\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\newfontfamily\arabicfont[Script=Arabic,Scale=1.1]{Amiri}

% --- Two pages on 1 layout ---
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\definecolor{lightgray}{gray}{0.6}



% --- Basic Settings ---
\def\professor{R. MOSAID}
\def\classname{2BAC.PC/SVT}
\def\examtitle{Devoir 02 - S01, Par: Pr Brahim Nahid}
\def\schoolname{\textbf{Lycée :} Taghzirt}
\def\academicyear{2025/2026}
\def\subject{Mathématiques}
\def\duration{2h}
\def\secondtitle{\small visit {\wsite} for more!}
\def\province{Direction provinciale de\\ Beni Mellal}
\def\logo{\includegraphics[width=\linewidth]{images/logo-men.png}}
\def\wsite{\color{magenta}\texttt{www.mosaid.xyz}}
\def\ddate{\hfill \number\day/\number\month/\number\year~~}
\def\bottommsg{Bonne chance!}
\setstretch{1.5}
\AtBeginDocument{
  \fontsize{14}{15}\selectfont
}
\everymath{\displaystyle}

% --- Exercise Theme 1 ---
% Exercise Theme 1: TikZ shadow title
\newcommand{\exothemeone}[1]{%
\par\vspace{0pt}\noindent\leavevmode
\begin{tikzpicture}[baseline=(text.base)]
    \node[] (text) at (0,0) {\textbf{\#1}};
    \fill[black] ([xshift=0.1cm, yshift=-0.1cm]text.south west)
                 rectangle ([xshift=0.1cm, yshift=-0.1cm]text.north east);
    \draw[fill=white] (text.south west) rectangle (text.north east);
    \node[] at (text) {\textbf{\#1}};
\end{tikzpicture}%
\vspace{0.3em}\noindent
}

\newcommand{\printexo}[3]{%
  \if\relax\detokenize{\#2}\relax
    \def\fulltitle{Exercice #1}%
  \else
    \def\fulltitle{Exercice #1~#2}%
  \fi
  \exothemeone{\fulltitle}%
  \noindent #3%
  \vspace{0.2cm}%
}
% --- Header Style 9 ---
\newcommand{\printheadnine}{%

  \arrayrulecolor{lightgray}

  \begin{tabular}{m{0.24\textwidth} m{0.48\textwidth} m{0.24\textwidth}}
      \textbf{\classname} & \centering \textbf{\examtitle}
      & \ddate \\
      \wsite & \centering \large\textbf{\secondtitle}
      &\hfill
        \begin{tabular}{|c}
          \hline
          \textbf{~~\professor}
        \end{tabular}\\
      \hline
  \end{tabular}

  \arrayrulecolor{black} % restore default if needed
}

\fancyhf{}%
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%
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\setlength{\headheight}{47pt}%
\setlength{\headsep}{0pt}%
\fancyhead[C]{%
    \printheadnine
}%
\pagestyle{fancy}%
\begin{document}

% Exercise 1
\printexo{1}{}{
\begin{enumerate}
    \item Montrer que la solution de l'équation ~$\sqrt[3]{1 - \sqrt{x}} = \sqrt[6]{x} $~ est ~$\frac{1}{4}$~. \dotfill
    (0.5 pt)
    \item
    Soit ~$ h $~ la fonction définie par :
    ~$
    \begin{cases}
      h(x) = \frac{\sqrt[3]{4x-3}-1}{x-1} & \text{si } x \in \left[\frac{3}{4}, +\infty\right[ \setminus \{1\}\\
    h(1) = \frac{4}{3} &
    \end{cases}
    $~\\
    Étudier la continuité de ~$ h $~ en ~$ x = 1 $~.
    \dotfill (1 pt)
    \item Calculer les limites suivantes:
    ~$
    \lim_{x \to 1} \frac{x^{2025}-1}{x-1} \quad \text{et} \quad \lim_{x \to 3} \frac{x^{3}-27}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{3}}
    $~ \dotfill
    (1.5 pt)
  \item {\small Calculer} ~$ g'(x) $~ {\small dans chacun des cas suivants}:\\
    ~$
    g(x) = \sin(2x^3 + 4x) + \sin(\pi^2) \quad \text{et} \quad g(x) = \sqrt[4]{x^3 + 3x + 1}
    $~ \dotfill
    (1 pt)
    \item Soit ~$ f $~ une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant ~$ a $~. \\
    Montrer que : ~$ f $~ est dérivable en ~$ a \implies f $~ est continue en ~$ a $~. \dotfill
    (1 pt)
\end{enumerate}
}

% Exercise 2
\printexo{2}{}{\\
Soit ~$ f $~ la fonction numérique définie par :
~$
\begin{cases}
f(x) = x - \sqrt{1-x} & \text{si } x < 1 \\
f(x) = \frac{1}{2-\sqrt{x}} & \text{si } x \geq 1
\end{cases}
$~\\
%(0.75 pt)
Et soit ~$ \mathcal{C} $~ sa courbe représentative dans un repère orthonormé ~$(O; \vec{i}; \vec{j})$~.
\begin{enumerate}
    \item Montrer que ~$ D_f = ]-\infty; 4[ \cup ]4; +\infty[ $~. \dotfill
    (0.75 pt)
    \item Calculer les limites de ~$ f $~ aux bornes de ~$ D_f $~. \dotfill
    (1.25 pt)
    \item
    \begin{enumerate}
        \item Calculer ~$ f'(x) $~ pour tout ~$ x $~ appartient à ~$ D_f - \{1\} $~. \dotfill
        (1 pt)
        \item Dresser le tableau de variation de ~$ f $~. \dotfill
        (0.5 pt)
    \end{enumerate}
    \item
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que la courbe ~$ \mathcal{C} $~ coupe l'axe des abscisses en un unique point\\ dont l'abscisse ~$ \alpha $~ appartient à l'intervalle ~$ ]0; 1[ $~. \dotfill
        (1 pt)
        \item En utilisant la méthode de dichotomie, donner un encadrement de ~$ \alpha $~ d'amplitude ~$ 5 \times 10^{-1} $~. \dotfill
        (0.5 pt)
    \end{enumerate}
\end{enumerate}
}

% Exercise 3
\printexo{3}{}{\\
On considère la fonction ~$ f $~ définie sur ~$ \mathbb{R}^+ $~ par : ~$ f(x) = x - 2\sqrt{x} + 1 $~\\
Et soit ~$ \mathcal{C} $~ sa courbe représentative dans un repère orthonormé ~$ (O; \vec{i}; \vec{j}) $~.
\begin{enumerate}
    \item Vérifier que ~$ (\forall x \in \mathbb{R}^+) ;\quad f(x) = (\sqrt{x} - 1)^2 $~ \dotfill
    (0.5 pt)
    \item Calculer : ~$ \lim_{x \to +\infty} f(x) $~ \dotfill
    (0.5 pt)
    \item Étudier la continuité de ~$ f $~ sur ~$ \mathbb{R}^+ $~. \dotfill
    (0.5 pt)
    \item
    \begin{enumerate}
        \item Étudier la dérivabilité de ~$ f $~ à droite de ~$ x_0 = 0 $~, puis interpréter le résultat obtenu. \dotfill
        (0.75 pt)
        \item Montrer que : ~$ (\forall x \in ]0; +\infty[ ) ; \quad f'(x) = \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}} $~ \dotfill
        (1 pt)
        \item Étudier les variations de ~$ f $~ sur ~$ \mathbb{R}^+ $~, puis donner le tableau de variations de ~$ f $~. \dotfill
        (0.75 pt)
        \item Déterminer l'équation de ~$ (T) $~ la tangente de la courbe ~$ \mathcal{C} $~ au point d'abscisse 4. \dotfill
        (0.75 pt)
    \end{enumerate}
    \item Soit ~$ g $~ la restriction de la fonction ~$ f $~ sur l'intervalle ~$ I = [1; +\infty[ $~.
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que la fonction ~$ g $~ admet une fonction réciproque ~$ g^{-1} $~ \\définie sur un intervalle ~$ J $~ à déterminer. \dotfill
        (0.5 pt)
        \item Dresser le tableau de variation de la fonction ~$ g^{-1} $~. \dotfill
        (0.25 pt)
        \item Montrer que la fonction ~$ g^{-1} $~ est dérivable en 1, puis déterminer ~$ (g^{-1})'(1) $~\\. \dotfill(0.75 pt)
        \item Calculer : ~$ \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x} + g^{-1}(x) - 5}{x-1} $~ \dotfill
        (1 pt)
        \item Déterminer ~$ g^{-1}(x) $~ pour tout ~$ x $~ de ~$ J $~. \dotfill
        (0.75 pt)
    \end{enumerate}
\end{enumerate}
}

% Exercise 4
\printexo{4}{}{\\
Soit ~$ h $~ la fonction définie sur ~$ \mathbb{R}^+ $~ par : ~$ h(x) = x^{n+1} - 3x^n + 1 $~ avec ~$ n \in \mathbb{N}^* $~.
\begin{enumerate}
    \item
    \begin{enumerate}
      \item Montrer que ~$ h $~ est strictement décroissante sur ~$ \left[ 0; \frac{3n}{n+1} \right] $~ \\et elle est strictement croissante sur ~$ \left] \frac{3n}{n+1}; +\infty \right[ $~, puis donner le tableau de variation de ~$ h $~. \dotfill
        (1 pt)
        \item En déduire que ~$ h \left( \frac{3n}{n+1} \right) < 0 $~, \quad\quad
        (remarquer que ~$ h(1) = -1 $~) \dotfill
        (0.5 pt)
    \end{enumerate}
    \item Montrer que : ~$ \exists ! \beta \in \left[ \frac{3n}{n+1}; 3 \right] \quad h(\beta) = 0 $~ \dotfill
    (0.5 pt)
\end{enumerate}
}
\begin{center}
  \vskip 3pt \hrule height 3pt \vskip 5pt \RL{\arabicfont ﴿هُوَ ٱلَّذِى يُصَلِّى عَلَيْكُمْ وَمَلَـٰٓئِكَتُهُۥ لِيُخْرِجَكُم مِّنَ ٱلظُّلُمَـٰتِ إِلَى ٱلنُّورِ ۚ وَكَانَ بِٱلْمُؤْمِنِينَ رَحِيمًا﴾ \\(الأحزاب 43) }
\end{center}


\end{document}