\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
    colorlinks=true,
    urlcolor=magenta
}
% Define column type for centered cells

\usepackage{bidi}

\newfontfamily\arabicfont[Script=Arabic,Scale=1.1]{Amiri}


% --- Colors ---

\definecolor{lightgray}{gray}{0.6}



% --- Basic Settings ---
\def\professor{R. MOSAID}
\def\classname{2BAC.PC/SVT}
\def\examtitle{Devoir Libre 02 - S01, Par: Prof. Saissi Rachid}
\def\schoolname{\textbf{Lycée :} Taghzirt}
\def\academicyear{2025/2026}
\def\subject{Mathématiques}
\def\duration{2h}
\def\secondtitle{\small(Etude d'une fonction \& Limite d'une suite numérique)}
\def\province{Direction provinciale de\\ Beni Mellal}
\def\logo{\includegraphics[width=\linewidth]{images/logo-men.png}}
\def\wsite{\href{https://www.mosaid.xyz}{\textcolor{magenta}{\texttt{www.mosaid.xyz}}}}
\def\ddate{\hfill \number\day/\number\month/\number\year~~}
\def\bottommsg{Bonne chance!}
\setstretch{1.2}
\everymath{\displaystyle}

\SetEnumitemKey{tight}{
    leftmargin=*,
    itemsep=0pt,
    topsep=0pt,
    parsep=0pt,
    partopsep=0pt
}


% --- Exercise Theme 1 ---
% Exercise Theme 1: TikZ shadow title
\newcommand{\exothemeone}[1]{%
\par\vspace{0pt}\noindent\leavevmode
\begin{tikzpicture}[baseline=(text.base)]
    \node[] (text) at (0,0) {\textbf{\#1}};
    \fill[black] ([xshift=0.1cm, yshift=-0.1cm]text.south west)
                 rectangle ([xshift=0.1cm, yshift=-0.1cm]text.north east);
    \draw[fill=white] (text.south west) rectangle (text.north east);
    \node[] at (text) {\textbf{\#1}};
\end{tikzpicture}\\[0.2cm]
}

\newcommand{\printexo}[3]{%
  \if\relax\detokenize{\#2}\relax
    \def\fulltitle{Exercice #1}%
  \else
    \def\fulltitle{Exercice #1~#2}%
  \fi
  \exothemeone{\fulltitle}%
  \noindent #3%
  \vspace{0.2cm}%
}
% --- Header Style 9 ---
\newcommand{\printheadnine}{%

  \arrayrulecolor{lightgray}
  \begin{tabular}{m{0.22\textwidth} m{0.52\textwidth} m{0.22\textwidth}}
      \textbf{\classname} & \centering \textbf{\examtitle}
      & \ddate \\
      \wsite & \centering \large\textbf{\secondtitle}
      &\hfill
        \begin{tabular}{|c}
          \hline
          \textbf{~~\professor}
        \end{tabular}\\
      \hline
  \end{tabular}

  \arrayrulecolor{black} % restore default if needed
}

\fancyhf{}%
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%
\renewcommand{\footrulewidth}{0pt}%
\setlength{\headheight}{47pt}%
\setlength{\headsep}{0pt}%
\fancyhead[C]{%
    \printheadnine
}%
\pagestyle{fancy}%
\begin{document}

\vspace*{-1cm}
% Exercise 1
\printexo{1}{}{
\textbf{I.} Soit \( f \) la fonction définie sur par :
   ~$
   f(x) = \frac{x}{\sqrt{x} - 1}
   $~
\begin{enumerate}[tight]
\item Montrer que :
   ~$
   D_f = [0 ; 1[ \cup ]1 ; +\infty[
   $~

\item Calculer
   ~$
   \lim_{x \to 1^-} f(x) \quad \text{et} \quad \lim_{x \to 1^+} f(x)
   $~
   puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.

\item Calculer
   $
   \lim_{x \to +\infty} f(x) ~ \text{et} ~ \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}
   $
   puis déduire la nature de la branche infinie de ~$(\mathcal C)$ au voisinage de \( +\infty \).

\item Calculer
   ~$
    \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x}
   $~
   puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.

\item
  \begin{enumerate}
\item
  Vérifier que :
   ~$
   f(x) - x = \frac{x(4-x)(\sqrt{x}+1)}{(x-1)(\sqrt{x}+2)} \quad \text{pour tout } x \text{ de } D_f
   $~

\item Déduire la position relative de la courbe ~$(\mathcal C)$ et la droite (\(\Delta\)) d’équation \( y = x \).
  \end{enumerate}

\item
  \begin{enumerate}
  \item
  Montrer que :
   ~$
      f'(x) = \frac{x - 4}{2(\sqrt{x}-1)^2(\sqrt{x}+2)} \quad \text{pour tout } x \text{ de } ]0 ; 1[ \cup ]1 ; +\infty[
   $~

\item Dresser le tableau de variations de la fonction \( f \).
  \end{enumerate}

\item Tracer la courbe ~$(\mathcal C)$ (On admet que \( I \left( 9 ; \frac{9}{2} \right) \) est un point d’inflexion de ~$(\mathcal C)$).

  \end{enumerate}
\textbf{II.} Soit \( g \) la restriction de la fonction \( f \) sur l’intervalle \( I = [4 ; +\infty[\).

  \begin{enumerate}
\item Montrer que \( g \) admet une fonction réciproque \( g^{-1} \) définie sur un intervalle \( J \) à déterminer.

\item Tracer la courbe \((\mathcal C^{-1})\) dans le repère ~$(O; \vec i, \vec j)$.

\end{enumerate}
\textbf{III.} Soit (\( U_n \)) la suite définie par :
   ~$
   U_0 = 5 \quad \text{et} \quad U_{n+1} = f(U_n) \quad \text{pour tout } n \text{ de } \mathbb{N}
   $~
\begin{enumerate}

\item Montrer que \( U_n > 4 \) pour tout \( n \) de \( \mathbb{N} \).

\item Montrer que la suite (\( U_n \)) est décroissante.

\item Montrer que la suite (\( U_n \)) est convergente et déterminer sa limite.
\end{enumerate}
}

\vspace*{-0.25cm}
% Exercise 2
\printexo{2}{}{

\vspace*{-0.75cm}
\noindent Soit (\( U_n \)) la suite définie par :
   ~$
   U_0 = 0 \quad \text{et} \quad U_{n+1} = \frac{4U_n + 2}{U_n + 3} \quad \text{pour tout } n \text{ de } \mathbb{N}
   $~

\begin{enumerate}[tight]
%\setcounter{enumi}{16}
\item Vérifier que :
   ~$
   U_{n+1} = 4 - \frac{10}{U_n + 3}
   $~

\item Montrer par récurrence que :
   ~$
   -1 < U_n < 2 \quad \text{pour tout } n \text{ de } \mathbb{N}
   $~

\item

\begin{enumerate}
\item
  Montrer que :
   ~$
   U_{n+1} - U_n = \frac{(2-U_n)(U_n+1)}{U_n + 3} \quad \text{pour tout } n \text{ de } \mathbb{N}
   $~

\item Montrer que la suite (\( U_n \)) est croissante puis déduire que \( U_n \geq \frac{2}{3} \) pour tout \( n \) de \( \mathbb{N} \).

\item Déduire que (\( U_n \)) est convergente.

\end{enumerate}
\item On pose :
   ~$
   V_n = \frac{U_n - 2}{U_n + 1} \quad \text{pour tout } n \text{ de } \mathbb{N}
   $~

\begin{enumerate}
\item Montrer que (\( V_n \)) est une suite géométrique et déterminer sa raison et son premier terme.

\item Exprimer \( V_n \) en fonction de \( n \).

\item Montrer que :
   ~$
   U_n = \frac{2 - 2\left(\frac{2}{5}\right)^n}{1 + 2\left(\frac{2}{5}\right)^n} \quad \text{pour tout } n \text{ de } \mathbb{N}
   $~
   puis calculer \( \lim_{n \to +\infty} U_n \).

\end{enumerate}
\item Calculer la limite de la suite (\( W_n \)) définie par \( W_n = \sqrt{2 + 3U_n} \) pour tout \( n \) de \( \mathbb{N} \).

\item
\begin{enumerate}
\item
  Montrer que :
   ~$
   0 < 2 - U_{n+1} \leq \frac{2}{3}(2 - U_n) \quad \text{pour tout } n \text{ de } \mathbb{N}
   $~

\item Déduire que :
   ~$
   0 < 2 - U_n \leq 2\left(\frac{2}{3}\right)^n \quad \text{pour tout } n \text{ de } \mathbb{N}
   $~
   puis calculer de nouveau \( \lim_{n \to +\infty} U_n \).
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\end{document}