 % Frame thickness
    titlerule=0.5mm,               % Title frame thickness
    title={#2},% Default title format
    titlerule style=PaleTurquoise,         % Title frame color
    attach boxed title to top left={yshift=-4mm, xshift=4mm},
    boxed title style={
        colframe=PaleTurquoise,            % Title frame color
        sharp corners,             % Rounded corners
        rounded corners,
    },
    before upper=\vspace{2mm},     % Space between title and content
    boxsep=2pt,                    % Padding
    before skip=1pt, after skip=0pt, % Margins
    breakable,                     % Allow box to break across pages
    #1,                             % User-provided options
}



\everymath{\displaystyle}
\setstretch{1.2}

\begin{document}
\noindent
\begin{tabularx}{\textwidth}{@{} lCr @{}}
    Lycee Taghzirt\textbf{/}Prof MOSAID &
    2024-2025&
    TCSF\\
    \bottomrule
\end{tabularx}
\mylink \hfill \mylink\\
\begin{tcexe}{Exercice - équation cartésienne d'une droite}
Dans un plan associé à un repère orthonormé \((O; \vec{i}; \vec{j})\),
on considère le point \(A(-2; 1)\) et le vecteur \(\vec{u}(1; 2)\).\\
Soit $(D)$ la droite définie par l'équation cartésienne :~ $2x - 3y + 1 = 0$\\
et la droite \((D')\)  définie par la représentation paramétrique :~~
$
\begin{cases}
x = 1 + 5t \\
y = 2 - 2t
\end{cases}
\quad t \in \mathbb{R}
$\\
\textbf{1}~$-$ Déterminer une équation cartésienne de la droite \((\Delta)\) passant par \(A\) et dirigée par \(\vec{u}\).\\
\textbf{2}~$-$ Donner trois points appartenant à la droite \((D)\) et un vecteur directeur.\\
\textbf{3}~$-$ Déterminer une équation cartésienne de la droite \((D')\).\\
\textbf{4}~$-$ Tracer la figure

\end{tcexe}
\vspace*{0.5cm}
\caa{Solution}
\hspace*{2cm} Solution is in the next page, don't cheat, make a little effort with the exercise first\\
\begin{center}
\stamp{0}{-1}
\end{center}
\newpage
\textbf{1}~$-$
Soit $(\Delta)$ la driote passant par le point \(A(-2; 1)\) et dirigée par le vecteur \(\vec{u}(1; 2)\).\\
On a $M(x,y)\in (\Delta)$ ~~ éqà ~~ $\det(\overrightarrow{AM},\vec u)=0$\\
\hspace*{3cm}éqà ~ $
\begin{vmatrix}
x - (-2) & 1 \\
y - 1 & 2
\end{vmatrix}
= 0
$ ~~ éqà ~~ $2(x+2)-1(y-1)=0$  ~~ éqà ~~~ $2x+4-y+1=0$ \\
Alors ~~$(\Delta):~~2x-y+5=0$\\
%\hfill\bubblethis{Cette méthode est à retenir} \\
\textbf{2}~$-$ On a $(D):~2x-3y+1=0$.\\
On donne des valeurs simples à $x$ et $y$ pour trouver des points appartenant à $(D)$, càd qui vérifient
l'équation.\\
\tb~ pour ~$y=0$~ on a ~$2x+1=0$~ alors ~$x=-\frac{1}{2}$. ~ Ainsi ~$A_1(-\frac{1}{2},0)\in(D)$~\\
\tb~ pour ~$x=1$~ on a ~$2-3y+1=0$~ alors ~$y=1$. ~ Ainsi ~$A_2(1,1)\in(D)$~\\
\tb~ pour ~$y=-1$~ on a ~$2x+3+1=0$~ alors ~$x=-2$. ~ Ainsi ~$A_3(-2,-1)\in(D)$~\\
Un vecteur directeur de la droite ~$(D)$~ est ~$\overrightarrow{A_2A_3}(-3,-2)$~\\
\textbf{3}~$-$ On a ~$(D')$~
$
\begin{cases}
x = 1 + 5t \\
y = 2 - 2t
\end{cases}
\quad t \in \mathbb{R}
$\\
On fait une combinaison linéaire sur ~$t$~:
$
\begin{cases}
2x = 2 + 10t \\
5y = 10 - 10t
\end{cases}
\quad t \in \mathbb{R}
$~~ alors ~$2x+5y=2+10t+10-10t$~ Ainsi ~$2x+5y=12$~\\
Donc ~$(D'):~~ 2x+5y-12=0$~\\
\textbf{4}~$-$ La figure\\
\begin{figure}[h]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
    % Dessin du repère
    \draw[help lines, step=0.5, color=gray!30] (-4.5, -2) grid (5.5, 4); % Grille pour l'aide
    \draw[->] (-4, 0) -- (6, 0) node[below] {$x$}; % Axe x
    \draw[->] (0, -2) -- (0, 4) node[below left] {$y$}; % Axe y
    \draw[thick] (0, 0) node[below left] {$O$}; % Origine
    \draw[thick,->] (0,0)--(1,0) node[below] {$\vec i$};
    \draw[thick,->] (0,0)--(0,1) node[left] {$\vec j$};

    % Points
    \coordinate (A) at (-2, 1);
    \coordinate (B) at (-3, -1);
    \coordinate (AD) at (1, 1);
    \coordinate (BD) at (-2, -1);
    \coordinate (ADp) at (1, 2);
    \coordinate (BDp) at (3.5, 1);

    % Vecteur u
    \coordinate (U) at (1, 2);
    \coordinate (UD) at (3, 2);
    \coordinate (UDp) at (5, -2);

    % Tracé des points
    \fill[red] (A) circle (2pt) node[below left ] {$A(-2,1)$};

    % Tracé du vecteur u
    \draw[->, thick, purple] (0, 0) -- (U) node[above right] {$\Delta_{\vec u(1, 2)}$};
    \draw[->, thick, RoyalBlue] (0, 0) -- (UD) node[right] {$D_{\vec u(3, 2)}$};
    \draw[->, thick, SeaGreen] (0, 0) -- (UDp) node[above right] {$D'_{\vec u(5, -2)}$};
    % la droite (Delta)
    \draw[thick,purple] ($(A)!1.5!(B)$) -- ($(B)!2.2!(A)$) node[left] {$(\Delta)$};
    % la droite (D)
    \draw[thick,RoyalBlue] ($(AD)!1.5!(BD)$) -- ($(BD)!2!(AD)$) node[above right] {$(D)$};
    % la droite (D')
    \draw[thick,SeaGreen] ($(ADp)!1.5!(BDp)$) -- ($(BDp)!2.5!(ADp)$) node[above right] {$(D')$};

\end{tikzpicture}
\end{figure}

\textcolor{white}{.}\hfill \underline{MOSAID le \today}\\
\textcolor{white}{.}\hfill \mylink\\
\begin{center}
\stamp{0}{-1}
\end{center}
\end{document}



\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{booktabs}
\usepackage{ragged2e}
\usepackage[left=1.00cm, right=1.00cm, top=1.50cm, bottom=1.50cm]{geometry}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb}
\usepackage{setspace}
\usepackage{multirow}
\usepackage{xcolor}
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\usepackage[ddmmyyyy]{datetime}

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,shapes,decorations.text}

\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
    colorlinks=true,
    linkcolor=blue
}

\newcommand{\mylink}{\href{https://mosaid.xyz/cc}{www.mosaid.xyz}}

\definecolor{PaleTurquoise}{HTML}{AFEEEE} % Pale Turquoise
\definecolor{DarkGreen}{HTML}{006400} % Dark Green
\definecolor{RoyalBlue}{HTML}{4169E1} % Royal Blue
\definecolor{SeaGreen}{HTML}{2E8B57} % Sea Green


\newcolumntype{C}{>{\Centering\arraybackslash}X}

\newcommand{\tb}{\tikz[baseline=-0.6ex] \fill (0,0) circle (2pt);}

\newcommand{\caa}[2][magenta]{%
    \noindent\hspace*{0.2cm}
    \begin{tikzpicture}[scale=1, transform shape]
        \node[font=\bfseries\large\color{#1},inner sep=1pt] (title) at (0,0) {\textbf{#2}};
        \fill[#1]
            ($(title.south west) + (0,-0.1)$) --
            ($(title.south east) + (0.3,-0.1)$) coordinate (AA) --
            ($(title.south east) + (0,-0.2)$) --
            ($(title.south west) + (0.3,-0.2)$) -- cycle;
    \end{tikzpicture}\\[-0.1cm]
}


\newcommand{\stamp}[2]{
\begin{tikzpicture}[remember picture, overlay]
\coordinate (A) at (#1,#2);
\draw[red!50] (A) circle (1.9cm);
% Draw the inner circle
\draw[red!50] (A) circle (1.4cm);
% Draw the curved line
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    text={|\fontspec{DejaVu Sans}\color{red!75}\bfseries|★MOSAID RADOUAN★},
    text align={align=center}, raise=-3pt}] (A) ++ (180:1.6cm) arc (180:0:1.6cm);
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    text={|\fontspec{DejaVu Sans}\color{red!75}\bfseries|∞★~mosaid.xyz~★∞ },
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\newtcolorbox[auto counter, number within=section]{tcexe}[2][]{
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    breakable,                     % Allow box to break across pages
    #1,                             % User-provided options
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\everymath{\displaystyle}
\setstretch{1.2}

\begin{document}
\noindent
\begin{tabularx}{\textwidth}{@{} lCr @{}}
    Lycee Taghzirt\textbf{/}Prof MOSAID &
    2024-2025&
    TCSF\\
    \bottomrule
\end{tabularx}
\mylink \hfill \mylink\\
\begin{tcexe}{Exercice - équation cartésienne d'une droite}
Dans un plan associé à un repère orthonormé \((O; \vec{i}; \vec{j})\),
on considère le point \(A(-2; 1)\) et le vecteur \(\vec{u}(1; 2)\).\\
Soit $(D)$ la droite définie par l'équation cartésienne :~ $2x - 3y + 1 = 0$\\
et la droite \((D')\)  définie par la représentation paramétrique :~~
$
\begin{cases}
x = 1 + 5t \\
y = 2 - 2t
\end{cases}
\quad t \in \mathbb{R}
$\\
\textbf{1}~$-$ Déterminer une équation cartésienne de la droite \((\Delta)\) passant par \(A\) et dirigée par \(\vec{u}\).\\
\textbf{2}~$-$ Donner trois points appartenant à la droite \((D)\) et un vecteur directeur.\\
\textbf{3}~$-$ Déterminer une équation cartésienne de la droite \((D')\).\\
\textbf{4}~$-$ Tracer la figure

\end{tcexe}
\vspace*{0.5cm}
\caa{Solution}
\hspace*{2cm} Solution is in the next page, don't cheat, make a little effort with the exercise first\\
\begin{center}
\stamp{0}{-1}
\end{center}
\newpage
\textbf{1}~$-$
Soit $(\Delta)$ la driote passant par le point \(A(-2; 1)\) et dirigée par le vecteur \(\vec{u}(1; 2)\).\\
On a $M(x,y)\in (\Delta)$ ~~ éqà ~~ $\det(\overrightarrow{AM},\vec u)=0$\\
\hspace*{3cm}éqà ~ $
\begin{vmatrix}
x - (-2) & 1 \\
y - 1 & 2
\end{vmatrix}
= 0
$ ~~ éqà ~~ $2(x+2)-1(y-1)=0$  ~~ éqà ~~~ $2x+4-y+1=0$ \\
Alors ~~$(\Delta):~~2x-y+5=0$\\
%\hfill\bubblethis{Cette méthode est à retenir} \\
\textbf{2}~$-$ On a $(D):~2x-3y+1=0$.\\
On donne des valeurs simples à $x$ et $y$ pour trouver des points appartenant à $(D)$, càd qui vérifient
l'équation.\\
\tb~ pour ~$y=0$~ on a ~$2x+1=0$~ alors ~$x=-\frac{1}{2}$. ~ Ainsi ~$A_1(-\frac{1}{2},0)\in(D)$~\\
\tb~ pour ~$x=1$~ on a ~$2-3y+1=0$~ alors ~$y=1$. ~ Ainsi ~$A_2(1,1)\in(D)$~\\
\tb~ pour ~$y=-1$~ on a ~$2x+3+1=0$~ alors ~$x=-2$. ~ Ainsi ~$A_3(-2,-1)\in(D)$~\\
Un vecteur directeur de la droite ~$(D)$~ est ~$\overrightarrow{A_2A_3}(-3,-2)$~\\
\textbf{3}~$-$ On a ~$(D')$~
$
\begin{cases}
x = 1 + 5t \\
y = 2 - 2t
\end{cases}
\quad t \in \mathbb{R}
$\\
On fait une combinaison linéaire sur ~$t$~:
$
\begin{cases}
2x = 2 + 10t \\
5y = 10 - 10t
\end{cases}
\quad t \in \mathbb{R}
$~~ alors ~$2x+5y=2+10t+10-10t$~ Ainsi ~$2x+5y=12$~\\
Donc ~$(D'):~~ 2x+5y-12=0$~\\
\textbf{4}~$-$ La figure\\
\begin{figure}[h]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
    % Dessin du repère
    \draw[help lines, step=0.5, color=gray!30] (-4.5, -2) grid (5.5, 4); % Grille pour l'aide
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    \draw[->] (0, -2) -- (0, 4) node[below left] {$y$}; % Axe y
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    % Points
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    % Vecteur u
    \coordinate (U) at (1, 2);
    \coordinate (UD) at (3, 2);
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    % Tracé des points
    \fill[red] (A) circle (2pt) node[below left ] {$A(-2,1)$};

    % Tracé du vecteur u
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    % la droite (Delta)
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    % la droite (D)
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    % la droite (D')
    \draw[thick,SeaGreen] ($(ADp)!1.5!(BDp)$) -- ($(BDp)!2.5!(ADp)$) node[above right] {$(D')$};

\end{tikzpicture}
\end{figure}

\textcolor{white}{.}\hfill \underline{MOSAID le \today}\\
\textcolor{white}{.}\hfill \mylink\\
\begin{center}
\stamp{0}{-1}
\end{center}
\end{document}

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