Calcul Trigonométrique - Version HTML
Introduction
Ce chapitre de Trigonométrie II prolonge l'étude du cercle trigonométrique. Il porte sur la résolution des équations et inéquations trigonométriques, sur les angles inscrits et les quadrilatères inscriptibles, et sur les relations métriques dans le triangle.
- Tracer les courbes représentatives des fonctions \(\sin\) et \(\cos\) et les exploiter pour l'assimilation des notions de périodicité, de parité et de monotonie.
- Utiliser le cercle trigonométrique pour représenter et déterminer graphiquement les solutions d'équations ou d'inéquations trigonométriques.
- On pourra, à l'occasion de la représentation graphique des fonctions \(\cos\) et \(\sin\), mettre en évidence la notion de fonction périodique.
- La résolution des équations et inéquations trigonométriques sera une occasion d'approfondir les acquis des élèves concernant le cercle trigonométrique.
- L'étude des angles inscrits et des quadrilatères inscriptibles consolidera les acquis en géométrie plane et permettra de démontrer quelques relations dans le triangle.
Durée du cours : 15 h.
I. Équations trigonométriques
1. L'équation \(\cos x = a\)
La droite \((\Delta) : x = \dfrac{1}{2}\) coupe le cercle trigonométrique en deux points \(M\) et \(M'\) d'abscisses curvilignes respectives \(\dfrac{\pi}{3}\) et \(-\dfrac{\pi}{3}\).
Les abscisses curvilignes de \(M\) sont \(\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi,\ k \in \ZZ\), et celles de \(M'\) sont \(-\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi,\ k \in \ZZ\).
Ainsi \(\cos x = \dfrac{1}{2}\) équivaut à \(\boxed{x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi}\) ou \(\boxed{x = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi}\) avec \(k \in \ZZ\).
\[ S = \left\{\frac{\pi}{3} + 2k\pi \;\middle/\; k \in \ZZ\right\} \cup \left\{-\frac{\pi}{3} + 2k\pi \;\middle/\; k \in \ZZ\right\}. \]
On suit les mêmes étapes que dans l'exemple précédent : \(\cos x = \dfrac{1}{2}\) équivaut à \(x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\) ou \(x = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\), \(k \in \ZZ\).
Puisque \(x \in [-2\pi, 2\pi]\) :
\[ \begin{aligned} -2\pi \le \frac{\pi}{3} + 2k\pi \le 2\pi &\iff -2 \le \frac{1}{3} + 2k \le 2 \\ &\iff -\frac{7}{3} \le 2k \le \frac{5}{3} \\ &\iff -\frac{7}{6} \le k \le \frac{5}{6} \end{aligned} \] donc \(k \in \{-1, 0\}\). De même, \[ -2\pi \le -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \le 2\pi \iff -\frac{5}{6} \le k \le \frac{7}{6} \] donc \(k \in \{-1, 0, 1\}\).
Pour \(k = 0\) : \(x = \dfrac{\pi}{3}\) ou \(x = -\dfrac{\pi}{3}\).
Pour \(k = -1\) : \(x = -\dfrac{5\pi}{3}\) (première famille),
Pour \(k = 1\) : \(x = \dfrac{5\pi}{3}\) (deuxième famille).
\[ S = \left\{-\frac{5\pi}{3},\ -\frac{\pi}{3},\ \frac{\pi}{3},\ \frac{5\pi}{3}\right\}. \]
- L'équation \(\cos x = a\) n'a pas de solution si \(a > 1\) ou \(a < -1\).
- \(x \in \RR,\ \cos x = 1\) si et seulement si \(x = 2k\pi,\ k \in \ZZ\).
- \(x \in \RR,\ \cos x = -1\) si et seulement si \(x = \pi + 2k\pi,\ k \in \ZZ\).
- Si \(-1 < a < 1\), il existe \(\theta \in \left]-\pi, \pi\right]\) tel que \(\cos\theta = a\). L'équation devient \(\cos x = \cos\theta\), de solutions : \[ \left\{\theta + 2k\pi \;\middle/\; k \in \ZZ\right\} \cup \left\{-\theta + 2k\pi \;\middle/\; k \in \ZZ\right\}. \]
- \(x \in \RR,\ \cos\!\left(x + \dfrac{\pi}{3}\right) = \cos(2x)\)
- \(x \in \left]-\pi, 3\pi\right],\ \cos\!\left(2x - \dfrac{3\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
- \(x \in [\pi, 2\pi[,\ 2\cos^2 x + 3\cos x + 1 = 0\)
Solutions
- \(\cos\!\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \cos(2x)\) équivaut à \[ \begin{cases} x + \frac{\pi}{3} = 2x + 2k\pi \\[4pt] x + \frac{\pi}{3} = -2x + 2k\pi \end{cases} \iff \begin{cases} x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \\[4pt] x = -\frac{\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3} \end{cases} \] \[ S = \left\{\frac{\pi}{3} + 2k\pi\right\} \cup \left\{-\frac{\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}\right\},\ k \in \ZZ. \]
- On sait que \(\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\), donc \(\cos\dfrac{5\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\). L'équation devient \(\cos\!\left(2x - \dfrac{3\pi}{4}\right) = \cos\dfrac{5\pi}{6}\), d'où \[ \begin{cases} 2x = \frac{19\pi}{12} + 2k\pi \\[4pt] 2x = -\frac{\pi}{12} + 2k\pi \end{cases} \iff \begin{cases} x = \frac{19\pi}{24} + k\pi \\[4pt] x = -\frac{\pi}{24} + k\pi \end{cases} \] Avec \(-\pi < x \le 3\pi\), on obtient \[ S = \left\{-\frac{5\pi}{24},\ -\frac{\pi}{24},\ \frac{19\pi}{24},\ \frac{23\pi}{24},\ \frac{43\pi}{24},\ \frac{47\pi}{24},\ \frac{67\pi}{24},\ \frac{71\pi}{24}\right\}. \]
-
On pose \(t = \cos x\) avec \(t \in [-1, 1]\) :
\(2t^2 + 3t + 1 = 0\), de discriminant \(\Delta = 1\), donc
\(t = -1\) ou \(t = -\dfrac{1}{2}\).
Pour \(t = -1\) : \(\cos x = -1 \iff x = \pi + 2k\pi\), et \(x \in [\pi, 2\pi[\) donne \(x = \pi\).
Pour \(t = -\dfrac{1}{2}\) : \(\cos x = \cos\dfrac{2\pi}{3}\), d'où \(x = \dfrac{2\pi}{3}\) ou \(x = -\dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi\). Sur \([\pi, 2\pi[\), on garde \(x = \dfrac{4\pi}{3}\). \[ S = \left\{-\frac{2\pi}{3},\ \frac{2\pi}{3},\ \pi,\ \frac{4\pi}{3}\right\}. \]
2. L'équation \(\sin x = a\)
La droite \((\Delta) : y = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) coupe le cercle trigonométrique en deux points \(M\) et \(M'\) d'abscisses curvilignes respectives \(\dfrac{\pi}{3}\) et \(\dfrac{2\pi}{3}\).
Les abscisses curvilignes de \(M\) sont \(\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\), celles de \(M'\) sont \(\dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi\), \(k \in \ZZ\).
Ainsi \(\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) équivaut à \(\boxed{x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi}\) ou \(\boxed{x = \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi}\) avec \(k \in \ZZ\).
\[ S = \left\{\frac{\pi}{3} + 2k\pi \;\middle/\; k \in \ZZ\right\} \cup \left\{\frac{2\pi}{3} + 2k\pi \;\middle/\; k \in \ZZ\right\}. \]
On suit les mêmes étapes : \(\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) équivaut à \(x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\) ou \(x = \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi\), \(k \in \ZZ\). Puisque \(x \in [-2\pi, 3\pi]\) :
\[ -2\pi \le \frac{\pi}{3} + 2k\pi \le 3\pi \iff -\frac{7}{6} \le k \le \frac{8}{6} \implies k \in \{-1, 0, 1\}, \] \[ -2\pi \le \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \le 3\pi \iff -\frac{8}{6} \le k \le \frac{7}{6} \implies k \in \{-1, 0, 1\}. \]
On obtient ainsi \[ S = \left\{-\frac{5\pi}{3},\ -\frac{4\pi}{3},\ \frac{\pi}{3},\ \frac{2\pi}{3},\ \frac{7\pi}{3},\ \frac{8\pi}{3}\right\}. \]
- L'équation \(\sin x = a\) n'a pas de solution si \(a > 1\) ou \(a < -1\).
- \(x \in \RR,\ \sin x = 1\) si et seulement si \(x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi,\ k \in \ZZ\).
- \(x \in \RR,\ \sin x = -1\) si et seulement si \(x = -\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi,\ k \in \ZZ\).
- Si \(-1 < a < 1\), il existe \(\theta \in \left]-\pi, \pi\right]\) tel que \(\sin\theta = a\). L'équation devient \(\sin x = \sin\theta\), de solutions : \[ \left\{\theta + 2k\pi \;\middle/\; k \in \ZZ\right\} \cup \left\{\pi - \theta + 2k\pi \;\middle/\; k \in \ZZ\right\}. \]
- \(x \in \RR,\ \sin\!\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right) = \cos(3x)\)
- \(x \in \left]-\pi, 2\pi\right],\ \sin\!\left(2x - \dfrac{\pi}{4}\right) = -\dfrac{1}{2}\)
Solutions
- \(\sin\!\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = \cos(3x) = \sin\!\left(\frac{\pi}{2} - 3x\right)\), d'où \[ \begin{cases} 2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} - 3x + 2k\pi \\[4pt] 2x + \frac{\pi}{3} = \pi - \left(\frac{\pi}{2} - 3x\right) + 2k\pi \end{cases} \iff \begin{cases} x = \frac{\pi}{30} + \frac{2k\pi}{5} \\[4pt] x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \end{cases} \] \[ S = \left\{\frac{\pi}{30} + \frac{2k\pi}{5}\right\} \cup \left\{-\frac{\pi}{6} + 2k\pi\right\},\ k \in \ZZ. \]
- \(\sin\!\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{2} = \sin\!\left(-\frac{\pi}{6}\right)\), d'où \[ \begin{cases} x = \frac{\pi}{24} + k\pi \\[4pt] x = \frac{17\pi}{24} + k\pi \end{cases} \] Avec \(-\pi < x \le 2\pi\), on garde \(k \in \{-1, 0, 1\}\) pour les deux familles : \[ S = \left\{-\frac{23\pi}{24},\ -\frac{7\pi}{24},\ \frac{\pi}{24},\ \frac{17\pi}{24},\ \frac{25\pi}{24},\ \frac{41\pi}{24}\right\}. \]
3. L'équation \(\tan x = a\)
Soit \((\Delta)\) la tangente au cercle trigonométrique en \(I\). Soit \(T(-1)\) un point de \((\Delta)\) d'abscisse \(-1\).
La droite \((OT)\) coupe le cercle en \(M\) et \(M'\). On sait que \(\tan\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = -1\), donc \(-\dfrac{\pi}{4}\) est une abscisse curviligne de \(M\). L'équation devient \(\tan x = \tan\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\), d'où \(\boxed{x = -\dfrac{\pi}{4} + k\pi}\) avec \(k \in \ZZ\).
\[ S = \left\{-\frac{\pi}{4} + k\pi \;\middle/\; k \in \ZZ\right\}. \]
- \(x \in [0, 3\pi],\ \tan(2x) = \sqrt{3}\)
- \(x \in \RR,\ \tan\!\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) = -\tan x\)
Solutions
- \(\tan(2x) = \sqrt{3} = \tan\dfrac{\pi}{3}\), donc \(2x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi\), soit \(x = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{k\pi}{2}\). Avec \(x \in [0, 3\pi]\) : \[ 0 \le \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2} \le 3\pi \iff -\frac{1}{3} \le k \le \frac{17}{3} \implies k \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}. \] \[ S = \left\{\frac{\pi}{6},\ \frac{2\pi}{3},\ \frac{7\pi}{6},\ \frac{5\pi}{3},\ \frac{13\pi}{6},\ \frac{8\pi}{3}\right\}. \]
- L'équation a un sens si \(x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi\) et \(2x - \dfrac{\pi}{3} \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi\). On a \[ \tan\!\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = \tan(-x) \iff 2x - \frac{\pi}{3} = -x + k\pi \iff x = \frac{\pi}{9} + \frac{k\pi}{3}. \] \[ S = \left\{\frac{\pi}{9} + \frac{k\pi}{3} \;\middle/\; k \in \ZZ\right\}. \]
II. Inéquations trigonométriques
1. Inéquations usuelles
On résout d'abord \(\cos x = \dfrac{1}{2}\) : \(x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\) ou \(x = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\).
Soient \(M\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\) et \(M'\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\) les points correspondants du cercle trigonométrique. L'ensemble des solutions est l'arc géométrique \(\overset{\frown}{M'IM}\).
\[ S = \left[-\frac{\pi}{3} + 2k\pi,\ \frac{\pi}{3} + 2k\pi\right],\quad k \in \ZZ. \]
On résout \(\cos x = \dfrac{1}{2}\) : \(x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\) ou \(x = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\). D'après l'exemple précédent, \(x \in \left[-\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi, \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\right]\).
En plaçant ces intervalles sur la droite graduée dans \(]-\pi, 3\pi]\), on obtient \(k = 0\) et \(k = 1\), d'où \[ S = \left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}\right]. \]
On résout \(\tan x = \sqrt{3}\) : \(x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi\), \(k \in \ZZ\). Sur \([0, 2\pi]\), les solutions sont \(M\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\) et \(M'\!\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)\).
L'ensemble solution est l'union des arcs \(\overset{\frown}{MJ}\) et \(\overset{\frown}{J'M'}\) : \[ S = \left[\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right[ \cup \left[\frac{4\pi}{3}, \frac{3\pi}{2}\right[. \]
- \(x \in \left]-\pi, \pi\right],\ \sin x > -\dfrac{1}{2}\)
- \(x \in \left]0, 4\pi\right],\ \sin x > -\dfrac{1}{2}\)
- \(x \in \left]0, 3\pi\right],\ \cos x < -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
- \(x \in [0, 2\pi],\ \tan x < 1\)
2. Inéquations qui reviennent à des inéquations usuelles
- \(x \in [-\pi, \pi],\ \sin\!\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) \le \dfrac{1}{2}\)
- \(x \in [0, \pi],\ \tan(3x) > \sqrt{3}\)
- \(x \in \left]-\pi, \pi\right],\ 4\cos^2 x - 2(1 + \sqrt{2})\cos x + \sqrt{2} \le 0\)
- \(x \in \left]-\pi, \pi\right],\ \dfrac{1 + \tan x}{\sin(2x)} \ge 0\)
Solutions
- On pose \(t = x - \dfrac{\pi}{3}\), donc \(x = t + \dfrac{\pi}{3}\). Pour \(x \in [-\pi, \pi]\), on a \(t \in \left[-\dfrac{4\pi}{3}, \dfrac{2\pi}{3}\right]\). L'inéquation \(\sin t \le \dfrac{1}{2}\) donne \[ t \in \left[-\pi, \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{5\pi}{6}, \pi\right], \] puis sur l'intervalle considéré : \[ t \in \left[-\frac{7\pi}{6}, \frac{\pi}{6}\right] \implies x = t + \frac{\pi}{3} \in \left[-\frac{5\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]. \] \[ S = \left[-\frac{5\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]. \]
- On pose \(t = 3x\), donc \(t \in [0, 3\pi]\). L'inéquation \(\tan t > \sqrt{3}\) donne \[ t \in \left]\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right[ \cup \left]\frac{4\pi}{3}, \frac{3\pi}{2}\right[ \cup \left]\frac{7\pi}{3}, \frac{5\pi}{2}\right[, \] d'où \[ S = \left]\frac{\pi}{9}, \frac{\pi}{6}\right[ \cup \left]\frac{4\pi}{9}, \frac{\pi}{2}\right[ \cup \left]\frac{7\pi}{9}, \frac{5\pi}{6}\right[. \]
- On pose \(t = \cos x\) avec \(t \in [-1, 1]\) : \(4t^2 - 2(1+\sqrt{2})t + \sqrt{2} \le 0\). Le discriminant réduit vaut \(\Delta' = (\sqrt{2} - 1)^2\), d'où \(t_1 = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) et \(t_2 = -\dfrac{1}{2}\). L'inéquation devient \[ 4\left(\cos x + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\cos x + \frac{1}{2}\right) \le 0. \] Sur \(]-\pi, \pi]\), on obtient \[ S = \left[-\frac{3\pi}{4}, -\frac{2\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{2\pi}{3}, \frac{3\pi}{4}\right]. \]
- \(1 + \tan x > 0 \iff x \in \left]-\pi, -\dfrac{\pi}{2}\right[ \cup \left]-\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{2}\right[ \cup \left]\dfrac{3\pi}{4}, \pi\right[\) et \(\sin(2x) > 0 \iff x \in ]0, \pi[\). Un tableau de signes donne \[ S = \left]\frac{-\pi}{2}, \frac{-\pi}{4}\right] \cup \left[0, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3\pi}{4}, \pi\right[. \]
III. Angles inscrits et quadrilatères inscriptibles
Un angle inscrit est un angle dont le sommet est un point du cercle et dont les côtés interceptent le cercle.
Un angle au centre est un angle dont le sommet est le centre du cercle et dont les côtés passent par deux points du cercle.
Soit \((\mathcal{C})\) un cercle de centre \(O\). Considérons \(A\) et \(B\) deux points distincts sur \((\mathcal{C})\), non diamétralement opposés, et \(M\) un point du cercle tel que \(\widehat{AMB}\) et \(\widehat{AOB}\) interceptent le même arc \(\overset{\frown}{AB}\).
- Montrer que \(\widehat{AOB} = 2\,\widehat{AMB}\) dans les cas suivants :
- \(A\), \(O\) et \(M\) sont alignés.
- \(A\), \(O\) et \(M\) ne sont pas alignés. On pourra considérer un point \(N\) tel que \(M\), \(O\) et \(N\) soient alignés, et utiliser (a).
- Soit \((AT)\) la tangente au cercle en \(A\). L'angle \(\widehat{BAT}\) est inscrit et intercepte le même arc que \(\widehat{AOB}\). Montrer que \(\widehat{AOB} = 2\,\widehat{TAB}\).
Réponses
1.a — \(A\), \(O\) et \(M\) sont alignés.
Le triangle \(OBM\) est isocèle en \(O\), donc \(\widehat{BOM} = \pi - 2\widehat{BMO}\). Comme \(\widehat{BOM} = \pi - 2\widehat{AMO}\) (car \(A\), \(O\), \(M\) alignés), on obtient \(\widehat{AOB} = 2\widehat{AMB}\).
1.b — \(A\), \(O\) et \(M\) non alignés.
Soit \(N\) le point du cercle diamétralement opposé à \(M\). D'après (a), \(\widehat{NOB} = 2\widehat{NMB}\). Le triangle \(AOM\) est isocèle en \(O\), donc \(\widehat{AOM} = \pi - 2\widehat{AMO}\). Comme \(\widehat{AOB} = \pi - (\widehat{NOB} + \widehat{AOM})\), on trouve \(\widehat{AOB} = 2(\widehat{AMO} - \widehat{NMB})\), c'est-à-dire \(\widehat{AOB} = 2\widehat{AMB}\).
2 — \((AT)\) est tangente au cercle en \(A\), donc \(\widehat{OAB} = \dfrac{\pi}{2} - \widehat{BAT}\). Le triangle \(OAB\) étant isocèle en \(O\), \(\widehat{AOB} = \pi - 2\widehat{OAB}\). D'où \(\widehat{AOB} = 2\widehat{BAT}\).
Soient \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) quatre points distincts d'un cercle \((\mathcal{C})\). Montrer que \(\widehat{ABC} + \widehat{ADC} = \pi\) ou \(\widehat{ABC} = \widehat{ADC}\).
Solution
Cas 1 — Les deux angles interceptent le même arc \(\overset{\frown}{AC}\). Alors \(\widehat{ABC} = \widehat{ADC} = 2\widehat{AOC}\).
Cas 2 — Ils interceptent les arcs \(\overset{\frown}{AC}\) et \(\overset{\frown}{ADC}\) respectivement. On a \(\widehat{ABC} = \dfrac{1}{2}\widehat{AOC}\) et \(\widehat{ADC} = \dfrac{1}{2}\widehat{AOC}\) (arc restant). Donc \[ \widehat{ABC} + \widehat{ADC} = \frac{1}{2}\left(\widehat{AOC} + \widehat{AOC}_{\text{restant}}\right) = \frac{1}{2} \cdot 2\pi = \pi. \]
1. Relations de sinus dans un triangle
Soit \(ABC\) un triangle et \(R\) le rayon de son cercle circonscrit. Montrer que \[ \frac{BC}{\sin\widehat{A}} = \frac{AC}{\sin\widehat{B}} = \frac{AB}{\sin\widehat{C}} = 2R \] dans les trois cas suivants :
- \(ABC\) est rectangle en \(A\).
- Tous les angles de \(ABC\) sont aigus.
- Un des angles de \(ABC\) est obtus.
Solution
a. Si \(ABC\) est rectangle en \(A\) : \(\sin\widehat{A} = 1\), donc \(\dfrac{BC}{\sin\widehat{A}} = BC = 2R\). Par ailleurs \(\sin\widehat{B} = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{AC}{2R}\), donc \(\dfrac{AC}{\sin\widehat{B}} = 2R\). De même pour \(\widehat{C}\).
b. Si tous les angles sont aigus, soit \(D\) le point diamétralement opposé à \(C\) sur le cercle circonscrit. Le triangle \(DBC\) est rectangle en \(B\) et \(\widehat{BDC} = \widehat{A}\) (même arc \(\overset{\frown}{CB}\)). Donc \(\sin\widehat{A} = \dfrac{BC}{2R}\), soit \(\dfrac{BC}{\sin\widehat{A}} = 2R\). On procède de même pour les autres côtés.
c. Si \(\widehat{A}\) est obtus, \(\widehat{A}\) et \(\widehat{D}\) (où \(D\) est diamétralement opposé à \(C\)) sont supplémentaires, donc \(\sin\widehat{D} = \sin\widehat{A}\). Dans le triangle \(BDC\) rectangle en \(B\), \(\sin\widehat{D} = \dfrac{BC}{2R}\), d'où \(\dfrac{BC}{\sin\widehat{A}} = 2R\). Les angles \(\widehat{B}\) et \(\widehat{C}\) étant aigus, on applique le cas (b).
2. Relations trigonométriques dans un triangle
Soit \(ABC\) un triangle, \(H\) le projeté orthogonal de \(A\) sur \((BC)\), et \(S\) l'aire du triangle \(ABC\).
- Montrer que \(S = \dfrac{1}{2}\left(BC \times AC \times \sin\widehat{C}\right)\).
- Soit \(r\) le rayon du cercle inscrit de centre \(O\).
- Calculer l'aire du triangle \(AOC\) en fonction de \(r\) et \(AC\).
- Montrer que \(S = \dfrac{1}{2}p\,r\), où \(p\) est le périmètre de \(ABC\).
Solution
1. \(S = \dfrac{1}{2} AH \times BC\), et dans le triangle \(AHC\) rectangle en \(H\) : \(\sin\widehat{C} = \dfrac{AH}{AC}\), donc \(AH = AC\sin\widehat{C}\). D'où \(S = \dfrac{1}{2}\left(BC \times AC \times \sin\widehat{C}\right)\).
2.a. \(S_{AOC} = \dfrac{1}{2} r \times AC\).
2.b. On a \[ \begin{aligned} S &= S_{AOC} + S_{AOB} + S_{BOC} \\ &= \frac{1}{2}r \times AC + \frac{1}{2}r \times AB + \frac{1}{2}r \times BC \\ &= \frac{1}{2}r(AC + AB + BC) = \frac{1}{2}pr. \end{aligned} \]
IV. Exercices
Résoudre les équations et inéquations suivantes, et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique :
- \(x \in \left]-\pi, \pi\right[,\ \cos x = -\dfrac{1}{2}\), puis \(\cos x < -\dfrac{1}{2}\).
- \(x \in \left]-\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{2\pi}{3}\right[,\ \cos\!\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) < -\dfrac{1}{2}\) (poser \(X = 2x - \dfrac{\pi}{3}\)).
- \(x \in \left]-2\pi, \pi\right[,\ \sin x \le -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).
- \(x \in [-\pi, 2\pi],\ \sin\!\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).
- \(x \in \RR,\ \tan x = \sqrt{3}\).
- \(x \in \RR,\ \tan\!\left(2x - \dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2}\).
- \(x \in \left]-\pi, \pi\right[,\ \cos\!\left(2x - \dfrac{\pi}{4}\right) = \cos\!\left(x + \dfrac{\pi}{3}\right)\).
- \(x \in \RR,\ \tan^2 x + (\sqrt{3} - 1)\tan x - \sqrt{3} = 0\).
- \(x \in \RR,\ 2\cos^2 x - 7\cos x + 3 = 0\).
- \(x \in [0, \pi],\ \cos\!\left(2x - \dfrac{\pi}{4}\right) \ge -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
- Étudier les signes de \(\tan x - \sqrt{3}\) et de \(\tan x - 1\) sur \(\left]-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right[\).
- En déduire les solutions de l'inéquation \[ x \in \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[,\quad \tan x + \frac{\sqrt{3}}{\tan x} < 1 + \sqrt{3}. \]
Soit \(p(x) = 4\sin^2 x - 2(\sqrt{2} - \sqrt{3})\sin x - \sqrt{6}\).
-
- Résoudre dans \(\RR\) l'équation \(4t^2 - 2(\sqrt{2} - \sqrt{3})t - \sqrt{6} = 0\).
- En déduire une factorisation du trinôme \(4t^2 - 2(\sqrt{2} - \sqrt{3})t - \sqrt{6}\).
- Résoudre \(x \in \left]0, 2\pi\right[,\ p(x) = 0\).
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- Factoriser \(p(x)\).
- Résoudre \(x \in \left]0, 2\pi\right[,\ p(x) < 0\).
- \(\cos x = \cos\alpha \iff x = \pm\alpha + 2k\pi\)
\(\sin x = \sin\alpha \iff x = \alpha + 2k\pi\) ou \(x = \pi - \alpha + 2k\pi\)
\(\tan x = \tan\alpha \iff x = \alpha + k\pi\). - Pour les inéquations, on résout d'abord l'équation associée, puis on lit les arcs solutions sur le cercle trigonométrique.
- La mesure d'un angle inscrit est la moitié de celle de l'angle au centre interceptant le même arc.
- Loi des sinus : \(\dfrac{BC}{\sin\widehat{A}} = \dfrac{AC}{\sin\widehat{B}} = \dfrac{AB}{\sin\widehat{C}} = 2R\).
- Aire d'un triangle : \(S = \dfrac{1}{2}\,BC \cdot AC \cdot \sin\widehat{C} = \dfrac{1}{2}\,p\,r\).
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