\documentclass{article}
\usepackage[margin=1.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,mathrsfs}
\usepackage{algorithm}
\usepackage{algpseudocode}

\begin{document}

\begin{center}
  {\fontsize{48}{58}\selectfont Inversion de matrice par Gauss-Jordan }
\end{center}


\begin{algorithm}
\caption{Inversion de matrice par Gauss-Jordan}
\begin{algorithmic}[1]
\Procedure{InverserMatrice}{$A$}
    \For{$i \gets 1$ \textbf{à} $n$}
        \If{$A[i][i] = 0$}
            \State Rechercher une ligne $j \gt; i$ tel que $A[j][i] \neq 0$
            \If{une telle ligne existe}
                \State Échanger la ligne $i$ avec la ligne $j$
            \Else
                \State \textbf{Retourner} "Matrice non inversible"
            \EndIf
        \EndIf
        \State Diviser la ligne $i$ par $A[i][i]$ pour obtenir un 1 sur la diagonale principale
        \For{$j \gets 1$ \textbf{à} $n$}
            \If{$j \neq i$}
                \State Soustraire $A[j][i]$ fois la ligne $i$ de la ligne $j$ pour obtenir des zéros en dessous du pivot
            \EndIf
        \EndFor
    \EndFor
\EndProcedure
\end{algorithmic}
\end{algorithm}



\section*{Exemple d'application de l'algorithme de Gauss-Jordan avec matrice identité}

\subsection*{Étape 1 :}

Nous commençons avec la matrice augmentée \( (AI) \)

:\[ (AI) = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & \vert & 1 & 0 & 0 \\
4 & 5 & 6 & \vert & 0 & 1 & 0 \\
7 & 8 & 10 & \vert & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix} \]

\subsection*{Étape 2 :}

Nous remarquons que \( A[1][1] = 1 \neq 0 \), donc nous continuons sans échange de ligne. Nous divisons la première ligne par \( A[1][1] = 1 \) pour obtenir un 1 sur la diagonale principale

:\[ (AI) = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & \vert & 1 & 0 & 0 \\
0 & -3 & -6 & \vert & -4 & 1 & 0 \\
0 & -6 & -11 & \vert & -7 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix} \]

\subsection*{Étape 3 :}

Nous soustrayons \( 4 \) fois la première ligne de la deuxième ligne et \( 7 \) fois la première ligne de la troisième ligne pour obtenir des zéros en dessous du pivot

:\[ (AI) = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & \vert & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 & \vert & \frac{4}{3} & -\frac{1}{3} & 0 \\
0 & -6 & -11 & \vert & -7 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix} \]

\subsection*{Étape 4 :}

Nous continuons avec la deuxième colonne. Nous remarquons que \( A[2][2] = -3 \neq 0 \), donc nous continuons sans échange de ligne. Nous divisons la deuxième ligne par \( A[2][2] = -3 \) pour obtenir un 1 sur la diagonale principale

:\[ (AI) = \begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 & \vert & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} & 0 \\
0 & 1 & 2 & \vert & \frac{4}{3} & -\frac{1}{3} & 0 \\
0 & -6 & -11 & \vert & -7 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix} \]

\subsection*{Étape 5 :}

Nous soustrayons \( 2 \) fois la deuxième ligne de la première ligne et \( -6 \) fois la deuxième ligne de la troisième ligne pour obtenir des zéros en dessus et en dessous du pivot de la deuxième colonne

:\[ (AI) = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & \vert & -\frac{1}{3} & \frac{5}{3} & -1 \\
0 & 1 & 0 & \vert & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & 2 \\
0 & 0 & 1 & \vert & 1 & -2 & 1 \\
\end{pmatrix} \]

\subsection*{Étape 6 :}

Nous continuons avec la troisième colonne. Nous remarquons que \( A[3][3] = 1 \neq 0 \), donc nous continuons sans échange de ligne. Nous soustrayons \( 3 \) fois la troisième ligne de la première ligne et \( -2 \) fois la troisième ligne de la deuxième ligne pour obtenir des zéros en dessus du pivot de la troisième colonne

:\[ (AI) = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & \vert & -\frac{1}{3} & \frac{5}{3} & -1 \\
0 & 1 & 0 & \vert & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & 2 \\
0 & 0 & 1 & \vert & 1 & -2 & 1 \\
\end{pmatrix} \]

Maintenant, nous avons transformé \( (AI) \) en \( (I A^{-1}) \), où \( A^{-1} \) est la matrice inverse de \( A \).



\section*{Calcul de \( A^{-1} \) et vérification de \( A \times A^{-1} = I \)}

\subsection*{Étape 1 : Calcul de \( A^{-1} \)}

Après l'exécution de l'algorithme de Gauss-Jordan, nous avons obtenu la matrice augmentée \( (AI) \) suivante

:\[ (AI) = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & \vert & -\frac{1}{3} & \frac{5}{3} & -1 \\
0 & 1 & 0 & \vert & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & 2 \\
0 & 0 & 1 & \vert & 1 & -2 & 1 \\
\end{pmatrix} \]

Nous pouvons extraire \( A^{-1} \) à partir de cette matrice. \( A^{-1} \) est simplement la partie droite de la barre verticale

:\[ A^{-1} = \begin{pmatrix}
-\frac{1}{3} & \frac{5}{3} & -1 \\
\frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & 2 \\
1 & -2 & 1 \\
\end{pmatrix} \]

\subsection*{Étape 2 : Vérification de \( A \times A^{-1} = I \)}

Pour vérifier que \( A \times A^{-1} \) donne bien la matrice identité \( I \), nous effectuons le produit matriciel \( A \times A^{-1} \)

:\[ A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 10 \\
\end{pmatrix} \]

\[ A^{-1} = \begin{pmatrix}
-\frac{1}{3} & \frac{5}{3} & -1 \\
\frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & 2 \\
1 & -2 & 1 \\
\end{pmatrix} \]

\[ A \times A^{-1} = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 10 \\
\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
-\frac{1}{3} & \frac{5}{3} & -1 \\
\frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & 2 \\
1 & -2 & 1 \\
\end{pmatrix} \]

Après le calcul du produit matriciel, nous obtenons

:\[ A \times A^{-1} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix} = I \]

Ce qui confirme que \( A \times A^{-1} \) donne bien la matrice identité \( I \), ce qui signifie que \( A^{-1} \) est effectivement l'inverse de \( A \).


\end{document}