\documentclass[12pt,a4paper]{report}
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% Colors and definitions
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% Page style
\pagestyle{fancy}
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\fancyfoot{}

\fancyfoot[C]{\thepage}
%\fancyfoot[R]{$07\ 60\ 81\ 72\ 44$}

% Custom enumerate styles
\renewcommand{\labelenumi}{%
    \begin{tikzpicture}[baseline=(1.base)]
    \node[draw,regular polygon,regular polygon sides=4,inner sep=.9mm,fill=Cyan,text=white,font=\bfseries](1){\arabic{enumi}};
    \end{tikzpicture}}
\renewcommand{\labelenumii}{%
    \begin{tikzpicture}[baseline=(1.base)]
    \node[draw,circle,inner sep=.5mm,fill=BlueGreen,text=white,font=\bfseries\footnotesize,minimum size=5mm](1){\alph{enumii}};
    \end{tikzpicture}}

% Box style
\DeclareTColorBox{boxe}{ O{RoyalBlue} O{}}{
    enhanced,breakable,
    before skip=2mm,after skip=0.3cm,
    bottom=0.3cm,colframe=#1,
    colback=#1!2,boxrule=0.2mm,arc=2mm,
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        \path[fill=#1]
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    },interior engine=empty,
    },title={\large\bf #2},pad at break*=4mm
}
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\begin{document}

\everymath{\displaystyle}

\begin{center}
    \begin{tikzpicture}
    \node[RoyalBlue,draw,rounded corners=4mm,line width=1mm, align=center, text=black, text width=0.98\textwidth]{
        \begin{tabular}{c c c}
        \textbf{\large Lycée IBN TAYMYA }\hspace*{1cm} & \textbf{\large Devoir de contrôle n°2} & \hspace*{1cm}\textbf{ \large Pr.\,Adnane OUERDI }\\
       \textbf{\large   }\hspace*{1cm} & { \textbf{semestre 01}} & \hspace*{1cm} \textbf{  2 bac SP 02 et 03}
        \end{tabular}
    };
    \end{tikzpicture}
\end{center}




\begin{boxe}[RoyalBlue][\textbf{Exercice $1$ : \quad 11 pt}]
Soit $f$ la fonction définie par : $f(x)=x^2-2x$.\\
On note $(\mathcal{C}_f)$ sa courbe dans un repère orthonormé $(O;\,\vec{i},\vec{j})$.


\begin{enumerate}
\item Déterminer $D_f$ et calculer limites aux bornes.\hfill 1 pt
\item Étudier les branches infinies de la courbe $(\mathcal{C}_f)$. \hfill 1 pt
\item Étudier la position relative de $(\mathcal{C}_f)$ et de la droite $(\Delta)$ d'équation $y=x$. \hfill 1 pt
\item
\begin{enumerate}
\item Étudier la dérivabilité de $f$ à droite en $0$. \hfill 1 pt
\item Calculer $f'(x)$ pour tout $x\in[0,+\infty[$. \hfill 1 pt
\item Dresser le tableau de variation de $f$. \hfill 1 pt
\item Construire $(\Delta)$ et $(\mathcal{C}_f)$. \hfill 1 pt
\end{enumerate}
\item On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer par récurrence que $u_n>1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. \hfill 1 pt
\item Montrer que $(u_n)$ est décroissante, en déduire qu'elle converge. \hfill 1 pt
\item Calculer la limite de $(u_n)$. \hfill 2 pt
\end{enumerate}
\end{enumerate}







\end{boxe}



\begin{boxe}[RoyalBlue][\textbf{Exercice $2$ :\quad 9pt  }]

On considère la suite $(u_n)$ définie par : $u_0=1$ et
\[
u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n + \frac{1}{3} - \frac{1}{n}\qquad (n\in \mathbb{N}).
\]


\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1, u_2, u_3$. \hfill 1,5 pt


\item
\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout entier naturel $n\ge 4$, $u_n\ge 0$. \hfill 1,5 pt
\item En déduire que pour tout $n\ge 5$, $$u_n \ge \frac{3}{n}-1$$. \hfill 1,5 pt
\item En déduire la limite de $(u_n)$. \hfill 1,5 pt
\end{enumerate}


\item On définit la suite $(v_n)$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ par :
\[
v_n = \frac{1}{2}u_n - \frac{2}{3} + \frac{1}{2n}.
\]
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique ; préciser sa raison et son premier terme. \hfill 1,5 pt
\item En déduire que pour tout $n\in\mathbb{N}$:
\[
u_n = \frac{5}{4}\left(\frac{1}{3}\right)^n + \frac{2}{3} - \frac{1}{2n} \qquad . \hfill 1,5 pt
\]
\item Soit $S_n = u_0 + u_1 + \dots + u_n$. Donner son expression en fonction de $n$. \hfill 1,5 pt
\end{enumerate}
\end{enumerate}



\end{boxe}


\newpage


\begin{center}
    \begin{tikzpicture}
    \node[RoyalBlue,draw,rounded corners=4mm,line width=1mm, align=center, text=black, text width=0.98\textwidth]{
        \begin{tabular}{c c c}
        \textbf{\large Lycée IBN TAYMYA }\hspace*{1cm} & \textbf{\large Devoir de contrôle n°2} & \hspace*{1cm}\textbf{ \large Pr.\,Adnane OUERDI }\\
       \textbf{\large   }\hspace*{1cm} & { \textbf{semestre 01}} & \hspace*{1cm} \textbf{  2 bac SP 02 et 03}
        \end{tabular}
    };
    \end{tikzpicture}
\end{center}




\begin{boxe}[RoyalBlue][\textbf{Exercice $1$ : \quad 11 pt}]
Soit $f$ la fonction définie par : $f(x)=x^2-2x$.\\
On note $(\mathcal{C}_f)$ sa courbe dans un repère orthonormé $(O;\,\vec{i},\vec{j})$.


\begin{enumerate}
\item Déterminer $D_f$ et calculer limites aux bornes.\hfill 1 pt
\item Étudier les branches infinies de la courbe $(\mathcal{C}_f)$. \hfill 1 pt
\item Étudier la position relative de $(\mathcal{C}_f)$ et de la droite $(\Delta)$ d'équation $y=x$. \hfill 1 pt
\item
\begin{enumerate}
\item Étudier la dérivabilité de $f$ à droite en $0$. \hfill 1 pt
\item Calculer $f'(x)$ pour tout $x\in[0,+\infty[$. \hfill 1 pt
\item Dresser le tableau de variation de $f$. \hfill 1 pt
\item Construire $(\Delta)$ et $(\mathcal{C}_f)$. \hfill 1 pt
\end{enumerate}
\item On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer par récurrence que $u_n>1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. \hfill 1 pt
\item Montrer que $(u_n)$ est décroissante, en déduire qu'elle converge. \hfill 1 pt
\item Calculer la limite de $(u_n)$. \hfill 2 pt
\end{enumerate}
\end{enumerate}







\end{boxe}



\begin{boxe}[RoyalBlue][\textbf{Exercice $2$ :\quad 9pt  }]

On considère la suite $(u_n)$ définie par : $u_0=1$ et
\[
u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n + \frac{1}{3} - \frac{1}{n}\qquad (n\in \mathbb{N}).
\]


\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1, u_2, u_3$. \hfill 1,5 pt


\item
\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout entier naturel $n\ge 4$, $u_n\ge 0$. \hfill 1,5 pt
\item En déduire que pour tout $n\ge 5$, $$u_n \ge \frac{3}{n}-1$$. \hfill 1,5 pt
\item En déduire la limite de $(u_n)$. \hfill 1,5 pt
\end{enumerate}


\item On définit la suite $(v_n)$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ par :
\[
v_n = \frac{1}{2}u_n - \frac{2}{3} + \frac{1}{2n}.
\]
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique ; préciser sa raison et son premier terme. \hfill 1,5 pt
\item En déduire que pour tout $n\in\mathbb{N}$:
\[
u_n = \frac{5}{4}\left(\frac{1}{3}\right)^n + \frac{2}{3} - \frac{1}{2n} \qquad . \hfill 1,5 pt
\]
\item Soit $S_n = u_0 + u_1 + \dots + u_n$. Donner son expression en fonction de $n$. \hfill 1,5 pt
\end{enumerate}
\end{enumerate}



\end{boxe}
\end{document}