\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[left=1cm,right=1cm,top=1cm,bottom=1cm]{geometry}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{tcolorbox}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{fancyhdr}


% --- Styles pour les définitions et exemples ---
\tcbset{
  definition/.style={
    colback=blue!5!white,
    colframe=blue!65!black,
    fonttitle=\bfseries,
    title=Définition,
    arc=3pt, boxrule=0.8pt
  },
  example/.style={
    colback=green!5!white,
    colframe=green!55!black,
    fonttitle=\bfseries,
    title=Exemple,
    arc=3pt, boxrule=0.8pt
  },
  note/.style={
    colback=yellow!10!white,
    colframe=yellow!50!black,
    fonttitle=\bfseries,
    title=Remarque,
    arc=3pt, boxrule=0.8pt
  }
}

\title{\textbf{Nombres Amicaux et Nombres Solitaires}}
\author{\textbf{les <> sont rares !}}
\date{}

\everymath{\displaystyle}
\begin{document}
\pagestyle{empty}

\maketitle
\hrule
\vspace{1em}

\section*{Introduction}

En théorie des nombres, certains entiers naturels partagent une propriété fascinante liée à la \textbf{fonction somme des diviseurs}. Cette propriété conduit à la notion de \textbf{nombres amicaux} (ou \textbf{friendly numbers}) et de \textbf{nombres solitaires}.

\begin{tcolorbox}[definition]
Soit $n$ un entier naturel non nul. On note $\sigma(n)$ la somme de tous les diviseurs positifs de $n$.
On appelle \textbf{abondance} (ou \textit{abundancy}) de $n$ le rapport :
\[
A(n) = \frac{\sigma(n)}{n}
\]
Deux nombres $m$ et $n$ sont dits \textbf{amicaux} si et seulement si :
\[
A(m) = A(n) \quad \text{et} \quad m \neq n
\]
\end{tcolorbox}

\section*{Exemples de Nombres Amicaux}

\begin{tcolorbox}[example]
\textbf{Exemple 1 :} \\
Les nombres $6$ et $28$ forment une paire amicale.

On a
~$
D_{6} = \{1, 2, 3, 6\}, \quad \sigma(6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12
$~
Donc
~$
A(6) = \frac{\sigma(6)}{6} = \frac{12}{6} = 2
$~

On a
~$
D_{28} = \{1, 2, 4, 7, 14, 28\}, \quad \sigma(28) = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 56
$~
Donc
~$
A(28) = \frac{\sigma(28)}{28} = \frac{56}{28} = 2
$~

Ainsi, $A(6) = A(28) = 2$. Les deux nombres ont la même abondance : ils forment donc une \textbf{paire amicale}.
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[example]
\textbf{Exemple 2 :} \\
Les nombres $4320$ et $4680$ sont également amicaux.

On a
~$\sigma(4320) = 15120$~
et ~$A(4320) = \frac{15120}{4320} = \frac{7}{2}$~\\

On a
~$\sigma(4680) = 16380$~ et
~$A(4680) = \frac{16380}{4680} = \frac{7}{2}$~

Les deux nombres partagent donc la même abondance $\dfrac{7}{2}$.
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[example]
\textbf{Exemple 3 :} \\
Une paire amicale très surprenante est celle de $24$ et $91963648$ :

~$
D_{24} = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}, \quad \sigma(24) = 60
$~
~$
A(24) = \frac{60}{24} = \frac{5}{2}
$~

~$
\sigma(91963648) = 229909120
$~\\
~$
A(91963648) = \frac{229909120}{91963648} = \frac{5}{2}
$~\\

Bien que ces deux nombres soient extrêmement éloignés, ils forment tout de même une paire amicale.
\end{tcolorbox}

\section*{Nombres Solitaires}

\begin{tcolorbox}[definition]
Un nombre naturel $n$ est dit \textbf{solitaire} s'il n'existe aucun entier $m \neq n$ tel que :
\[
A(m) = A(n)
\]
Autrement dit, $n$ n'appartient à aucune paire amicale.
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[example]
\textbf{Exemple 4 :}
Les nombres $1$, $2$, $3$, $4$, et $5$ sont tous solitaires.

~$
D_{1} = \{1\} \Rightarrow A(1) = 1
$~
\quad\quad;\quad\quad
~$
D_{2} = \{1,2\} \Rightarrow A(2) = \frac{3}{2}
$~\\
~$
D_{3} = \{1,3\} \Rightarrow A(3) = \frac{4}{3}
$~
\quad\quad;\quad\quad
~$
D_{4} = \{1,2,4\} \Rightarrow A(4) = \frac{7}{4}
$~
\quad\quad;\quad\quad
~$
D_{5} = \{1,5\} \Rightarrow A(5) = \frac{6}{5}
  $~\\[0.3cm]

Aucune de ces valeurs d'abondance n'est partagée par un autre nombre naturel.
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[note,colback=red!30]
\textbf{Remarque Importante :}
Le cas du nombre $10$ est particulièrement célèbre.
Il est \textbf{inconnu} à ce jour si $10$ possède un ami ou non.
En d'autres termes, on ne sait pas si $10$ est solitaire ou amical.
C'est un problème \textbf{ouvert} en théorie des nombres.
\end{tcolorbox}

\begin{itemize}
  \item Le fait d'être << amicaux >> définit une \textbf{relation d'équivalence} sur les entiers positifs.
  \item Cette relation partitionne les entiers en \textbf{classes d'amitié} (ou \textit{clubs}) où tous les membres partagent la même abondance.
  \item Il existe très peu de paires amicales connues : \textbf{les <> sont rares !}
\end{itemize}

\section*{Conclusion}

Les nombres amicaux et solitaires représentent un domaine récréatif fascinant de la théorie des nombres.
Malgré leur apparente simplicité, ces notions cachent des mystères encore non résolus.
Le problème de savoir si certains nombres, comme $10$, sont solitaires ou non reste à ce jour un défi pour les mathématiciens.

\vfill
\begin{center}
\rule{0.6\textwidth}{0.4pt}\\
\small Cours rédigé par Radouan MOSAID — Théorie des Nombres
\end{center}

\end{document}