\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\hypersetup{
    colorlinks=true,
    urlcolor=magenta
}

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\newfontfamily\arabicfont[Script=Arabic,Scale=1.1]{Amiri}


% --- Colors ---

\definecolor{lightgray}{gray}{0.6}



% --- Basic Settings ---
\def\professor{R. MOSAID}
\def\classname{2BAC.PC/SVT}
\def\examtitle{\small{\textbf{Devoir 02 - S01, par Prof TABRART Abdelaziz},~\texttt{tabrart@gmail.com} }}
\def\schoolname{\textbf{Lycée :} Taghzirt}
\def\academicyear{2025/2026}
\def\subject{Mathématiques}
\def\duration{2h}
\def\secondtitle{\small visit {\wsite} for more!}
\def\province{Direction provinciale de\\ Beni Mellal}
\def\logo{\includegraphics[width=\linewidth]{images/logo-men.png}}
\def\wsite{\href{https://www.mosaid.xyz}{\textcolor{magenta}{\texttt{www.mosaid.xyz}}}}
\def\ddate{\hfill \number\day/\number\month/\number\year~~}
\def\bottommsg{Bonne chance!}
\setstretch{1.2}
\everymath{\displaystyle}

% --- Exercise Theme 1 ---
% Exercise Theme 1: TikZ shadow title
\newcommand{\exothemeone}[1]{%
\par\vspace{0pt}\noindent\leavevmode
\begin{tikzpicture}[baseline=(text.base)]
    \node[] (text) at (0,0) {\textbf{\#1}};
    \fill[black] ([xshift=0.1cm, yshift=-0.1cm]text.south west)
                 rectangle ([xshift=0.1cm, yshift=-0.1cm]text.north east);
    \draw[fill=white] (text.south west) rectangle (text.north east);
    \node[] at (text) {\textbf{\#1}};
\end{tikzpicture}\\[0.2cm]
}

\newcommand{\printexo}[3]{%
  \if\relax\detokenize{\#2}\relax
    \def\fulltitle{Exercice #1}%
  \else
    \def\fulltitle{Exercice #1~#2}%
  \fi
  \exothemeone{\fulltitle}%
  \noindent #3%
  \vspace{0.2cm}%
}
% --- Header Style 9 ---
\newcommand{\printheadnine}{%

  \arrayrulecolor{lightgray}

  \begin{tabular}{m{0.18\textwidth} m{0.62\textwidth} m{0.18\textwidth}}
      \textbf{\classname} & \centering \examtitle
      & \ddate \\
      \wsite & \centering \large\textbf{\secondtitle}
      &\hfill
        \begin{tabular}{|c}
          \hline
          \textbf{~~\professor}
        \end{tabular}\\
      \hline
  \end{tabular}

  \arrayrulecolor{black} % restore default if needed
}

\fancyhf{}%
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%
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\fancyhead[C]{%
    \printheadnine
}%
\pagestyle{fancy}%
\begin{document}

\vspace*{-1cm}
% Exercise 1
\printexo{1}{}{

\vspace*{-1cm}
Soit ~$ (U_n)_{n \in \mathbb{N}} $~ une suite numérique définie par :
~$
\begin{cases}
U_0 = 3\\
U_{n+1} = \frac{3U_n + 2}{U_n + 2}
\end{cases}
$~
\begin{enumerate}
    \item Montrer par récurrence que ~$ (\forall n \in \mathbb{N}) : U_n > 2 $~.

    \item
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que ~$ (\forall n \in \mathbb{N}) : U_{n+1} - U_n = \frac{(1 + U_n)(2 - U_n)}{U_n + 2} $~
        \item Étudier la monotonie de ~$ (U_n)_n $~ puis déduire que La suite ~$ (U_n)_n $~ est convergente
    \end{enumerate}

    \item
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que ~$ (\forall n \in \mathbb{N}) : 0 < U_{n+1} - 2 < \frac{1}{4}(U_n - 2) $~
        \item Montrer par récurrence que ~$ (\forall n \in \mathbb{N}) : 0 < U_n - 2 \leq \left( \frac{1}{4} \right)^n $~ puis calculer ~$ \lim U_n $~
    \end{enumerate}

    \item On considère la suite ~$ (V_n)_{n \in \mathbb{N}} $~ définie par ~$ V_n = \frac{2 - U_n}{U_n + 1} $~
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que la suite ~$ (V_n) $~ est géométrique de raison ~$ \frac{1}{4} $~.
        \item Déterminer ~$ (V_n) $~ en fonction de ~$ n $~.
        \item Déduire ~$ (U_n) $~ en fonction de ~$ n $~, puis calculer ~$ \lim U_n $~ une autre fois
    \end{enumerate}
\end{enumerate}
}

% Exercise 2
\printexo{2}{}{
Soit ~$ f $~ la fonction définie par ~$ f(x) = (x^2 + 1)\sqrt{x + 1} + x $~\\
et ~$ (\mathcal C_f) $~ sa courbe représentative dans un repère orthonormé
\begin{enumerate}
    \item Vérifier que ~$ D_f = [-1; +\infty[ $~.

    \item
    \begin{enumerate}
        \item Calculer ~$ \lim_{x \to +\infty} f(x) $~.
        \item Déterminer la branche infinie de ~$ (\mathcal C_f) $~ au voisinage de ~$ +\infty $~.
    \end{enumerate}

    \item Montrer que ~$ \lim_{\substack{x\to -1\\ x>-1}} \frac{f(x) - f(-1)}{x + 1} = +\infty $~ puis interpréter géométriquement le résultat.

    \item
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que ~$ f $~ est dérivable sur ~$ ]-1; +\infty[ $~
        \item Montrer que ~$ (\forall x \in ]-1; +\infty[)\quad : f'(x) = \frac{(2x + 1)^2 + x^2}{2\sqrt{x + 1}} + 1 $~
        \item Donner le tableau de variation de ~$ f $~.
    \end{enumerate}

  \item Montrer que l'équation ~$ f(x) = 0 $~ admet une unique solution ~$ \alpha \in ]-1; 0[ $~

    \item Construire la courbe ~$ (\mathcal C_f) $~.

    \item Montrer que ~$ f $~ admet une fonction réciproque ~$ f^{-1} $~ définie sur ~$ J $~ à déterminer.

    \item Montrer que ~$ f^{-1} $~ est dérivable en 1 puis calculer ~$ (f^{-1})'(1) $~.

    \item Construire ~$ (\mathcal C_{f^{-1}}) $~ dans le même repère
\end{enumerate}
}

% Exercise 3
\printexo{3}{}{
Les questions sont indépendantes
\begin{enumerate}
    \item Déterminer les fonctions primitives des fonctions suivantes sur ~$ I = \mathbb{R} $~\\
      (a)~ ~$ f(x) = x^3 - x^2 + 3x - 2 $~ \hspace*{1.5cm}
        (b)~ ~$ f(x) = \frac{x + 2}{\left( 2x^2 + 8x + 9 \right)^2} $~
    \item Calculer ~$ \lim_{n \to +\infty} U_n $~ dans les cas suivants\\
      (a)~ ~$ U_n = \frac{2n^3 - 1}{3n^2 + 2n - 1} $~ \hspace*{1.5cm}
         (b)~ ~$ U_n = \frac{\sqrt{2}^n - \sqrt{3}^n}{\sqrt{2}^n + \sqrt{3}^n} $~
\end{enumerate}
}

\end{document}