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\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\noindent
\begin{center}
    \begin{tabular}{@{}p{0.22\textwidth}p{0.57\textwidth}p{0.17\textwidth}}
        %\toprule
            \multirow{2}{*}{\parbox{\linewidth}{Prof MOSAID \newline \mylink }}
            & \Centering {Correction Série : Polynomes - Exercice 4} & \hfill  TCS \\
        \bottomrule
    \end{tabular}
\end{center}
\noindent
Soit le polynome \(P(x)=-2x^3-x^2+8x+4\)\\
1. Pour vérifier si \(-2\) est une racine du polynôme \(P(x)\), nous devons substituer \(x = -2\) dans \(P(x)\) et voir si le résultat est égal à zéro.
\vspace*{-1.5cm}
\begin{center}
\begin{align*}
P(-2) &= -2(-2)^3 - (-2)^2 + 8(-2) + 4 \\
&= -2(-8) - 4 + (-16) + 4 \\
&= 16 - 4 - 16 + 4 \\
&= 0
\end{align*}
\end{center}
Comme le résultat est \(0\), cela signifie que \(-2\) est une racine du polynôme \(P(x)\).\\
2. {\large\textbullet}Diviser \(P(x)\) par \(x+2\)\\
\[ \polylongdiv{-2x^3-x^2+8x+4}{x+2} \] \\
Donc \(Q(x)=-2x^2+3x+2\)\\
3. Pour vérifier si \(\frac{-1}{2}\) est une racine du polynôme \(Q(x)\), nous devons substituer \(x = \frac{-1}{2}\) dans \(Q(x)\) et voir si le résultat est égal à zéro.
\vspace*{-1.5cm}
\begin{center}
\begin{align*}
Q\left(\frac{-1}{2}\right) &= -2\left(\frac{-1}{2}\right)^2 + 3\left(\frac{-1}{2}\right) + 2 \\
&= -2\left(\frac{1}{4}\right) - \frac{3}{2} + 2 \\
&= -\frac{1}{2} - \frac{3}{2} + 2 \\
&= 0
\end{align*}
\end{center}
Comme le résultat est \(0\), cela signifie que \(\frac{-1}{2}\) est une racine du polynôme \(Q(x)\).\\
4. {\large\textbullet}Diviser \(Q(x)\) par \(x+\frac{-1}{2}\)\\
\[ \polylongdiv{-2x^2+3x+2}{x+\frac{1}{2}} \] \\
5. Factoriser \(P(x)\):
\(P(x)=(x+2)(x+\frac{1}{2})(-2x+4)\), donc
\(P(x)=-2(x+2)(x-2)(x+\frac{1}{2})\)\\
\noindent
\textbf{Solution de \(P(x) \le 0\):}
\begin{center}
\begin{tabular}{c|*{9}{>{\(}c<{\)}}|}
    \(x\)   & -\infty &  & -2 & & \frac{-1}{2} & & 2 & & +\infty \\
\hline
\(x+\frac{1}{2}\)&&-&|&-&0&+&|&+&\\
\hline
\(x+2\)&&-&0&+&|&+&|&+&\\
\hline
\(x-2\)&&-&|&-&|&-&0&+&\\
\hline
\(P(x)\)&&-&0&+&0&-&0&+&\\
\hline
\end{tabular}
\\
\vspace*{1cm}
\(S=]-\infty,-2]\cup[\frac{-1}{2},2]\)
\end{center}
\textcolor{white}{.}\hfill \underline{MOSAID le \today}\\
\textcolor{white}{.}\hfill \mylink
\end{document}