\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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    colorlinks=true,
    urlcolor=magenta
}



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\newfontfamily\arabicfont[Script=Arabic,Scale=1.1]{Amiri}


% --- Colors ---
\definecolor{lightgray}{gray}{0.6}



% --- Basic Settings ---
\def\professor{R. MOSAID}
\def\classname{2BAC.PC/SVT}
\def\examtitle{Devoir Maison 01S01, Par Prof AFARIAD Hamza}
\def\schoolname{\textbf{Lycée :} Taghzirt}
\def\academicyear{2025/2026}
\def\subject{Mathématiques}
\def\duration{2h}
\def\secondtitle{\small visit \wsite\ for more!}
\def\province{Direction provinciale de\\ Beni Mellal}
\def\logo{\includegraphics[width=\linewidth]{images/logo-men.png}}
\def\wsite{\href{https://www.mosaid.xyz}{\textcolor{magenta}{\texttt{www.mosaid.xyz}}}}
\def\ddate{\hfill \number\day/\number\month/\number\year~~}
\def\bottommsg{Bonne chance!}
\setstretch{1.3}
\everymath{\displaystyle}

% --- Exercise Theme 1 ---
% Exercise Theme 1: TikZ shadow title
\newcommand{\exothemeone}[1]{%
\par\vspace{0pt}\noindent\leavevmode
\begin{tikzpicture}[baseline=(text.base)]
    \node[] (text) at (0,0) {\textbf{\#1}};
    \fill[black] ([xshift=0.1cm, yshift=-0.1cm]text.south west)
                 rectangle ([xshift=0.1cm, yshift=-0.1cm]text.north east);
    \draw[fill=white] (text.south west) rectangle (text.north east);
    \node[] at (text) {\textbf{\#1}};
\end{tikzpicture}\\[0.2cm]
}

\newcommand{\printexo}[3]{%
  \if\relax\detokenize{\#2}\relax
    \def\fulltitle{Exercice #1}%
  \else
    \def\fulltitle{Exercice #1~#2}%
  \fi
  \exothemeone{\fulltitle}%
  \noindent #3%
  \vspace{0.2cm}%
}
% --- Header Style 9 ---
\newcommand{\printheadnine}{%

  \arrayrulecolor{lightgray}

  \begin{tabular}{m{0.23\textwidth} m{0.50\textwidth} m{0.23\textwidth}}
      \textbf{\classname} & \centering \textbf{\examtitle}
      & \ddate \\
      \wsite & \centering \large\textbf{\secondtitle}
      &\hfill
        \begin{tabular}{|c}
          \hline
          \textbf{~~\professor}
        \end{tabular}\\
      \hline
  \end{tabular}

  \arrayrulecolor{black} % restore default if needed
}

\fancyhf{}%
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%
\renewcommand{\footrulewidth}{0pt}%
\setlength{\headheight}{47pt}%
\setlength{\headsep}{0pt}%
\fancyhead[C]{%
    \printheadnine
}%
\pagestyle{fancy}%
\begin{document}

% Exercise 1
\printexo{1}{}{

\vspace*{-1cm}
\begin{enumerate}
    \item Soit ~$ f $~ la fonction numérique définie par :
    ~$
    \begin{cases}
      f(x) = \dfrac{3\sqrt{x^2+6x}-2\sqrt[3]{2}}{x-2} & \text{si } x \neq 2 \\
      f(2) = \dfrac{5\sqrt[3]{2}}{12}
    \end{cases}
    $~\\
    Montrer que la fonction ~$ f $~ est continue en ~$ x_0 = 2 $~.

    \item Soit ~$ f $~ la fonction numérique définie sur ~$ \mathbb{R} - \{4\} $~ par :
    ~$
    \begin{cases}
    f(x) = x - \sqrt[3]{1-x} & \text{si } x < 1 \\
    f(x) = \dfrac{1}{2-\sqrt{x}} & \text{si } x \geq 1 \text{ et } x \neq 4
    \end{cases}
    $~
    \begin{enumerate}
        \item Étudier la dérivabilité de ~$ f $~ à gauche en 1.
        \item Étudier la dérivabilité de ~$ f $~ à droite en 1.
        \item ~$ f $~ est-elle dérivable en 1? Justifier.
    \end{enumerate}

    \item Comparer les deux nombres : ~$ \sqrt[5]{91} $~ et ~$ \sqrt[3]{15} $~

    \item Résoudre dans ~$ \mathbb{R} $~ l'équation suivante :
    ~$(E) : \sqrt[3]{x^2 + 2x + 2} = 1$~
\end{enumerate}
}

% Exercise 2
\printexo{2}{}{
Soit ~$ f $~ la fonction numérique définie sur ~$ ]1; +\infty[ $~ par :
~$f(x) = \frac{1}{x-1} - \sqrt{x}$~

\begin{enumerate}
    \item Donner le tableau de variations de la fonction ~$ f $~.
    \item Montrer que l'équation ~$ f(x) = 0 $~ admet une solution unique ~$ \alpha $~ dans l'intervalle ~$ ]1; +\infty[ $~ et que ~$ \alpha \in ]1; 2[ $~.
    \item Vérifier que : ~$ \alpha = \sqrt[3]{2\alpha^2 - \alpha + 1} $~.
    \item Donner le signe de ~$ f $~ sur ~$ ]1; +\infty[ $~.
\end{enumerate}
}

% Exercise 3
\printexo{3}{}{
Soit \( f \) la fonction définie par :
~$f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}$~\\
et soit ~$(\mathcal C_f)$~ sa courbe représentative dans un repère orthonormé ~$(O; \vec i, \vec j)$~.

\begin{enumerate}
    \item Vérifier que : ~$ D_f = ]-\infty; -1[ \cup ]1; +\infty[ $~.
    \item Montrer que la fonction ~$ f $~ est impaire.
    \item Calculer ~$ \lim_{x \to 1^+} f(x) $~ et ~$ \lim_{x \to +\infty} f(x) $~.
    \item Montrer que pour tout ~$ x \in D_f : f'(x) = \dfrac{-1}{(x^2 - 1)\sqrt{x^2 - 1}} $~.
    \item Étudier le signe de ~$ f'(x) $~ puis dresser le tableau de variations de ~$ f $~.
    \item Écrire l'équation de la tangente ~$(T)$~ à la courbe ~$(\mathcal C_f)$~ au point d'abscisse 4.
    \item Soit ~$ g $~ la restriction de la fonction ~$ f $~ sur ~$ I = ]1; +\infty[ $~.
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que ~$ g $~ admet une fonction réciproque ~$ g^{-1} $~ définie sur un intervalle ~$ J $~ à déterminer.
        \item Calculer ~$ g\left(\sqrt{2}\right) $~ puis montrer que ~$ g^{-1} $~ est dérivable en ~$ \sqrt{2} $~ et calculer ~$ (g^{-1})'\left(\sqrt{2}\right) $~.
        \item Déterminer ~$ g^{-1}(x) $~ pour tout ~$ x \in J $~.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\end{document}