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\newfontfamily\arabicfont[Script=Arabic,Scale=1.1]{Amiri}

% --- Two pages on 1 layout ---
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% --- Colors ---

\definecolor{lightgray}{gray}{0.6}



% --- Basic Settings ---
\def\professor{R. MOSAID}
\def\classname{1BAC.SM}
\def\examtitle{Série: Barycentre}
\def\schoolname{\textbf{Lycée :} Taghzirt}
\def\academicyear{2025/2026}
\def\subject{Mathématiques}
\def\duration{2h}
\def\secondtitle{\small visit {\wsite} for more!}
\def\province{Direction provinciale de\\ Beni Mellal}
\def\logo{\includegraphics[width=\linewidth]{images/logo-men.png}}
\def\wsite{\color{magenta}\texttt{www.mosaid.xyz}}
\def\ddate{\hfill \number\day/\number\month/\number\year~~}
\def\bottommsg{Bonne chance!}
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\everymath{\displaystyle}


\AtBeginDocument{
  \fontsize{13}{15}\selectfont
}

% --- Exercise Theme 1 ---
% Exercise Theme 1: TikZ shadow title
\newcommand{\exothemeone}[1]{%
\par\vspace{0pt}\noindent\leavevmode
\begin{tikzpicture}[baseline=(text.base)]
    \node[] (text) at (0,0) {\textbf{\#1}};
    \fill[black] ([xshift=0.1cm, yshift=-0.1cm]text.south west)
                 rectangle ([xshift=0.1cm, yshift=-0.1cm]text.north east);
    \draw[fill=white] (text.south west) rectangle (text.north east);
    \node[] at (text) {\textbf{\#1}};
\end{tikzpicture}%
\vspace{0.3em}\noindent
}

\newcommand{\printexo}[3]{%
  \if\relax\detokenize{\#2}\relax
    \def\fulltitle{Exercice #1}%
  \else
    \def\fulltitle{Exercice #1~#2}%
  \fi
  \exothemeone{\fulltitle}%
  \noindent #3%
  \vspace{0.2cm}%
}
% --- Header Style 9 ---
\newcommand{\printheadnine}{%

  \arrayrulecolor{lightgray}

  \begin{tabular}{m{0.3\textwidth} m{0.34\textwidth} m{0.3\textwidth}}
      \textbf{\classname} & \centering \textbf{\examtitle}
      & \ddate \\
      \wsite & \centering \large\textbf{\secondtitle}
      &\hfill
        \begin{tabular}{|c}
          \hline
          \textbf{~~\professor}
        \end{tabular}\\
      \hline
  \end{tabular}

  \arrayrulecolor{black} % restore default if needed
}

\fancyhf{}%
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\fancyhead[C]{%
    \printheadnine
}%
\pagestyle{fancy}%
\begin{document}

% Exercise 1
\printexo{1}{}{\\
$ABC$ un triangle. $G$ et $E$ deux points tels que : $G$ est le centre de gravité du triangle $ABC$ et $E$ le barycentre du système des points pondérés $\{(A; 1); (B; 5); (C; -3)\}$.
\begin{enumerate}
    \item Écrire les vecteurs $\overrightarrow{AG}$ et $\overrightarrow{AE}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
    \item Montrer que les deux droites $(BC)$ et $(GE)$ sont parallèles.
    \item Soient $I$ et $J$ deux points tels que :
    ~$
    \overrightarrow{AI} = \frac{5}{6}\overrightarrow{AB} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{CJ} = \frac{5}{2}\overrightarrow{CB}.
    $~
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que $I$ est le barycentre de $\{(A; 1); (B; 5)\}$ et que $J$ est le barycentre de $\{(B; -5); (C; 3)\}$.
        \item En déduire que les droites $(AJ)$ et $(IC)$ sont sécantes.
        \item Déterminer l’ensemble des points $M$ du plan tel que :
        ~$
        \| \overrightarrow{MA} + 5\overrightarrow{MB} - 3\overrightarrow{MC} \| = \| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC} \|
        $~
    \end{enumerate}
\end{enumerate}
}

% Exercise 2
\printexo{2}{}{\\
$ABC$ un triangle. On considère les points $N$, $L$ et $E$ tels que :\\
\hspace*{1cm}
~$
B \text{ est le milieu de } [AN]; \quad \overrightarrow{AL} = \frac{6}{5}\overrightarrow{AC} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{EC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CB}
$~
\begin{enumerate}
    \item Construire : $N$, $L$ et $E$ puis exprimer ces points sous forme de barycentre.
    \item Montrer que les points $N$, $L$ et $E$ sont alignés.
    \item Soit $K$ le milieu de $[NE]$; $I=bar\{(B; 2),~(C; 1)\}$; et $J=bar\{(A; 2),~(B; 3)\}$.
    Construire les points $I$, $J$ et $K$.
    \item Déterminer l’ensemble $\Psi$ de points $M$ du plan tel que :
    ~$
    \| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} \| = 10
    $~
    \item On considère le repère :
    ~$
    \mathcal{R} = (A; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})
    $~
    \begin{enumerate}
        \item Vérifier que $N(2; 0)$ et $E(-\frac{1}{2}; \frac{3}{2})$ puis en déduire les coordonnées du point $K$.
        \item Montrer que :
        ~$
        I\left(\frac{2}{3}; \frac{1}{3}\right) \quad \text{et} \quad J\left(\frac{3}{5}; 0\right).
        $~
        \item Montrer que les points $I$, $J$ et $K$ sont alignés.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}
}

% Exercise 3
\printexo{3}{}{\\
Soit $ABC$ un triangle, et on considère les points $G$ et $E$ tels que :\\
~$
\overrightarrow{BE} - 2\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{0} \quad \text{et} \quad G = \text{bar}\{(A; 1); (B; -1); (C; 2)\}.
$~
\begin{enumerate}
    \item Montrer que $E$ est le barycentre de $\{(B; -1); (C; 2)\}$.
    \item Montrer que $G$ est le milieu de $[AE]$.
    \item Soit $K$ le barycentre de $\{(A; 1); (C; 2)\}$.
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que les points $B$, $G$ et $K$ sont alignés.
        \item Montrer que $K$ est le centre de gravité du triangle $ABE$.
    \end{enumerate}
    \item Déterminer l’ensemble des points $M$ du plan tels que :
    ~$
    2 \times \| \overrightarrow{MC} - \overrightarrow{MA} \| = \| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{ME} \|
    $~
\end{enumerate}
}

% Exercise 4
\printexo{4}{}{\\
ABC un triangle.
H un point vérifiant \(2\overrightarrow{AH} + \overrightarrow{AB} = \vec{0}\) et \(G = \text{bar}\{(A;3),(B;-1),(C;2)\}\)
\begin{enumerate}
\item  Montrer que \(H = \text{bar}\{(A;\alpha),(B;\beta)\}\) où \(\alpha\) et \(\beta\) sont des réels à déterminer et \(\alpha > 0\)
\item  Construire les points G et H.
\item  Montrer que G est le milieu de \([HC]\).
\item  Soit \(\Gamma\) l'ensemble des points \(M\) du plan tels que :
~$
\|3\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC}\| \leq 2\|\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB}\|
$~\\
Déterminer puis construire l'ensemble \(\Gamma\).
\item  Dans le plan rapporté à un repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\) on prendra ~$A(0;1),\quad B(0;5)$~ et ~$C(2;1)$~. \\Soit \(G_m = \text{bar}\{(A;-m^2 + 4),(B;m^2 - 2m),(C;2m)\}\)
\begin{enumerate}
\item  Déterminer les valeurs du paramètre réel \(m\) pour que \(G_m\) existe.
\item  Déterminer les coordonnées de \(G_m\) en fonction de \(m\).
\item  Déterminer le lieu géométrique du point \(G_m\) lorsque \(m\) varie dans \(\mathbb{R}\).
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

% Exercise 5
\printexo{5}{}{\\
{\centering
\textit{\underline{Le but de cet exercice est la construction du barycentre de 4 points.}} \\[0.3cm]
}
\noindent ABCD un quadrilatère dans le plan. ~$G=bar\{(A;2),~ (B;1),~ (C;-3),~ (D;1)\}.$~ \\
\textbf{I.~ Méthode 1} : (on utilise la propriété caractéristique) \\
Soit M un point du plan.
\begin{enumerate}
\item  Simplifier : \(2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} - 3\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}\)
\item  Ecrire \(\overrightarrow{AG}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AD}\)
\item  Construire le point G.
\end{enumerate}
\textbf{II.~ Méthode 2} : (on utilise le barycentre de deux points) \\
Soient ~$I=bar\{(A;2),~ (B;1)\}$~,
~$J=bar\{(C;-3),~ (D;1)\}$~.
\begin{enumerate}
\item  Construire les points \(I\) et \(J\).
\item  En déduire que : \(3\overrightarrow{GI} - 2\overrightarrow{GJ} = \vec{0}\) puis construire G.
\end{enumerate}
\textbf{III.~ Méthode 3} : (on utilise le barycentre de trois points) \\
    Soient ~$K=bar\{(A;2),~ (B;1),~ (D;1)\}$~ et ~$L=bar\{(B;1),~ (D;1)\}$~
\begin{enumerate}
\item  Vérifier que K est le barycentre des points : (A;2), (L;2).
\item  Vérifier que G est le barycentre des points : (K;4) et (C;-3) puis construire G.
\end{enumerate}
}

% Exercise 6
\printexo{6}{}{\\
Soit OAB un triangle. \\
Posons : \(\vec{u} = \overrightarrow{OA}\) et \(\vec{v} = \overrightarrow{OB}\) ; et on considère le repère \((O;\vec{i};\vec{j})\). \\
1) Montrer que pour tout \(m \in \mathbb{R}\); le barycentre G du système \(\{(O;3),(A;2m + 3),(B;-2m + 3)\}\) existe. \\
2) Déterminer en fonction de \(m\) les coordonnées de G.
}
\vspace*{-0.25cm}
\begin{center}
   \vskip 2pt \hrule height 2pt \vskip 2pt \RL{\arabicfont ﴿وَمَا تَشَآءُونَ إِلَّآ أَن يَشَآءَ ٱللَّهُ ۚ إِنَّ ٱللَّهَ كَانَ عَلِيمًا حَكِيمًا (30)•  يُدْخِلُ مَن يَشَآءُ فِى رَحْمَتِهِۦ ۚ وَٱلظَّـٰلِمِينَ أَعَدَّ لَهُمْ عَذَابًا أَلِيمًۢا (31)• ﴾ (الإنسان الآيات 30-31) }
\end{center}
\end{document}