\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[left=1.00cm, right=1.00cm, top=2cm, bottom=1.50cm]{geometry}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath, amssymb}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{multicol}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{tcolorbox,varwidth}
\usepackage{fontspec}

\usepackage{colortbl}
\usepackage{libertinus}

\tcbuselibrary{skins,breakable}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{shadows}
\usepackage{tabularx, array}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{setspace}


\usepackage{bidi}

\newfontfamily\arabicfont[Script=Arabic,Scale=1.1]{Amiri}

\definecolor{lightgray}{gray}{0.6}

% --- Basic Settings ---
\def\professor{R. MOSAID}
\def\classname{1BAC.SM}
\def\examtitle{Devoir 02 - S01, {\small Par Aissa HIYAB}}
\def\schoolname{\textbf{Lycée :} Taghzirt}
\def\academicyear{2025/2026}
\def\subject{Mathématiques}
\def\duration{2h}
\def\secondtitle{\small visit {\wsite} for more!}
\def\province{Direction provinciale de\\ Beni Mellal}
\def\logo{\includegraphics[width=\linewidth]{images/logo-men.png}}
\def\wsite{\color{magenta}\texttt{www.mosaid.xyz}}
\def\ddate{\hfill \number\day/\number\month/\number\year~~}
\def\bottommsg{Bonne chance!}
\setstretch{1.3}
\everymath{\displaystyle}

% --- Exercise Theme 1 ---
% Exercise Theme 1: TikZ shadow title
\newcommand{\exothemeone}[1]{%
\par\vspace{0pt}\noindent\leavevmode
\begin{tikzpicture}[baseline=(text.base)]
    \node[] (text) at (0,0) {\textbf{\#1}};
    \fill[black] ([xshift=0.1cm, yshift=-0.1cm]text.south west)
                 rectangle ([xshift=0.1cm, yshift=-0.1cm]text.north east);
    \draw[fill=white] (text.south west) rectangle (text.north east);
    \node[] at (text) {\textbf{\#1}};
\end{tikzpicture}%
\vspace{0.3em}\noindent
}

\newcommand{\printexo}[3]{%
  \if\relax\detokenize{\#2}\relax
    \def\fulltitle{Exercice #1}%
  \else
    \def\fulltitle{Exercice #1~#2}%
  \fi
  \exothemeone{\fulltitle}%
  \noindent #3%
  \vspace{0.2cm}%
}
% --- Header Style 9 ---
\newcommand{\printheadnine}{%

  \arrayrulecolor{lightgray}

  \begin{tabular}{m{0.3\textwidth} m{0.34\textwidth} m{0.3\textwidth}}
      \textbf{\classname} & \centering \textbf{\examtitle}
      & \ddate \\
      \wsite & \centering \large\textbf{\secondtitle}
      &\hfill
        \begin{tabular}{|c}
          \hline
          \textbf{~~\professor}
        \end{tabular}\\
      \hline
  \end{tabular}

  \arrayrulecolor{black} % restore default if needed
}

\fancyhf{}%
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%
\renewcommand{\footrulewidth}{0pt}%
\setlength{\headheight}{47pt}%
\setlength{\headsep}{0pt}%
\fancyhead[C]{%
    \printheadnine
}%
\pagestyle{fancy}%
\begin{document}
\vspace*{-1cm}
% Exercise 1
\printexo{1}{(9pts)}{

\vspace*{-0.5cm}
On considère l'application
\begin{tabular}{ *{2}{>{$}l<{$}} }
  f : \mathbb{R} \setminus \{2\} \to \mathbb{R}\\
  \quad\;\; x \mapsto \frac{3x + 1}{x - 2}
\end{tabular}
\begin{enumerate}
    \item[\textbf{1)}]
        \begin{enumerate}
            \item[\textbf{a)}] Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $f(x) = 3$  \dotfill 0.5pt
            \item[\textbf{b)}] $f$ est-elle surjective ? Justifier \dotfill  0.5pt
        \end{enumerate}
    \item[\textbf{2)}] Montrer que $f$ est injective. \dotfill  1pt
    \item[\textbf{3)}] On considère l'application
\begin{tabular}{ *{2}{>{$}l<{$}} }
  g : ]2; +\infty[ \rightarrow ]3; +\infty[\\
  \quad\;\; x \mapsto g(x) = f(x)
\end{tabular}
        \begin{enumerate}
          \item[\textbf{a)}] Montrer que $g(]2; +\infty[) = ]3; +\infty[$ \dotfill  1pt
            \item[\textbf{b)}] En déduire que $g$ est bijective et déterminer sa bijection réciproque $g^{-1}$. \dotfill 2pt
        \end{enumerate}

      \item[\textbf{4)}] Montrer que $g([9; +\infty[) = ]3; 4]$ et $g^{-1}([10; +\infty[) = ]2; 3]$ \dotfill  2pt

    \item[\textbf{5)}] Soit $h : E \rightarrow F$ une application.\\
    Montrer que $(\forall A, B \in \mathcal{P}(E)): A \subset B \Rightarrow h(A) \subset h(B)$ et $h(A \cap B) \subset h(A) \cap h(B)$ \dotfill  1pt

    \item[\textbf{6)}] Montrer que la composée de deux applications injectives est injective. \dotfill  1pt
\end{enumerate}
}
% Exercise 2
\printexo{2}{(11pts)}{\\
On considère les fonctions numériques $f$ et $g$ définies par $f(x) = \sqrt{x + 4}$ et $g(x) = x^2 - 4x + 5$.
\begin{enumerate}[itemsep=0pt, topsep=0pt, parsep=0pt, partopsep=0pt]
    \item[\textbf{1)}] Déterminer $D_f$, $D_g$ puis dresser les tableaux de variations de $f$ et de $g$. \dotfill  0.5pt
    \item[\textbf{2)}] Montrer par deux méthodes que $1$ est la valeur minimale de $g$ sur $D_g$. \dotfill  1pt
    \item[\textbf{3)}] Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $(C_g)$. \dotfill  0.5pt
    \item[\textbf{4)}] Déterminer les points d'intersection de $(C_f)$ avec les axes du repère. \dotfill  1pt
    \item[\textbf{5)}] Tracer les courbes $(C_f)$ et $(C_g)$ dans le même repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$. \dotfill  2pt
    \item[\textbf{6)}]
        \begin{enumerate}[itemsep=0pt, topsep=0pt, parsep=0pt, partopsep=0pt]
            \item[\textbf{a)}] Déterminer graphiquement $f([-3; 0])$ et $f([0; +\infty[)$. \dotfill  0.5pt
            \item[\textbf{b)}] Résoudre graphiquement l'inéquation $g(x) < 2$. \dotfill  0.5pt
            \item[\textbf{c)}] Déterminer graphiquement en justifiant le nombre de solution de l'équation $g(x) = f(x)$. \dotfill  0.5pt
            \item[\textbf{d)}] Déterminer graphiquement le nombre de solution de l'équation $g(x) = m$ avec $m \in \mathbb{R}$. \dotfill  0.5pt
        \end{enumerate}
    \item[\textbf{7)}] On considère la fonction numérique $\varphi$ définie par $\varphi(x) = x^2 - 4|x| + 5$.
        \begin{enumerate}[itemsep=0pt, topsep=0pt, parsep=0pt, partopsep=0pt]
            \item[\textbf{a)}] Vérifier que $\varphi$ est paire et que $(\forall x \in [0; +\infty[)\quad \varphi(x) = g(x)$. \dotfill  1pt
            \item[\textbf{b)}] Tracer la courbe $(C_{\varphi})$ dans le repère précédent en justifiant la méthode de construction. \dotfill  1pt
        \end{enumerate}
    \item[\textbf{8)}] On considère la fonction numérique $h$ définie sur $[-4; +\infty[$ par $h(x) = x + 9 - 4\sqrt{x + 4}$.
        \begin{enumerate}[itemsep=0pt, topsep=0pt, parsep=0pt, partopsep=0pt]
            \item[\textbf{a)}] Montrer que $(\forall x \in [-4; +\infty[)\quad h(x) = g\circ f(x)$. \dotfill  0.5pt
            \item[\textbf{b)}] En déduire les variations de $h$ sur $[-3; 0]$. \dotfill  1pt
        \end{enumerate}
    \item[\textbf{9)}] On considère la fonction numérique $k$ définie par $k(x) = E(x) + E\left( x + \frac{1}{2}\right) - E(2x)$.\\
    Montrer que $k$ est une fonction périodique de période $\frac{1}{2}$. \dotfill  0.5pt
\end{enumerate}
}
\vspace*{-0.5cm}
\begin{center}
   \vskip 3pt \hrule height 3pt \vskip 5pt \RL{\arabicfont ﴿بِسْمِ ٱللَّهِ ٱلرَّحْمَـٰنِ ٱلرَّحِيمِ وَٱلْعَصْرِ (1)•  إِنَّ ٱلْإِنسَـٰنَ لَفِى خُسْرٍ (2)•  إِلَّا ٱلَّذِينَ ءَامَنُوا۟ وَعَمِلُوا۟ ٱلصَّـٰلِحَـٰتِ وَتَوَاصَوْا۟ بِٱلْحَقِّ وَتَوَاصَوْا۟ بِٱلصَّبْرِ (3)• ﴾ (العصر الآيات 1-3) }
\end{center}
\end{document}