serie exercices: polynomes
📅 February 06, 2024 | 👁️ Views: 944
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\newcolumntype{C}{>{\Centering\arraybackslash}X}
\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\begin{tabularx}{\textwidth}{@{}CCC@{}}
%\toprule
\multirow{2}{*}{\parbox{\linewidth}{Prof MOSAID \newline \mylink }}
& Serie - Polynomes & \hfill TCS-F \\
\bottomrule
\end{tabularx}
\end{center}
\textbf{\underline{Exercice 1:}}\\
\noindent
\begin{tabular}{@{}p{0.01\textwidth}|p{0.98\textwidth}}
&1. Soit le polynome \(P(x)=(a+b)x^3+(b-c)x^2+(a-c+1)x\).\\
&\hspace*{0.4cm}Determiner les nombres \(a, b\) et \(c\) pour que \(P(x)\)soit nul.\\
&2. Soit le polynome \(P(x)=x^3+4x^2+x-6\).\\
&\hspace*{0.4cm}Determiner les racines du polynome parmi les nombres: \(1, -1, 2 \) et \(-3\)\\
\end{tabular}
\\
\\
\textbf{\underline{Exercice 2:}}\\
\noindent
\begin{tabular}{@{}p{0.01\textwidth}|p{0.35\textwidth}p{0.63\textwidth}}
&\multicolumn{2}{l}{Determiner le quotient et le reste de la division euclidienne de:}\\
&\begin{itemize}[topsep=3pt, partopsep=0pt, parsep=0pt, itemsep=0pt, after=\vspace*{-1.5\baselineskip}, before=\vspace*{-\baselineskip}]
\item \(2x^3+3x^2-5x+1\quad\) par \(x+2\)
\item \(5x^4-3x^2+2x-3\quad\) par \(x+1\)
\item \(4x^5-5x^3+1\)\hspace*{1.45cm} par \(x-1\)
\end{itemize}
&\begin{itemize}[topsep=3pt, partopsep=0pt, parsep=0pt, itemsep=0pt, after=\vspace*{-1.5\baselineskip}, before=\vspace*{-\baselineskip}]
\item \(x^3-x^2-x-2\quad\)\hspace*{0.6cm} par \(x-2\)
\item \(5x^4-3x^2+2x-3\quad\) par \(x+1\)
\item \(4x^5-5x^2+1\)\hspace*{1.38cm} par \(2x-1\)
\end{itemize}\\
\end{tabular}
\\
\textbf{\underline{Exercice 3:}}\\
\noindent
\begin{tabular}{@{}p{0.01\textwidth}|p{0.98\textwidth}}
&Soit le polynome \(P(x)=x^3+2x^2-5x-6\)\\
&1. Vérifiez que \(2\) est une racine du polynome \(P(x)\)\\
&2. En effectuant la division euclidienne de \(P(x)\) par \(x-2\)\\
&\hspace*{0.5cm} Déterminez un polynome \(Q(x)\) tel que \(P(x)=(x-2)Q(x)\)\\
&2. Vérifiez que \(-3\) est une racine du polynome \(Q(x)\)\\
&3. Factoriser \(P(x)\).\hspace*{1cm}
4. Résoudre \(x\in \mathbb{R}\quad P(x) \ge 0\)\\
\end{tabular}
\\
\\
\textbf{\underline{Exercice 4:}}\\
\noindent
\begin{tabular}{@{}p{0.01\textwidth}|p{0.98\textwidth}}
&Soit le polynome \(P(x)=-2x^3-x^2+8x+4\)\\
&1. Vérifiez que \(-2\) est une racine du polynome \(P(x)\)\\
&2. En effectuant la division euclidienne de \(P(x)\) par \(x-2\)\\
&\hspace*{0.5cm} Déterminez un polynome \(Q(x)\) tel que \(P(x)=(x+2)Q(x)\)\\
&2. Vérifiez que \(\frac{-1}{2}\) est une racine du polynome \(Q(x)\)\\
&3. Factoriser \(Q(x)\) puis \(P(x)\).\hspace*{1cm}
4. Résoudre \(x\in \mathbb{R}\quad P(x) \le 0\)\\
\end{tabular}
\\
\\
\textbf{\underline{Exercice 5:}}\\
\noindent
\begin{tabular}{@{}p{0.01\textwidth}|p{0.48\textwidth}p{0.58\textwidth}}
&Soit le polynome \(P(x)=x^3-2x^2-5x+6\)
&2. Ecrir \(P(x)\) sous forme de produit de binomes\\
&1. Montrer que \(P(x)\) est divisible par \(x-1\)
&3. Résoudre \(x\in \mathbb{R}\quad P(x) < 0\)\\
\end{tabular}
\\
\\
\textbf{\underline{Exercice 6:}}\\
\noindent
\begin{tabular}{@{}p{0.01\textwidth}|p{0.98\textwidth}}
&Soit le polynome \(P(x)=x^3-(a-b)x^2+(a-3b-1)x+2\sqrt{2}\)\\
&1. Determiner les nombres \(a\) et \(b\) pour que \(P(x)\) soit divisible par
\(x-2\) et \(x+\sqrt{2}\)\\
&2. On pose \(a=3\) et \(b=\sqrt{2}\)\\
&2.1 Déterminez un polynome \(Q(x)\) tel que \(P(x)=(x-2)Q(x)\)\\
&2.2 Calculer \(Q(-\sqrt{2}\) puis factoriser \(P(x)\)\\
&2.3 Résoudre \(x\in \mathbb{R}\quad P(x) < 0\)\\
&3. On suppose \(x\in]0,1[\). Montrer que \(\sqrt{2}\) est une
approximation de \(P(x)\) à la précision \(1+\sqrt{2}\)\\
\end{tabular}
\\
\\
\textbf{\underline{Exercice 7:}}\\
\noindent
\begin{tabular}{@{}p{0.01\textwidth}|p{0.98\textwidth}}
&Soit le polynome \(P(x)=x^3-(3\sqrt{3}+1)x^2+m(2+\sqrt{3})x-6\)\\
&1. Déterminer la valeur de \(m\) tel que \(P(x)\) est divisible par \(x-1\)\\
&2. On pose \(m=3\)\\
&2.1 Déterminez un polynome \(Q(x)\) tel que \(P(x)=(x-1)Q(x)\)\\
&2.2 Vérifiez que \(\sqrt{3}\) est une racine du polynome \(P(x)\)\\
&2.3 En déduir une factorisation en binomes du polynome \(P(x)\)\\
\end{tabular}
\\
\\
\textbf{\underline{Exercice 8:}}\\
\noindent
\begin{tabular}{@{}p{0.01\textwidth}|p{0.98\textwidth}}
&Soit le polynome \(P(x)=2x^3+3x^2-3x-2\)\\
&1. Calculer \(P(-2), P(1)\) et \(P(3)\)\\
&2. effectuer la division euclidienne de \(P(x)\) par \(x-2\)\\
&3.1 Montrer que si \(\alpha\) est une racine non nulle de \(P(x)\)
alors \(\frac{1}{\alpha}\) est une racine\\
&3.2 Déduir les 3 racines de \(P(x)\)\\
\end{tabular}
\\
\\
\textcolor{white}{.}\hfill \underline{MOSAID le \today}\\
\textcolor{white}{.}\hfill \mylink
\end{document}
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